【大单元教学】鲁教版2023年九年级大单元教学 实际应用问题 课件（33张PPT）

(共33张PPT)
　　 实际应用问题
实际应用问题是以现实生活为背景，取材新颖，立意巧妙，现在越来越多的中考题以生活实际作为知识背景，需要运用已学的数学知识进行解决，重在考查阅读理解能力和数学建模能力，让学生在阅读理解的基础上，将实际问题转化为数学问题.其主要类型有代数型(包括方程型、不等式型、函数型、统计型)和几何型(包括图像型、几何型)两大类，是中考的重点、热点。
　　
一 方程(组)、不等式(组)、函数型情境应用题
【技法点拨】
方程(组)、不等式(组)、函数型应用题是指应用题的背景材料可以转化为方程(组) 、不等式(组)、函数模型来解决的题目，解决这类问题的关键是针对背景材料，设定合适的未知数，找出相等关系，建立方程(组)、不等式(组)、函数型模型来解决.
方程是初中数学当中重要的一部分，也是中考中必考内
容，在考查时常以列方程或方程组解应用题形式出现，但有
时也会与不等式相结合进行考查.这类题难度不大，但常会以
时事热点为背景材料，所以学生平时要留意生活中的一些经
验，并多练多掌握各个题型，总结一些定式，就可以从容应
对.
例题(德阳中考)今年南方某地发生特大洪灾,政府为了尽快搭建板房安置灾民,给某厂下达了生产A种板材48 000 m2和B种板材24 000 m2的任务.
(1)如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60 m2或B种板材40 m2，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？
(2)某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：
板房 A种板材(m2) B种板材(m2) 安置人数
甲型 108 61 12
乙型 156 51 10
问这400间板房最多能安置多少灾民？
专题二 分式方程与不等式（组）的实际应用问题
（泰安中考数学每年均涉及该知识点）
【自主解答】(1)设x人生产A种板材，根据题意得:
经检验x=120是分式方程的解．
210-120=90.
故安排120人生产A种板材，90人生产B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务.
(2)设生产甲种板房y间，则生产乙种板房(400-y)间，
安置人数为12y+10(400-y)=2y+4 000，
解得360≥y≥300，
因为2大于0，所以当y=360时安置的人数最多,
360×2+4 000=4 720.即最多能安置灾民4 720人.
专题三 一元二次方程、不等式组、函数的在面积问题中的实际应用
例题.某兴趣小组想借助如图Z6-9所示的直角墙角ADC(两边足够长),用20 m长的篱笆围成一个矩形花园(篱笆只围AB,BC两边).
(1)若围成的花园面积为91 m2,求花园的边长;
(2)在点P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别为12 m和6 m,要能将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),又使得花园面积有最大值,
求此时花园的边长.
解:(1)设AB长为a m,则BC长为(20-a)m.
由题意得:a(20-a)=91,解得:a1=13,a2=7,
当a=13时,BC=20-13=7,
当a=7时,BC=20-7=13.
答:花园的边长为13 m和7 m.
例题.某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角ADC(两边足够长),用20 m长的篱笆围成一个矩形花园(篱笆只围AB,BC两边).
(2)在点P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别为12 m和6 m,要能将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),又使得花园面积有最大值,求此时花园的边长.
二次函数是中学数学的一个重要内容，是与高中衔接较
紧密的内容，利用二次函数解决实际问题是课标的要求，也
是要求考生能够学以致用．二次函数应用题常给出一个实际
背景，根据问题背景列二次函数表达式，再利用表达式及二
次函数的性质解答问题．
二次函数应用题是中考的必考题，每年中考试题
都要考查二次函数应用题，其重要程度不言而喻．
专题四 方程（组）、函数在商品销售利润问题中的应用
例1 [安徽中考]某超市销售一种商品,成本为每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);
(3)试说明(2)中总利润W 随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少
售价x(元/千克) 50 60 70
销售量y(千克) 100 80 60
(3)∵W=-2x2+280x-8000=-2(x-70)2+1800,40≤x≤80,
∴当40≤x≤70时,W随x的增大而增大,当70∴当x=70时,W取得最大值,此时W=1800.
答:当40≤x≤70时,W随x的增大而增大,当70专题五 二次函数几何问题
二次函数几何问题也是二次函数应用题的常考类型，此问题常借助于某个成二次函数关系的实物图，建立平面直角坐标系求出实物图的二次函数表达式，进而解决其他问题．
二次函数在现实生活中的应用
例题.(武汉中考)如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，
已知河底ED是水平的，ED=16 m，AE=8 m，抛物线的
顶点C到ED的距离是11 m，以ED所在的直线为x轴，抛物
线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的40 h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系： +8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5 m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
【解析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+11，
由题意得B(8，8)，∴64a+11=8，解得
∴
(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h
至多为6米，∴ ，解得t1=35,t2=3,∴35-3
=32(小时).
答：需32小时禁止船只通行.
二、统计概率型应用题
【技法点拨】
统计与概率型情境问题是指通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，作出合理推断或预测，中考常考解决简单的实际问题，泰安中考近五年在20-21题均考查该类型实际应用问题.
解决这类问题：
(1)要能从多个方面去收集数据信息，特别注意统计图表之间的相互补充和利用；
(2)通过对数据的整理，能从统计学角度出发去描述、分析，并作出合理的推断和预测.
（3）此类题第三小题多数考查树状图或列表格求概率 。
例题1 为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）年级 85＜x≤90 90＜x≤95 95＜x≤100
七年级 3 4 3
八年级 5 a b
分析数据：
统计量年级 平均数 中位数 众数
七年级 94.1 95 d
八年级 93.4 c 98
应用数据：（1）填空： a=______； b=______； c= ______； d=______；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名.现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
例题2（广州中考)某中学
九年级(3)班50名学生参加
平均每周上网时间的调查，
由调查结果绘制了频数分布
直方图，根据图中信息回答
下列问题：
(1)求a的值；
(2)用列举法求以下事件的概率：从上网时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，其中至少1人的上网时间在8～10小时．
【解析】(1)a＝50―6―25―3―2＝14.
(2)设上网时间为6～8小时的三个学生为A1，A2，A3，上网时间
为8～10小时的2名学生为B1，B2，则共有A1A2，A1A3，A1B1，
A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，10种可能，其中至
少1人上网时间在8～10小时的共有7种可能，故P(至少1人的上
网时间在8～10小时)＝
三、情景信息应用题
【专题解读、方法点拨】
图表信息问题主要考查收集信息和处理信息的能力．解答这类问题时要把图表信息和相应的数学知识、数学模型相联系，要结合问题提供的信息，灵活运用数学知识进行联想、探索、发现和综合处理，准确地使用数学模型来解决问题．
这种题型命题广泛，应用知识多，是中考的一种新题型，也是今后命题的热点，考查形式有选择题、填空题、解答题．
例题1 2022年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家．其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离．下图能反映y与x的函数关系式的大致图象是（ ）
例题2“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y表示乌龟所行的路程）．
有下列说法：
①“龟兔再次赛跑“的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是 （把你认为正确说法的序号都填上）
四、几何型情境应用题
【专题解读、技法点拨】
几何型情境问题是指以现实生活为背景；以考查学生的识图能力、动手操作能力，运用几何知识解决实际问题的能力为目的的一类问题.此类问题多与测量、方案设计等有关，转化为三角形、四边形、相似形、圆或解直角三角形等知识是解题的常用手段.
解决这类问题的关键是在理解题意的基础上，对问题进行恰当地抽象与概括，建立恰当的几何模型，从而确定某种几何关系，利用相关几何知识来解决.这是解题中常见的具有导向作用的一种思想．
解直角三角形的实际应用模型
【方法点点拨】
解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。这类问题通常与生活中的某个实际场景紧密相连,解题时需要先从题干中抽象出几何模型,将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形，再利用三角函数的相关知识求解.
几何型相似形情境应用题
例题 1 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m．已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1 m)
解直角三角形的实际应用模型
（泰安中考近几年多次在该知识点出题，在选择、填空、解答题中均多次涉及）
例题2为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，）
．
解直角三角形的实际应用模型
（1）过点F作FG⊥EC于G，
依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；
∴四边形DEFG是矩形；
∴FG＝DE；
在Rt△CDE中，
DE＝CE tan∠DCE；
＝6×tan30o＝2
∴点F到地面的距离为2
米；
6
∵斜坡CF i＝1：1.5．
（2）
∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2
1.5＝3
，
∴FD＝EG＝3
在Rt△BCE中，
BE＝CE tan∠BCE＝6×tan60o＝6
．
∴AB＝AD+DE﹣BE．
＝3
6+2
6
6
4.3
【例3】(济宁中考)去年
冬今春，济宁市遭遇了200年
不遇的大旱，某乡镇为了解
决抗旱问题，要在某河道建
一座水泵站，分别向河的同
一侧张村A和李村B送水．经
实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图)，两村的坐标分别为A(2，3)，B(12，7)．
(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短
(2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
【自主解答】(1)作点B关于x轴的对称点E，连接AE，则点E为
(12，－7)，设直线AE的函数关系式为y=kx＋b，则
解得 所以，直线AE解析式为y=－x＋5．
当y=0时，x=5，所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方时，可使
所用输水管道最短．
(2)作线段AB的垂直平分线GF，交
AB 于点F，交x轴于点G，分别过
点A,B作x轴的垂线，垂足分别为
点D、点C,设点G的坐标为(x，0),
在Rt△AGD中，AG2=AD2+DG2=32+
(x-2)2，在Rt△BCG中，BG2=BC2
＋GC2=72+(12-x)2，因为AG=BG，所以32+(x-2)2=72+(12-x)2，解得x=9．
所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．
实际应用问题题归纳总结
1.解决代数型应用问题：关键是审题，弄清关键词句的含义；重点是分析，找出问题中的数量关系，并将其转化为数学式子，进行整理、运算、解答.
2.解决几何型应用问题：一般是先将实际问题转化为几何问题，再运用相关的几何知识进行解答，要注重数形结合，充分利用“图形”的直观性和“数”的细微性.