【大单元教学】鲁教版2023年九年级大单元教学 相似三角形综合 课件（96张PPT）

(共96张PPT)
九年级中考复习
鲁教版五四制初中数学
三角形的相似综合
相似三角形在中考中的地位：
相似三角形是在全等三角形知识的基础上拓广和发展的，相似三角形的性质与判定在日常生活中有非常广泛的应用，比如可应用其对应边成比例来求一些线段的长度，也可利用相似三角形的原理来进行测量等；还有与圆有关的证明也常要利用相似三角形的性质与判定解决问题。因此，相似三角形在初中数学图形与几何模块中有着举足轻重的地位，是考题的重要组成部分，它不仅可以考察学生对图形相似的认识与理解，并且还利于学生对以前学过的全等三角形知识进行巩同和提高；正是由于这种综合性的特点，决定了相似三角形在中考中的重要地位。
①了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、 艺术上的实例了解黄金分割。
②通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。
③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 成比例。
④了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相 似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三 角形相似。* 了解相似三角形判定定理的证明。
⑤了解相似三角形的性质定理R ：相似三角形对应线段的比等于 相似比；面积比等于相似比的平方。
课标要求
⑥了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
⑦会利用图形的相似解决一些简单的实际问题(例81)。
⑧利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA, cos A, tan A),知道30°, 45°, 60°角的三角函数值。
⑨会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数 值求它的对应锐角。
⑩能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单 的实际问题。
课标要求
中考命题的思路方向：
(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理；
(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定3)或再找夹边成比例(用判定2)；
(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，或可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例。
首先，经历了平行线、三角形、四边形、圆等各种图形的推理训练和几何证明训练，学生们已经建立了较强的推理意识、培养了较强的图形观察力，也积累了较丰富的几何模型。这是学生解决相似三角形综合题的有利因素。但由于对各种几何图形的学习是分散在八册书的不同章节，平常都是相对独立地训练某个知识点， 一旦将各类终形和问题综合起来，学生就会感觉复杂而手足无措，不能有逻辑地将大问题细化成小问题，无法通过知识的转化和迁移与平时的练习联系起来，这是学生解决综合题的不利因素。
学情分析
主题单元核心素养目标
知识技能
1.掌握相似三角形的性质与判定，并能运用有关知识进行推理证明和计算线段的长度。
2.归纳掌握相似三角形相似的基本模型，并能灵活选用，以及能够添加适当的辅助线构造相似模型解决问题。
3.学会分析相似三角形与圆、函数的综合问题。
通过知识的综合应用的说理，初步培养学生的逻辑思维能力。
数学思考
1.通过探索、归纳相似三角形的基本模型与构建相似三角形的技巧与方法；
2.让学生在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的方法和技巧，获得推理的经验；
情感态度
通过基础题和探究题体验数学活动的逻辑性和趣味性，同时增强解题的自信心。
通过探索，进行观察、猜想、分析、归纳、推理，培养学生发散思维能力；同时提高学生分析问题、解决问题的能力。
问题解决
主题单元专题划分
专题一 相似三角形的基本模型
专题二 相似三角形的解题技巧---辅助线
专题三 相似三角形与圆综合
专题四 相似三角形与函数综合
专题一 相似三角形的基本模型
相似三角形是初中数学需要重点掌握的知识内容，也是中考的高频考点。在相似三角形中存在众多的相似模型，且应用较为广泛，其特点较为明显，因此“”图如其名”，如A字型、8字型等等。深入理解模型内涵灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，利用模型的结论可以快速打开解题突破口。
专题概述
1.理解并掌握相似三角形模型的相关特征，明确其运用的条件与结论，培养学生的数学模型的运用意识；
2.掌握从复杂图形中合理分离出相似三角形模型的方法，并利用其解题，提升逻辑推理能力，感受数学的严谨美与简洁美。
教学目标
重点：探索并掌握相似三角形模型的特征并能够熟练应用；
难点：从复杂图形中合理分离出相似三角形的有关模型.
教学重难点重点
8字型
一线三垂直型
一线三等角型
01
02
03
04
模型
A字型
A字型
01
精讲点拨
1.正A字型
2.斜A字型
2.斜A字型
分析：两个三角形中有一个公共角
解题思路：图形中已经有一组角相等，
（1）从已知条件、图中隐含条件或通过证明得到另一组角相等;（2）证明相等的这组角的两条边对应成比例
巩固训练
1.如图， ， 分别为 的边 ， 上的点，若
， ， 的面积等于2，则 的面积
为( )
A. B. C. D.
2.如图，在 中， ，点 ， 分别在 ，
边上， ，且 ，若
，则 的长为 _____．

B
3.如图， 为 的直径， 为弧 的中点， 于
点 ， 交 于点 ，交 于点G．求证：
．
证明： 为 的直径， ，
.
，
，
，
.
为弧 的中点，
.
又 ，
，
，
，
．
8字型
01
分析：两个三角形中有一组对应角是对顶角
解题思路：图形中已经有一组对顶角，
（1）从已知条件、图中隐含条件或通过证明得到另一组角相等；
（2）证明这组对顶角的两条边对应成比例
，


正8字型
斜8字型
注意：若题中未说明相似三角形对应的顶点，则需要分情况讨论
精讲点拨
1.如图，在矩形 中，点 是 的中点，连接 交 于
点 ，若 ，则 的长度是( )
A. B. C. D.
2.如图，已知 是半圆 的直径，弦 ， 相交于点 ，
若 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
C
D
巩固训练
3.如图，已知抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ， 是线段
上一动点， 的延长线交抛物线于点 ，求 的最大值．
解：如解图，过点 作 轴交 的延长线于
点 ，过点 作 轴交 于点 ，
将 ， ， 代入 ，得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，得
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
轴， ，∴易得 ， .
设 ，
轴， ，
．
轴， 轴， ，
，
，
一线三垂直型
03

分析：两直角三角形的一组直角边共线或部分重合，且斜边互相垂直。
解题思路：判定三角形相似的关键：利用直角三角形两锐角互余的性质得一组对应角相等。
注：当直角没有确定时，应分情况讨论。
精讲点拨
1.如图，在矩形 中， ， ， 分别为 ， 上的点，若
， ，则 的长度为( )
A. B.
C. D.
2.如图，在矩形 中， ， ,点 ，
分别在边 ， 上， , ，则 的长
为___ ．

C
巩固训练
13.如图，在四边形 中， ， ，
以 为直径的半圆 与边 相切于点 ， ，求
的长．
解：如右图，连接 ， ,
是 的切线， 是切点， .
又 ， ， ，
．
， ．
设 ，则 .
为 的直径， ，
．
， ，
， ，
， ，
解得 ，
的长为 ．
14.如图,已知抛物线 与 轴交于 ， 两点,
与 轴交于点 ,连接 ,点 是抛物线上一点，当
时,求点 的坐标.
解:令 ,解得 ,
令 ,解得 或 ,
, , ，
, .
, ，
.
如图,过点 作 轴于点 ,则 ，
,
.
设 ，
, ,
,
解得 或 或 （舍去），
当 时， ;
当 时, .
综上所述,当 时，点 的坐标为 或 .
一线三等角型
04
分析：所给的图形是三个等角顶点在同一条直线上的相似图形，
，
解题思路：图形中已经有一组角相等，通过三角形的内外角关系、内角和定理找另外一组对应角相等
精讲点拨
1.如图，已知 ， ， 分别为 的边 ， ， 上的
点， ， ， ， ， ，
，则 的长为( )
A. B. C. D.
2.如图，在四边形 中, , , ,
若点 是 边上一点 ，且 ,则
( )
A. B. C. D.
B
A
巩固训练
3．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=15，点D边BC上一点，
且BD（1）求的长．
（2）由（1）可知，∵，∴，
在和中，，∴≌
∴
（2）求证：．
专题二 相似三角形的解题技巧---辅助线
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角等等，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。
专题概述
在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.
模型　A型和8字型以及垂直
模型三　一线三等角型(K型)
　
锐角一线三等角　 一线三垂直　 钝角一线三等角
已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C、D两点的坐标。
相似三角形中的辅助线
作垂线
例1
已知：△ABC中，D为BC边上中点，E为AC边上一点，且AE:AC=1:3，连接AD和BE，相交于点F，求AF:FD的值.
添加平行线
相似三角形中的辅助线
例2
几种做法展示
相似三角形中的辅助线
作延长线
如图，Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG⊥AB于G，求证：FG =CF·BF
例3
练习：如图，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，AF=1/3AD ，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．
练习：如图，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，AF=1/3AD ，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．
练习：如图，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，AF=1/3AD ，连E、F交AC于G．求AG：AC的值．
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证:BC2＝2CD·AC．
相似三角形中的辅助线
作中线
例4
专题三 相似三角形与圆综合
相似三角形与圆探究题，综合性强，有一定的难度，有时还会作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握相似三角形与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合分析、探究解题思路。圆中相似三角形的类型主要有：直接证明相似、证明等积式、探求线段长、求三角函数。
专题概述
1.通过例题讲解，能将相似三角形与圆的相关内容整合成知识系统，掌握在圆的图形背景下如何找到证明相似的条件，然后通过相似找到成比例线段，达到求证和求算的目的。
2.熟练堂握圆与相似三角形综合题解题的思考方法和一般流程。
3.能通过已知和未知双向推敲分析题干，发展合情推理和演绎推理的能力，体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、类比、转化、数形结合等数学思想。
学习目标
教学重点:
学会分析圆与相似三角形综合问题的方法和解题流程。
教学难点:
在复杂的图形中识别相似形;通过已知和未知双向分析推导圆与相似三角形综合题，找到解题突破口。
圆中常见的几种相似三角形
【规律与方法】
在圆中直接证明三角形相似是比较简单的题目，一般情况下只需要利用圆的相关性质寻找三角形的
两角分别相等，从而证明两个三角形相似。
在圆中找相等角的方法
(1)同弧或等弧所对圆周角相等。
(2)圆内接四边形一个外角等于它的内对角
(3)直径垂直于弦,由垂径定理找等角。
(4)由直径所对的圆周角为直角，以及切线长定理找相等的直角
一、直接证明相似
例 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，
过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）求证：△COE∽△CAB．
【规律与方法】
把等积式中的四条线段分别看做两个三角形的对应边，然后，
通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式，特别地，
当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，可以把等积式转化为
比例式，也可以利用线段的等量代换寻找对应边，构造三角形相似从
而解决问题。
例:如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，
直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，
连接PA，PC，AF，且满足∠PCA=∠ABC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）证明：EF2=4OD OP；
二、证明等积式
【规律与方法】
近几年中考圆的题目中，常会涉及到三角形相似求线段的长。这类题的做题方
法是利用已知的线段、线段比、直角三角形的两边以及所求的线段来寻找圆中
相似的三角形或借助辅助线构造相似三角形，从而求出相应线段或利用等量代
换求解。其圆中相似的模型一般分为A字型、X字型、母子型、旋转型，但由于
圆本身的知识点很多，学生在复杂的图形中很难找出相似的模型。
例：如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，
∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D
，延长AF交直线CD于点H．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
三、探求线段长
（2）若DH=6﹣3 ，求EF和半径OA的长．
【规律与方法】
求三角函数值，必须在直角三角形中，所以应将其所求的角放在或用转化的思
想等量代换到图中已有的直角三角形中，利用三角形相似比直接求解；若题目当中
没有直接给出直角三角形，那么通过作辅助线——遇到直径连接弦、见切点连半
径、做高、利用等腰三角形的“三线合一”、垂径定理等构造直角三角形将所求
的角等量代换到相应的直角三角形中，利用相似三角形的性质求出相应的线段比值。
四、求三角函数
例1：如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB．BD垂直于弦BC，
垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．
求证：tanα tan =
．
A
B
P
O
C
D
D
中考链接
B
2．【中考·南通】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为(　　)
A．2.5 B．2.8
C．3 D．3.2
C
4．【中考·呼和浩特】如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．
4
2
5．【中考·苏州】如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．
6．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，交OC于点E，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB.其中正确结论的序号是________．
①④
7．【中考·聊城】如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E.
(1)求证：EC＝ED；
证明：连接OC.
∵CE与⊙O相切，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥CE.∴∠OCA＋∠ACE＝90°.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∴∠ACE＋∠A＝90°.
∵OD⊥AB，∴∠ODA＋∠A＝90°.
∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE＋∠A＝90°.
∴∠CDE＝∠ACE.∴EC＝ED.
(2)如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．
8．【中考·襄阳】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC＝1：2.
(1)求证：AC平分∠BAD；
证明：如图，连接OC.∵PE与⊙O相切，∴OC⊥PE.∵AE⊥PE，∴OC∥AE.∴∠CAD＝∠OCA.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.
∴∠CAD＝∠OAC.∴AC平分∠BAD.
(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AD＝3，求△ABC的面积．
专题四 相似三角形与函数综合
相似三角形与函数综合问题，主要考查学生能否将相似三角形的性质与判定融入到一次函数、反比例函数及二次函数中，在函数图像中构造相似图形的能力。
其中，二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值 12分，难度较大。主要考查形式为二次函数与相似三角形相结合，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。
专题概述
教学重点:
1、求函数解析式:
2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。
教学难点:根据条件构造相似三角形解决问题。
教学目标
1、会求一次函数、反比例函数及二次函数解析式;
2、根据条件寻找或构造相似三角形，在函数的综合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点的坐标。
考点分析:
二次函数的综合题中在第二三小问比较常考到相似三角形的问题，这类题目出现在压轴题目中的概率比较高，难度系数也是偏大的，对于学生的计算和综合知识掌握要求比较高，我们要利用我们现学的相似的知识在平面直角坐标系中研究。
类型二 求字母的值
类型一 求线段的长
类型三 求比值或比值的最值
类型四 求点的坐标
解决此类题目的基本步骤与思路：
1.抓住相似的两个目标三角形，找出已知条件(例如已知边、已知角度、已知点坐标等).
2.找现成的等量关系，例如相等的角度从而确定下来对应关系.
3.运用分类讨论思想，几种不同相似的可能性逐一讨论.
4.充分运用相似的性质，相似比或者面积比等进行列式计算。
5.大胆设点坐标去做，充分利用点在函数图像上从而代入函数表达式..
注意事项:
1.相似三角形的字母对应要注意
2.分类讨论思想不要多讨论也不要漏掉，充分抓住已知条件分析.
3.运用相似比进行计算时，边之比千万不能比错了
4.求出有多个解时一定要去检验是否符合要求.
类型一　相似与一次函数
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象
经过点B(0，2)，且与x轴的正半轴相交于点A，点P，Q在线段AB上，
点M，N在线段AO上，且△OPM与△QMN是相似比为3∶1的两个等腰
直角三角形，∠OPM＝∠MQN＝90°，则AN∶AM＝____．
1∶3
D
类型二　相似与反比例函数
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB－MC|的值最大，
并求出这个最大值；
(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三　相似与二次函数