十九章解直角三角形[下学期]
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文档简介
第十九章 解直角三角形
1、 教学目标
1、 使学生了解测量在现实生活中的应用非常广泛，通过带领学生测量物体的高度，培养学生应用数学知识的意识与能力，同时也培养学生学习数学的兴趣。
2、 让学生经历勾股定理的探索与形成过程，发展学生探索未知世界的能力，并能应用勾股定理解决一些简单的实际问题。
3、 应用直角三角形的边与边关系、角与角关系、边与角关系解决直角三角形，解决有关的实际问题。解决实际问题是本单元教学活动的落脚点，在解决实际问题过程中，让学生充分体验学好数学的必要性。
4、 注重数学知识的联系，能够把其它图形转化为直角三角形，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力，进而应用所学的数学知识加以解决。
2、 重点、难点
重点：
1、 勾股定理的认识与应用
2、 通过实例认识锐角三角函数，知道特殊角（30 、45 、60 ）的三角函数值，应用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角
3、 灵活运用边与边、角与角、边与角关系的知识解直角三角形
4、 利用解直角三角形的知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题。
难点：
1、 学生参与探索、发现、证明勾股定理的过程中，构造证明勾股定理图形
2、 把实际问题转化为数学问题的能力的培养
3、 灵活运用直角三角形的知识，仰角、俯角、坡度等概念解决综合的实际问题。
3、 课时划分
§19.1 测量……………………………1 课时
§19.2 勾股定理………………………2 课时
§19.3 锐角三角函数…………………3 课时
§19.4 解直角三角形…………………3 课时
小结与复习………………………………2 课时
§19.1 测量
教学目标
使学生了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养学生应用知识解决问题的能力和学习数学的兴趣。
重点、难点
重点：利用图形的相似测量物体的高度，培养学生运用数学知识解决问题的能力
难点：画出实际问题的平面示意图。
教学过程
1、 引入新课
测量在现实生活中随处可见，筑路、修桥等建设活动都需要测量。当我们走进校园，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，我们也许会想，高高的旗杆到底有多高，能否运用我们所学的知识把旗杆的高度测量出来呢？
2、 新课
1、 请同学们根据课前预习，考虑书上阐述的测量旗杆高度的方法有几种，你是如何理解的呢？（待同学们回答完毕后再阐述，这里重要的是让学生画出示意图）
2、 课本上阐述测量旗杆的方法
第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长度，在根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度
解：由于太阳光可以把它看成是平行的，所以有∠BAC=∠B1A1C1，又因为旗杆和人都是垂直于地面的，所以∠ACB=∠A1 B1C1 =90 ，所以，△ACB∽△A1C1 B1，因此，=，则BC=，即可求得旗杆BC的高度。
如果遇到阴天，就你一个人，是否可以用其它方法测量旗杆的高度呢？
第二种方法：如下图所示，站在离旗杆的底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC＝34 ，并且已知目高AD为1米，现在请你按1：500的比例将△ABC画在纸上，并记作△A1 B1C1，用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以计算旗杆的实际高度。
解：∵∠BAC=∠B1A1C1＝34 ，∠ABC=∠A1 B1C1=90
∴△ABC∽△A1 B1C1
∴=
∴BC=500 B1C1，CE=BC+BE,即可求得旗杆的高度。
3、 课堂小结
本节课是用相似三角形的性质来测量旗杆的高度，同学在学习中应掌握其原理，并学会应用知识解决问题的方法。
4、 作业
第99页习题19.1
§19.2 勾股定理
第一课时
教学目标
用试验的方法使学生知道直角三角形的边与边的关系（勾股定理），增强学生对勾股定理的感性认识，并能用勾股定理解决一些简单的问题，渗透探索问题的思想与方法。
重点、难点
重点：从具体的图形中得出直角三角形的边与边的关系，会用这个关系解决一些简单的问题
难点：在利用图形确定任意直角三角形边与边关系时，计算各个正方形的面积是本节课的教学难点。
教学过程
一、复习引入
直角三角形是特殊的三角形，其中一个角是直角，两个锐角具有互余的关系。那么，直角三角形的三边具有什么关系呢？本节课就是要研究直角三角形三边的关系。
二、新课
1、等腰直角三角形边与边的关系
A
P R
C Q B
（图中每个小方格代表一个单位面积）
问题：
⑴ 观察图1-1,正方形p的面积是 个单位面积。
正方形Q的面积是 个单位面积。
正方形R的面积是 个单位面积。
正方形 P、Q、R，它们的面积具有什么关系呢？
显然，SR=SP+SQ
即AB2=BC2+AC2,这说明，等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方。那么，在一般的直角三角形中，是否也有这样的关系呢？
2、 任意直角三角形三边的关系
探索：
（1）观察图1-3、图1-4，并填写右表：
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）
图1-4
你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流。
（2）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
议一议
（1）你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾2＋股2＝弦2
3、 勾股定理的简单应用
例1， 如右图，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB（精确到0.01米）
例2， 已知：在直角三角形ABC中，∠C=90 ，BC=8,AC=17,求AB的长度。
4、 练习：第102页的练习题
3、 课堂小结
这节课我们通过具体的实例验证了直角三角形三边之间的关系，实际上勾股定理在我国古代早已被发现和应用，今天我们只不过作了粗略的探讨。通过本节课的学习，同学们一方面要掌握勾股定理的内容，另一方面，要能运用它来计算直角三角形边的长度。
4、 作业：第104页习题19.2的第1、2小题
第119页复习题的第1题
第二课时 勾股定理
教学目标
上节课同学们感性认识了勾股定理，本节课通过给出一些证明勾股定理的方法，让学生理性认识勾股定理，同时渗透方程思想，寓德于教，进一步运用勾股定理解决问题。
重点、难点
重点：勾股定理的证明方法的探讨，进一步运用勾股定理解决一些简单的问题。
难点：构建证明勾股定理的图形，是本节课的教学难点。
教学过程
一、对勾股定理的回顾
如图，三角形ABC是Rt△，∠C＝90 ，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，那么a、b、c具有什么关系呢？
勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系，那么，同学们是否能够想出证明这个定理的方法呢？
二、新课
1、 勾股定理的证明思路与方法
发给每位同学完全相同的四个直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图形。
问：大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 。
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论？
提问后再给出提示。一方面，大正方形的面积可以表示为（a+b）2；另一方面又可以表示为ab×4+c2=2ab+ c2,所以（a+b）2＝2ab+ c2，即
用四个完全相同的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形。与上面的方法类似，也可以证明勾股定理是正确的（请同学们模仿上面的证明方法，给出勾股定理的证明）
一方面，大正方形的面积为c2,另一方面，大正方形的面积为（a-b）2+4×ab，所以，a2+b2=c2
2、 进一步运用勾股定理解决问题
例1、 如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长为160米，BC长128米，问从A点穿过湖到B点有多远？
解：在直角三角形ABC中，AC＝160，BC＝128，根据勾股定理可得
AB＝==96（米）
答：从点A穿过湖到B点有96米。
练习：课本第104页第1、2小题
3、 勾股定理史话见书第105页，增强学生的民族自豪感。
3、 课堂小结
本节课我们进一步认识了勾股定理，利用两种方法证明了这个定理，同学们在应用此定理解决问题时，应注意只有直角三角形的三边才有这样的关系，如果不是直角三角形，应该构造直角三角形来解决。
4、 作业
课本第104页第1、2、3、4、5小题
§19.3 锐角三角函数
1、锐角三角函数
第一课时 锐角三角函数
教学目标
使学生了解在直角三角形，锐角的对边与斜边、邻边 与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。并能应用这些概念解决一些实际问题。
重点、难点
重点：四个三角函数的概念，应用这些概念解决一些问题
难点：对正弦、余弦、正切、余切概念的理解
教学过程
1、 通过实例引入新课
由上节课例题若加改变的，若AC＝160米，∠C＝31 ，那么，AB的长度为多少呢？
同学们或许现在不能解决上述问题，但是通过这节课的学习，以上问题自然很容易得到解决。
2、 新课
1、 明确直角三角形边与角关系的名称
直角三角形ABC可记为Rt△ABC，我们已经知道∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示。
如图，在Rt△EFG中，请同学们分别写出∠E和∠F的对边和
邻边。
2、 在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。
问题一，如图，在Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、Rt△AB3C3中，那么△AB1C1和△AB2C2相似吗？
△AB1C1和△AB3C3相似吗？与相等吗？
分析：∠AC1B1=∠AC2B2, ∠A为公共角，则△AB1C1∽△AB2C2，同理，△AB1C1∽△AB3C3，则，
＝，＝，即＝＝
这说明在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。
同样， ＝＝，＝＝，
＝＝，
这说明，在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。
3、锐角三角函数的概念
Rt△ABC中，
⑴∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作:sinA=
⑵∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作：cosA=
⑶∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作：tanA=
⑷∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作:cotA=
同学们想一想，在Rt△ABC中，∠B的正弦、余弦、正切、余切是哪一边与那一边的比值？
问题2、锐角三角函数都是正实数吗 为什么？
若∠A是锐角，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA cotA＝1，为什么？
4、 例题讲解
例1 求出如图的Rt△ABC中的四个三角函数值
(解略)
例2、已知Rt△ABC中，∠C＝90 ，a:b=3:2,c=
求∠A、∠B的四个函数值。
（解略）
3、 课堂练习
课本第109页练习的第1、2两题
4、 课堂小结
在直角三角形中，当锐角一定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的，这几个比值称为锐角三角形的三角函数，它反映的是两条线段的比值，对于三角函数的概念，同学们必须深刻理解后再记忆，不要混淆。
五、作业
课本第111页习题19.3的第1、2题，第120页复习题的第8题
第二课时 锐角三角函数
教学目标
是学生进一步掌握三角函数的概念，并熟练运用此概念探索30 、45 、60 等角度的三角函数值，培养学生运用知识解决问题的能力。
重点、难点
对30 、45 、60 等角度的三角函数值的探索
教学过程
一、新课
1、 通过测量，计算sin30 的值，进而求出30 的其它函数值。
请每位同学画一个含有30 的角的直角三角形，而后用刻度尺量出它们的对边和斜边，计算
sin30 的值，并与同伴交流，看看这个值是多少。
通过测量计算，我们可以得到sin30 =＝，即斜边等于对边的2倍。因此，我们还可以得到：再直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半从图中看，即c=2a,由勾股定理得到
b==a,所以，cos30 ==a=
tan30 ==,cot30 =
2.由上面的测量得到sin30 值，推出60 角的四个三角函数值。
如图，若∠A＝30 ，则∠B=60 ,c=2a,b==a,
则sin60 ==a=
cos60 ===
tan60 ==,cot60 ==,
3.用同样的方法，求出45 角的三角函数值。
4、用表格列出30 、45 、60 角的四个三角函数值。
a sina cosa tana cota
30
45 1 1
60
5、 例题
计算：①sin30 +cos45 -(cot60 -1)+tan37 cot37
②cos245 ＋tan60 -
③已知：cos(a+28 )=求a的度数
3、 课堂练习
课本第110页练习的第四题
4、 课堂小结
本节课我们通过测量，计算求出了30 、45 、60 角的四个三角函数值，同学们应该记住这些特殊角的三角函数值，这在今后的学习中有很大的帮助，同时，在求这些三角函数值的方法也显得相当的重要，应领会其实质。
5、 作业
1、 课本第111页习题19.3的第3题
2、 课本第119页复习题的第3、4题
3、 选作：已知锐角三角形ABC中∣sinA-∣+(cotB-)2=0,求∠C的度数
若a是锐角，且tan(a-23 )=,求a的度数。
2、用计算器求锐角三角函数值
教学目标
使学生能用计算器求锐角三角函数值，并能初步运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形的问题。
重点、难点
重点：用计算器求锐角三角函数值；运用直角三角形的边角关系解决一些简单的实际问题。
难点：根据实际问题画出实际图形，进而运用直角三角形的边角关系，解决一些简单的实际问题。
教学过程
1、 由问题引入新课
问题：小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成60 的角，他的风筝有多高？（精确到1米）
根据题意画出示意图，如右图所示，在Rt△ABC中，AB＝125米，∠B＝60 ，求AC的长。（待同学回答后老师再给予解答）
在上节课，我们学习了30 、45 、60 角的三角函数值，假如把上题的∠B＝60 改为∠B＝63 ，这个问题是否也能得到解决呢？回答是肯定的。
2、 用计算器求任意锐角的三角函数值
1、 求已知锐角的三角函数值
例1、 求sin63 52′41″的值，（精确到0.0001）
解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度”
显示
再按下列顺序依次按键：
″′
所以sin63 52′41″≈0.8979
例2．求cot70 45′的值（精确到0.0001）
解：在角度单位状态为“度”的情况下，屏幕显出 ，按下列顺序按键：
显示结果为0.3492。
2、 由锐角三角函数值求锐角
例3．已知tanx＝0.7410，求锐角x（精确到1′）
解：在角度状态为度的情况下（屏幕显出D），按下列顺序依次按键：
显示结果为36.53844577。
再按键 ，显示结果为36 32′18.4″ 所以x≈36 32′
例4．已知cotx＝0.1950,求锐角x（精确到1′）。
分析：根据tanx＝,可以求出tanx的值，然后根据例3的方法就可以求出锐角x的值。
通过以上的学习，我们可以利用计算器求出任何锐角的三角函数值，那么对于上述提出的问题不难得到解决。
AC＝ABsin63 ＝125×0.8910＝111.37≈111米
所以风筝的高度约为111米。
3、 课堂练习
1、 课本第111页练习的第1、2题。
2、 如图是一块平行四边形的地皮，已知AB＝43米，AD＝34米，∠A＝67 26′53″，求这块地皮的面积。
4、 课堂小结
1、 我们可以利用计算器求出任意锐角的三角函数值，反过来，知道某个锐角的三角函数值，可以求出这个锐角。
2、 我们可以利用直角三角形的边角关系解决一些实际的问题。
5、 布置作业
1． 课本第111页习题19.3第4、5题。
2． 课本第120页的第9题。
§19.4 解直角三角形
第一课时 解直角三角形
教学目的
使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角（两锐角互余）、边与边（勾股定理）、边与角关系解直角三角形。
重点、难点
正确选择边与角的关系以简便的解法解直角三角形既是教学重点又是教学难点。
教学过程
1、 引入新课
如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处。问大树在折断之前高几米？
显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为
＝26 26＋10＝36，
所以，大树在折断之前的高度为36米。
2、 新课
1． 解直角三角形的定义
任何一个直角三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形。
2． 解直角三角形的所需的工具
①两锐角互余∠A+∠B＝90
②三边满足勾股定理a2+b2=c2
③边与角关系sinA＝cosB＝，sinB＝cosA＝，tanA＝cotB＝, tanB＝cotA＝。
3.例题讲解
例1．如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40 的方向，炮台B测得敌舰在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1米）。
分析：本题中，已知条件是什么？（AB＝2000米，∠CAB＝90 －∠CAD＝50 ），那么求AC的长是用“弦”还是用“切”呢？求BC的长呢？显然，AC是直角三角形的斜边，应该用余弦函数，而求BC的长可以用正切函数，也可以用余切函数。
解：在Rt△ABC中，因
∠CAB＝90 －∠CAD＝50
＝tan∠CAB
所以BC＝AB.tan∠CAB＝2000×tan50 ≈2348（米）
又因为＝cos50 ，所以AC＝＝≈3111（米）。
答：敌舰与两炮台的距离分别为3111米和2348米。
讲解后让学生思考以下问题：
①在求出后，能否用勾股定理求得BC；
②在这题中，是否可用正弦函数求AC，是否可以用余切函数求得BC。
通过这道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“工具”以达到目的。
3． 从上面的两道题可以看出，若知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个锐角，若知道一条边和一个锐角，可以利用边角关系求出其他的边与角。所以，解直角三角形无非以下两种情况：
①已知两条边，求其他边和角；
②已知一条边和一个锐角，求其他边角。
3、 课堂练习
课本第113页练习的第1、2小题（帮助学生画出第2题的图形）。
4、 课堂小结
本节课我们利用直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，由已知元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的具体条件，正确选择上述的“工具”，求出题目中所要求的边与角。
5、 布置作业
1． 课本第116页习题19.4的第1、2题。
2． 选做题目。
选作题目
1． 如图（1），一个古代棺木被探明位于地下24米处，由于点A地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距A点8米的B点挖掘，考古人员应与地面形成多大角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长度距离？
2． 在数学活动课上，老师带领同学去测量，如图（2）所示，一位同学在A处观测到河岸某处有一点C，并测得∠CAD＝43 ，在距离A处30米的B处测得∠CBD＝32 ，求河宽CD（精确到0.1米）。
3． 如图（3），两条宽度为1cm的皮带，相交成a角，那么两皮带重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）。
A.1 B. C. D.
第二课时 解直角三角形
教学目的
使学生进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
重点、难点
重点：运用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。
难点：对于一些实际问题，怎样把它化为数学问题是本节课的教学难点。
教学过程
1、 给出仰角、俯角的定义
在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线（眼睛与旗杆顶端的连线）与水平角的夹角，那么把这个角称为什么角呢？
如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。
2、 例题讲解
例1． 如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22 ，求电线杆AB的高度。
分析：因为AB=AE+BE,AE=CD=1.20米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决，在△BDE中，已知DE=CA=22.7米，∠BDE＝22 ，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢？显然正切或余切都能解决这个问题。
解：在Rt△ABC中，
BE=DE×tanα=AC×tanα=22.7×tan22 ≈19.7
所以，AB=BE+AE=BE+CD=9.17+1.20≈10.4（米）
答：电线杆的高度为10.4米。
例2． 如图，A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器（皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角）。
1． 你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据（用字母表示），并画出测量图形。
2． 用你测量的数据（用字母表示）写出计算B楼高度的表达式。
分析：如下图，由于楼的各层都能到达，所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角，再测B楼的底端的俯角，这样在Rt△ABD中就可以求出BD的长度，因为AE=BD，而后Rt△ACE中求得CE的长度，这样CD的长度就可以求出。
解：1.如右图
第一步：在A楼的顶端测得B楼的顶端的仰角∠CAE＝α,测得楼的底端的俯角∠EAD＝β。
第二步：量得A楼的高度为AB=a米。
3． 过程作AE∥BD交CD于E点
因为AE∥BD，所以∠BDA=∠EAD=β在Rt△ABD中，=cotβ,所以BD=AB×cotβ,在Rt△ACE中，=tanα,所以CE=AE×tanα,因为AE=BD=AB×cotβ,所以CE= AB×cotβtanα=a. cotβ. Tanα(米)
所以B楼的高度为（1＋cotβ. Tanα）.a米。
请同学们想一想，是否还能用其它的方法测量出B楼的高度。
3、 课堂练习
课本第114页练习的第1、2题。
4、 课堂小结
本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把他们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题选用适当的数学知识加以解决。
5、 布置作业
1． 课本第116页第3、4题。
第三课时 解直角三角形
教学目标
使学生知道测量坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡角有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
重点、难点
重点：坡度与坡角的关系，把梯形转化为直角三角形，解决与坡度有关的实际问题。
难点：
把实际问题转化为数学问题能力的培养。
教学过程
1、 引入新课
如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.从图形可以看出， ＞,即tanA1＞tanA.
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
2、 新课
1、 坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度（或坡比），记作i,即i＝,坡度通常用1∶m的形式，例如图中的1∶2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系i=tanB,显然，坡度越大坡角越大，坡面就越陡。
2、 例题讲解
例1、 如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面
与地面的倾角分别是32 和28 ，求路基下底的宽。（精确到0.1米）
分析：四边形ABCD是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB=AE＋EF＋BF，EF=CD=12.51米，AE在直角三角形中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得以解决。
解：分别过D、C两点作DE⊥AB，CF⊥AB,垂足分别为E、F，由题意可知，
DE＝CF＝4.2(米)
CD=EF=12.51(米)
在Rt△ABC中，
∵i===tan32
∴AE=≈6.72(米)
在Rt△BCF中，同理可得，
BF=≈7.90(米)
因此，AB= AE＋EF＋BF≈6.72+12.51+7.90≈27.13(米)
答：路基的下底得宽约为27.13米。
例2、 如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD,试根据图中的数据，求出坡角α和坝底宽AD.（i=CE∶ED,单位米，结果保留根号）
分析：由i=1∶即可得到tanα=1∶==,这样就可以得到α＝30 ；过B点作BF⊥AD,BF=CE=4,AF、DE分别在Rt△ABF和Rt△DCE中求得，而EF=BC=4.5,所以下底AD的长度可以求得。
解：过B点作BF⊥AD,垂足为F
∵i=1∶
∴tanα==,
∴α＝30
在Rt△ABF和Rt△DCE中
AF===3
=,所以，DE=CE=4
∴AD=AF＋EF＋DE＝（7.5＋4）米
三、课堂练习
课本第116页的练习。
四、课堂小结
会知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过对添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。
五、作业
1、如右图，水库大坝的横截面是梯形ABCD,坝顶CD宽为6米，坝高20米，斜坡AD的坡度i1=1∶0.75,斜坡CB的坡度i2=1∶2.5。求⑴斜坡AD的坡角；⑵坝底宽AB;⑶斜坡BC的长。
3、 如图，为了满足农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m,下底宽为2m,坡底为1∶0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，是土堤高度比原来增加了0.6m,求：⑴渠面宽EF；
⑵修200m长的渠道需挖的土方数。
习题
19．2 勾股定理
第一课时
A 组
①在△ABC中，∠C=90 ，若b=m, ∠A=30 ,则a=_______________ c=_______________
②在△ABC中，∠C=90 ，BC=12,AB=20,则AC=______________
③若一直角三角形两边长为12和5，则第三边_____________
④若等腰直角三角形斜边上的高等于a,则腰长 ，面积为 。
⑤直角三角形两锐角的平分线所夹的锐角为 。
B组
①在Rt△ABC的斜边AB上另作△ABD，并且AB为斜边，若BC＝1，AC＝6，AD＝2，
则BD＝ 。
②一等腰直角三角形的周长为2P，其面积为 。
③△ABC中，若AB＞AC，AM为BC上的中线，AD为BC上的高，求证：AB2－AC2＝2BCDM
第二课时
A组
①在直角坐标系内，点A（2，－4）与点B（－3，－2）的距离是
②已知正方形的对角线长为2a，则它的边长为
③一轮船以16海里∕时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里∕时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距 海里。
④在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高为2.4米的墙上，小虎应把梯子的底端放在距离墙 米处。
⑤△ABC中，若∠A＝75 ，∠C＝45 ，AB＝2，则AC的长
B组
①如图1，Rt△ABC中，∠C=90 ，D为BC上一点，∠DAC＝30 ，BD＝2，AB=2,则AC的长是
②如图2，△ABC，∠ACB＝90 ,CD⊥AB于D，且AB＋BC=18cm,若要求出CD和AC的长，还需要添加什么条件？
③用照相机拍摄一个距离5m外，身高1.7m的人的全身像，若镜头与底片的距离是38mm，那么底片上的人像的高是多少？（精确到1mm）
19．3 锐角三角函数
第一课时
A组
① Rt△ABC中，若各边长都扩大2倍，则锐角A的四个三角函数值
②在△ABC中，∠A＝90 ， b＝,△ABC的面积＝2.5，则斜边a＝ ，sinC＝
tanB=
③在△ABC中，∠C＝90 ，a∶b＝3∶2，c＝,求∠A的四个三角函数值。
④若∠A为锐角,cosA= ,则sinA＝
⑤在△ABC中， ∠C＝90 ,则 是∠A的函数。
B组
①当锐角α＝ 时， 没有意义
②若sin254 ＋cos2α＝1，则锐角α＝
③若锐角A满足tanA－cotA＝2，则tan2A＋cot2A＝
第二课时
A组
1、 求下列各式的值
⑴2sin30 －2cos60 ＋tan45 ⑵tan30 cot30 ＋sin245 ＋cos245
⑶1－sin245 －cos245 ⑷
⑸ cos60 －sin45 ⑹
2、 在△ABC中，若三个内角的比为∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则sinA∶sinB∶sinC=
3、 Rt△ABC中，若sinA＝ ，则cos 的值等于
4、 当锐角 A ＞60 时，∠A的余弦值
B组
1、在△ABC中，若∣sinA－ ∣＋（ －cosB）＝0，则∠C＝
2、在△ABC中，若∠A,∠B都是锐角，且sinA＝ ，sinB＝ ，你能判断出△ABC的形状吗？
3、在Rt△ABC中，∠C＝90 ，a＋b＝2＋，c＝4，求锐角A的度数。
19．4 解直角三角形
第一课时
A组
1、如果一个三角形的两边长分别为3cm和12cm，夹角为30 ，那么和它面积相等的等腰直角三角形的直角边长为（ ）
A.5cm B.3cm C.7cm D.8cm
2、已知等腰三角形的腰长为16，底边长为16，则此三角形的各角分别为 。
3、△ABC中，若∠C＝120 ，BC＝3，AC=2,则△ABC的面积 。
4、如图所示，△ABC中，若∠C＝90 ，∠B＝15 ，DE垂直平分AB，E为垂足，交BC于D，BD＝16cm，求DC长。
5、如图所示，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且他们的交角为α，则他们的重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C.sina D.1
B组
1、一油桶高0.8米，桶内有油，一根木棒长1米，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8米，则桶内油面的高度。
2、如图所示，已知梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.5米，则梯子顶端A下滑了多少米？
第二课时
A组
1、当太阳光线与地面所成的角是20 时，树的影长为8米，则树的高度为 米。（精确到0.1米）
2、如图一所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45 ，把△ADC沿AD对折，点C落到点C′的位置，则BC′与BC之间的数量关系是 。
3、一辆汽车沿25 的斜坡行驶2km，则这辆汽车现在的位置至起点的水平距离为 （精确到0.1km）
4、如图二所示，在离地面高度5米处拉线固定电线杆，若拉线与地面成60 ，则拉线AC的长是 。
B组
1、如图一所示，由于过度砍伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日，A市气象局测得沙尘暴中心在A市的正西方向240km的B处，正以12km/h的速度向北偏东60 方向移动，距沙尘暴中心150km的范围内受影响区域。
①A市是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
②若A市受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
2、如图二所示，甲楼的朝向是正南方向，楼高16m（即AB＝16m），现在甲楼的后面（即北测）盖一座乙楼，如果两楼相距20m（即BD＝20m），已知冬天正午时太阳光线与地面水平夹角最小为30 ，
①甲楼的影子落在乙楼上多高？（结果保留根号）
②如果甲楼的影子刚好不影响乙楼，那么甲楼和乙楼的距离是多少？（结果保留根号）
第三课时
A组
1、若某人沿山坡走了60m，他升高了30，则山坡的坡度为（ ）
A、30 B、 C、1∶1 D、45
2、如图一，某宾馆准备在大厅的楼梯上铺设地毯，若楼梯的坡角为30 ，根据图中的数据，则至少需要地毯的长度为 m（精确到0.1m）
3、如图二，水库大坝的横截面为梯形，坝顶宽6m，坝高24m，斜坡AB的坡角为45 ，斜坡CD的坡度i＝1∶2，则坝底宽BC为 m
4、已知斜坡AB＝12m，AB的坡度i＝1∶，则斜坡AB的高为
5、如图三，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5米，故杆顶E着地点比前一次远1m，则原标杆的高为 米。
B组
1、某山区计划修一条通过小山的公路，经测量从山底B到山顶A的坡角是30 ，斜坡AB长100m，根据地形，要求修好的公路路面BD的坡度为i＝1∶5（假定A，D两点处于同一铅垂直线上），为了减少工程量，若AD≤20米，则可直接开挖修建公路；若AD＞20米，就要重新设计，则这段公路是否需要重新设计？
2、某幼儿园设计一种儿童滑梯，滑梯的两侧宽窄一致，长短一致，且形状为等腰梯形，量得滑梯底部的长度是13米，滑梯与地面的夹角为35 ，滑梯顶部有1米宽的平台，则单侧滑梯长为 米（精确到0.01米,sin35 ≈0.5736,cos35 ≈0.8192, tan35 ≈0.7002）
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
A
B
C
弦
勾
a
b
c
a
b
A
图1-3
股
c
b
a
c
c
B
b
a
a
b
C
128m
160m
160m
128m
A
A
B
C
a
B
C
c
b
A
E
G
F
A
C1
C2
C3
B1
B2
B3
C
A
B
15
8
C
A
B
C
A
B
A
B
C
60
MODE
MODE
1
D
sin
63
″′
52
″′
41
″′
=
D
1
÷
tanm
70
″′
45
″′
=
SHIFT
Tan-1
0
. 7
4
1
0
=
SHIFT
′″
B
A
C
D
24米
10米
A
C
B
a
b
c
B
A
C
D
2000m
煤气管道
棺木
A
B
C
C
D
A
B
图（1）
图（2）
图（3）
铅垂线
视线
水平线
视线
2
1
C
A
D
E
B
A
B
A
B
D
E
C
A
C
B
A1
C1
B1
A
B
C
i=1:2
C
D
B
A
4.2m
12.51m
E
F
A
D
C
B
4.5
5
F
E
4
α
A
B
D
C
E
F
A
D
B
C
0.6m
1.2m
2m
A
D
B
C
图1
C
B
D
A
图2
A
B
C
E
D
a
A
E
C
B
D
B
C′
D
C
A
图一
5m
A
D
B
C
图二
西
B
东
北
A
图一
图一
A
北
西
B
东
图一
A
北
西
B
东
A
南
北
16m
B
20m
C
D
甲 楼
乙 楼
图二
图二
乙 楼
甲 楼
C
A
D
20m
B
16m
A
C
B
2m
30
图一
A
B
D
C
图二
E
C
A
B
D
图三
B
C
D
A
i=1∶5
35
PAGE
1
1、 教学目标
1、 使学生了解测量在现实生活中的应用非常广泛，通过带领学生测量物体的高度，培养学生应用数学知识的意识与能力，同时也培养学生学习数学的兴趣。
2、 让学生经历勾股定理的探索与形成过程，发展学生探索未知世界的能力，并能应用勾股定理解决一些简单的实际问题。
3、 应用直角三角形的边与边关系、角与角关系、边与角关系解决直角三角形，解决有关的实际问题。解决实际问题是本单元教学活动的落脚点，在解决实际问题过程中，让学生充分体验学好数学的必要性。
4、 注重数学知识的联系，能够把其它图形转化为直角三角形，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力，进而应用所学的数学知识加以解决。
2、 重点、难点
重点：
1、 勾股定理的认识与应用
2、 通过实例认识锐角三角函数，知道特殊角（30 、45 、60 ）的三角函数值，应用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角
3、 灵活运用边与边、角与角、边与角关系的知识解直角三角形
4、 利用解直角三角形的知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题。
难点：
1、 学生参与探索、发现、证明勾股定理的过程中，构造证明勾股定理图形
2、 把实际问题转化为数学问题的能力的培养
3、 灵活运用直角三角形的知识，仰角、俯角、坡度等概念解决综合的实际问题。
3、 课时划分
§19.1 测量……………………………1 课时
§19.2 勾股定理………………………2 课时
§19.3 锐角三角函数…………………3 课时
§19.4 解直角三角形…………………3 课时
小结与复习………………………………2 课时
§19.1 测量
教学目标
使学生了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养学生应用知识解决问题的能力和学习数学的兴趣。
重点、难点
重点：利用图形的相似测量物体的高度，培养学生运用数学知识解决问题的能力
难点：画出实际问题的平面示意图。
教学过程
1、 引入新课
测量在现实生活中随处可见，筑路、修桥等建设活动都需要测量。当我们走进校园，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，我们也许会想，高高的旗杆到底有多高，能否运用我们所学的知识把旗杆的高度测量出来呢？
2、 新课
1、 请同学们根据课前预习，考虑书上阐述的测量旗杆高度的方法有几种，你是如何理解的呢？（待同学们回答完毕后再阐述，这里重要的是让学生画出示意图）
2、 课本上阐述测量旗杆的方法
第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长度，在根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度
解：由于太阳光可以把它看成是平行的，所以有∠BAC=∠B1A1C1，又因为旗杆和人都是垂直于地面的，所以∠ACB=∠A1 B1C1 =90 ，所以，△ACB∽△A1C1 B1，因此，=，则BC=，即可求得旗杆BC的高度。
如果遇到阴天，就你一个人，是否可以用其它方法测量旗杆的高度呢？
第二种方法：如下图所示，站在离旗杆的底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC＝34 ，并且已知目高AD为1米，现在请你按1：500的比例将△ABC画在纸上，并记作△A1 B1C1，用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以计算旗杆的实际高度。
解：∵∠BAC=∠B1A1C1＝34 ，∠ABC=∠A1 B1C1=90
∴△ABC∽△A1 B1C1
∴=
∴BC=500 B1C1，CE=BC+BE,即可求得旗杆的高度。
3、 课堂小结
本节课是用相似三角形的性质来测量旗杆的高度，同学在学习中应掌握其原理，并学会应用知识解决问题的方法。
4、 作业
第99页习题19.1
§19.2 勾股定理
第一课时
教学目标
用试验的方法使学生知道直角三角形的边与边的关系（勾股定理），增强学生对勾股定理的感性认识，并能用勾股定理解决一些简单的问题，渗透探索问题的思想与方法。
重点、难点
重点：从具体的图形中得出直角三角形的边与边的关系，会用这个关系解决一些简单的问题
难点：在利用图形确定任意直角三角形边与边关系时，计算各个正方形的面积是本节课的教学难点。
教学过程
一、复习引入
直角三角形是特殊的三角形，其中一个角是直角，两个锐角具有互余的关系。那么，直角三角形的三边具有什么关系呢？本节课就是要研究直角三角形三边的关系。
二、新课
1、等腰直角三角形边与边的关系
A
P R
C Q B
（图中每个小方格代表一个单位面积）
问题：
⑴ 观察图1-1,正方形p的面积是 个单位面积。
正方形Q的面积是 个单位面积。
正方形R的面积是 个单位面积。
正方形 P、Q、R，它们的面积具有什么关系呢？
显然，SR=SP+SQ
即AB2=BC2+AC2,这说明，等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方。那么，在一般的直角三角形中，是否也有这样的关系呢？
2、 任意直角三角形三边的关系
探索：
（1）观察图1-3、图1-4，并填写右表：
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）
图1-4
你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流。
（2）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
议一议
（1）你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾2＋股2＝弦2
3、 勾股定理的简单应用
例1， 如右图，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB（精确到0.01米）
例2， 已知：在直角三角形ABC中，∠C=90 ，BC=8,AC=17,求AB的长度。
4、 练习：第102页的练习题
3、 课堂小结
这节课我们通过具体的实例验证了直角三角形三边之间的关系，实际上勾股定理在我国古代早已被发现和应用，今天我们只不过作了粗略的探讨。通过本节课的学习，同学们一方面要掌握勾股定理的内容，另一方面，要能运用它来计算直角三角形边的长度。
4、 作业：第104页习题19.2的第1、2小题
第119页复习题的第1题
第二课时 勾股定理
教学目标
上节课同学们感性认识了勾股定理，本节课通过给出一些证明勾股定理的方法，让学生理性认识勾股定理，同时渗透方程思想，寓德于教，进一步运用勾股定理解决问题。
重点、难点
重点：勾股定理的证明方法的探讨，进一步运用勾股定理解决一些简单的问题。
难点：构建证明勾股定理的图形，是本节课的教学难点。
教学过程
一、对勾股定理的回顾
如图，三角形ABC是Rt△，∠C＝90 ，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，那么a、b、c具有什么关系呢？
勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系，那么，同学们是否能够想出证明这个定理的方法呢？
二、新课
1、 勾股定理的证明思路与方法
发给每位同学完全相同的四个直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图形。
问：大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 。
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论？
提问后再给出提示。一方面，大正方形的面积可以表示为（a+b）2；另一方面又可以表示为ab×4+c2=2ab+ c2,所以（a+b）2＝2ab+ c2，即
用四个完全相同的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形。与上面的方法类似，也可以证明勾股定理是正确的（请同学们模仿上面的证明方法，给出勾股定理的证明）
一方面，大正方形的面积为c2,另一方面，大正方形的面积为（a-b）2+4×ab，所以，a2+b2=c2
2、 进一步运用勾股定理解决问题
例1、 如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长为160米，BC长128米，问从A点穿过湖到B点有多远？
解：在直角三角形ABC中，AC＝160，BC＝128，根据勾股定理可得
AB＝==96（米）
答：从点A穿过湖到B点有96米。
练习：课本第104页第1、2小题
3、 勾股定理史话见书第105页，增强学生的民族自豪感。
3、 课堂小结
本节课我们进一步认识了勾股定理，利用两种方法证明了这个定理，同学们在应用此定理解决问题时，应注意只有直角三角形的三边才有这样的关系，如果不是直角三角形，应该构造直角三角形来解决。
4、 作业
课本第104页第1、2、3、4、5小题
§19.3 锐角三角函数
1、锐角三角函数
第一课时 锐角三角函数
教学目标
使学生了解在直角三角形，锐角的对边与斜边、邻边 与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。并能应用这些概念解决一些实际问题。
重点、难点
重点：四个三角函数的概念，应用这些概念解决一些问题
难点：对正弦、余弦、正切、余切概念的理解
教学过程
1、 通过实例引入新课
由上节课例题若加改变的，若AC＝160米，∠C＝31 ，那么，AB的长度为多少呢？
同学们或许现在不能解决上述问题，但是通过这节课的学习，以上问题自然很容易得到解决。
2、 新课
1、 明确直角三角形边与角关系的名称
直角三角形ABC可记为Rt△ABC，我们已经知道∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示。
如图，在Rt△EFG中，请同学们分别写出∠E和∠F的对边和
邻边。
2、 在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。
问题一，如图，在Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、Rt△AB3C3中，那么△AB1C1和△AB2C2相似吗？
△AB1C1和△AB3C3相似吗？与相等吗？
分析：∠AC1B1=∠AC2B2, ∠A为公共角，则△AB1C1∽△AB2C2，同理，△AB1C1∽△AB3C3，则，
＝，＝，即＝＝
这说明在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。
同样， ＝＝，＝＝，
＝＝，
这说明，在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。
3、锐角三角函数的概念
Rt△ABC中，
⑴∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作:sinA=
⑵∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作：cosA=
⑶∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作：tanA=
⑷∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作:cotA=
同学们想一想，在Rt△ABC中，∠B的正弦、余弦、正切、余切是哪一边与那一边的比值？
问题2、锐角三角函数都是正实数吗 为什么？
若∠A是锐角，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA cotA＝1，为什么？
4、 例题讲解
例1 求出如图的Rt△ABC中的四个三角函数值
(解略)
例2、已知Rt△ABC中，∠C＝90 ，a:b=3:2,c=
求∠A、∠B的四个函数值。
（解略）
3、 课堂练习
课本第109页练习的第1、2两题
4、 课堂小结
在直角三角形中，当锐角一定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的，这几个比值称为锐角三角形的三角函数，它反映的是两条线段的比值，对于三角函数的概念，同学们必须深刻理解后再记忆，不要混淆。
五、作业
课本第111页习题19.3的第1、2题，第120页复习题的第8题
第二课时 锐角三角函数
教学目标
是学生进一步掌握三角函数的概念，并熟练运用此概念探索30 、45 、60 等角度的三角函数值，培养学生运用知识解决问题的能力。
重点、难点
对30 、45 、60 等角度的三角函数值的探索
教学过程
一、新课
1、 通过测量，计算sin30 的值，进而求出30 的其它函数值。
请每位同学画一个含有30 的角的直角三角形，而后用刻度尺量出它们的对边和斜边，计算
sin30 的值，并与同伴交流，看看这个值是多少。
通过测量计算，我们可以得到sin30 =＝，即斜边等于对边的2倍。因此，我们还可以得到：再直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半从图中看，即c=2a,由勾股定理得到
b==a,所以，cos30 ==a=
tan30 ==,cot30 =
2.由上面的测量得到sin30 值，推出60 角的四个三角函数值。
如图，若∠A＝30 ，则∠B=60 ,c=2a,b==a,
则sin60 ==a=
cos60 ===
tan60 ==,cot60 ==,
3.用同样的方法，求出45 角的三角函数值。
4、用表格列出30 、45 、60 角的四个三角函数值。
a sina cosa tana cota
30
45 1 1
60
5、 例题
计算：①sin30 +cos45 -(cot60 -1)+tan37 cot37
②cos245 ＋tan60 -
③已知：cos(a+28 )=求a的度数
3、 课堂练习
课本第110页练习的第四题
4、 课堂小结
本节课我们通过测量，计算求出了30 、45 、60 角的四个三角函数值，同学们应该记住这些特殊角的三角函数值，这在今后的学习中有很大的帮助，同时，在求这些三角函数值的方法也显得相当的重要，应领会其实质。
5、 作业
1、 课本第111页习题19.3的第3题
2、 课本第119页复习题的第3、4题
3、 选作：已知锐角三角形ABC中∣sinA-∣+(cotB-)2=0,求∠C的度数
若a是锐角，且tan(a-23 )=,求a的度数。
2、用计算器求锐角三角函数值
教学目标
使学生能用计算器求锐角三角函数值，并能初步运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形的问题。
重点、难点
重点：用计算器求锐角三角函数值；运用直角三角形的边角关系解决一些简单的实际问题。
难点：根据实际问题画出实际图形，进而运用直角三角形的边角关系，解决一些简单的实际问题。
教学过程
1、 由问题引入新课
问题：小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成60 的角，他的风筝有多高？（精确到1米）
根据题意画出示意图，如右图所示，在Rt△ABC中，AB＝125米，∠B＝60 ，求AC的长。（待同学回答后老师再给予解答）
在上节课，我们学习了30 、45 、60 角的三角函数值，假如把上题的∠B＝60 改为∠B＝63 ，这个问题是否也能得到解决呢？回答是肯定的。
2、 用计算器求任意锐角的三角函数值
1、 求已知锐角的三角函数值
例1、 求sin63 52′41″的值，（精确到0.0001）
解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度”
显示
再按下列顺序依次按键：
″′
所以sin63 52′41″≈0.8979
例2．求cot70 45′的值（精确到0.0001）
解：在角度单位状态为“度”的情况下，屏幕显出 ，按下列顺序按键：
显示结果为0.3492。
2、 由锐角三角函数值求锐角
例3．已知tanx＝0.7410，求锐角x（精确到1′）
解：在角度状态为度的情况下（屏幕显出D），按下列顺序依次按键：
显示结果为36.53844577。
再按键 ，显示结果为36 32′18.4″ 所以x≈36 32′
例4．已知cotx＝0.1950,求锐角x（精确到1′）。
分析：根据tanx＝,可以求出tanx的值，然后根据例3的方法就可以求出锐角x的值。
通过以上的学习，我们可以利用计算器求出任何锐角的三角函数值，那么对于上述提出的问题不难得到解决。
AC＝ABsin63 ＝125×0.8910＝111.37≈111米
所以风筝的高度约为111米。
3、 课堂练习
1、 课本第111页练习的第1、2题。
2、 如图是一块平行四边形的地皮，已知AB＝43米，AD＝34米，∠A＝67 26′53″，求这块地皮的面积。
4、 课堂小结
1、 我们可以利用计算器求出任意锐角的三角函数值，反过来，知道某个锐角的三角函数值，可以求出这个锐角。
2、 我们可以利用直角三角形的边角关系解决一些实际的问题。
5、 布置作业
1． 课本第111页习题19.3第4、5题。
2． 课本第120页的第9题。
§19.4 解直角三角形
第一课时 解直角三角形
教学目的
使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角（两锐角互余）、边与边（勾股定理）、边与角关系解直角三角形。
重点、难点
正确选择边与角的关系以简便的解法解直角三角形既是教学重点又是教学难点。
教学过程
1、 引入新课
如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处。问大树在折断之前高几米？
显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为
＝26 26＋10＝36，
所以，大树在折断之前的高度为36米。
2、 新课
1． 解直角三角形的定义
任何一个直角三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形。
2． 解直角三角形的所需的工具
①两锐角互余∠A+∠B＝90
②三边满足勾股定理a2+b2=c2
③边与角关系sinA＝cosB＝，sinB＝cosA＝，tanA＝cotB＝, tanB＝cotA＝。
3.例题讲解
例1．如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40 的方向，炮台B测得敌舰在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1米）。
分析：本题中，已知条件是什么？（AB＝2000米，∠CAB＝90 －∠CAD＝50 ），那么求AC的长是用“弦”还是用“切”呢？求BC的长呢？显然，AC是直角三角形的斜边，应该用余弦函数，而求BC的长可以用正切函数，也可以用余切函数。
解：在Rt△ABC中，因
∠CAB＝90 －∠CAD＝50
＝tan∠CAB
所以BC＝AB.tan∠CAB＝2000×tan50 ≈2348（米）
又因为＝cos50 ，所以AC＝＝≈3111（米）。
答：敌舰与两炮台的距离分别为3111米和2348米。
讲解后让学生思考以下问题：
①在求出后，能否用勾股定理求得BC；
②在这题中，是否可用正弦函数求AC，是否可以用余切函数求得BC。
通过这道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“工具”以达到目的。
3． 从上面的两道题可以看出，若知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个锐角，若知道一条边和一个锐角，可以利用边角关系求出其他的边与角。所以，解直角三角形无非以下两种情况：
①已知两条边，求其他边和角；
②已知一条边和一个锐角，求其他边角。
3、 课堂练习
课本第113页练习的第1、2小题（帮助学生画出第2题的图形）。
4、 课堂小结
本节课我们利用直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，由已知元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的具体条件，正确选择上述的“工具”，求出题目中所要求的边与角。
5、 布置作业
1． 课本第116页习题19.4的第1、2题。
2． 选做题目。
选作题目
1． 如图（1），一个古代棺木被探明位于地下24米处，由于点A地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距A点8米的B点挖掘，考古人员应与地面形成多大角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长度距离？
2． 在数学活动课上，老师带领同学去测量，如图（2）所示，一位同学在A处观测到河岸某处有一点C，并测得∠CAD＝43 ，在距离A处30米的B处测得∠CBD＝32 ，求河宽CD（精确到0.1米）。
3． 如图（3），两条宽度为1cm的皮带，相交成a角，那么两皮带重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）。
A.1 B. C. D.
第二课时 解直角三角形
教学目的
使学生进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
重点、难点
重点：运用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。
难点：对于一些实际问题，怎样把它化为数学问题是本节课的教学难点。
教学过程
1、 给出仰角、俯角的定义
在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线（眼睛与旗杆顶端的连线）与水平角的夹角，那么把这个角称为什么角呢？
如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。
2、 例题讲解
例1． 如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22 ，求电线杆AB的高度。
分析：因为AB=AE+BE,AE=CD=1.20米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决，在△BDE中，已知DE=CA=22.7米，∠BDE＝22 ，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢？显然正切或余切都能解决这个问题。
解：在Rt△ABC中，
BE=DE×tanα=AC×tanα=22.7×tan22 ≈19.7
所以，AB=BE+AE=BE+CD=9.17+1.20≈10.4（米）
答：电线杆的高度为10.4米。
例2． 如图，A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器（皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角）。
1． 你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据（用字母表示），并画出测量图形。
2． 用你测量的数据（用字母表示）写出计算B楼高度的表达式。
分析：如下图，由于楼的各层都能到达，所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角，再测B楼的底端的俯角，这样在Rt△ABD中就可以求出BD的长度，因为AE=BD，而后Rt△ACE中求得CE的长度，这样CD的长度就可以求出。
解：1.如右图
第一步：在A楼的顶端测得B楼的顶端的仰角∠CAE＝α,测得楼的底端的俯角∠EAD＝β。
第二步：量得A楼的高度为AB=a米。
3． 过程作AE∥BD交CD于E点
因为AE∥BD，所以∠BDA=∠EAD=β在Rt△ABD中，=cotβ,所以BD=AB×cotβ,在Rt△ACE中，=tanα,所以CE=AE×tanα,因为AE=BD=AB×cotβ,所以CE= AB×cotβtanα=a. cotβ. Tanα(米)
所以B楼的高度为（1＋cotβ. Tanα）.a米。
请同学们想一想，是否还能用其它的方法测量出B楼的高度。
3、 课堂练习
课本第114页练习的第1、2题。
4、 课堂小结
本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把他们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题选用适当的数学知识加以解决。
5、 布置作业
1． 课本第116页第3、4题。
第三课时 解直角三角形
教学目标
使学生知道测量坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡角有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
重点、难点
重点：坡度与坡角的关系，把梯形转化为直角三角形，解决与坡度有关的实际问题。
难点：
把实际问题转化为数学问题能力的培养。
教学过程
1、 引入新课
如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.从图形可以看出， ＞,即tanA1＞tanA.
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
2、 新课
1、 坡度的概念，坡度与坡角的关系。
如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度（或坡比），记作i,即i＝,坡度通常用1∶m的形式，例如图中的1∶2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系i=tanB,显然，坡度越大坡角越大，坡面就越陡。
2、 例题讲解
例1、 如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面
与地面的倾角分别是32 和28 ，求路基下底的宽。（精确到0.1米）
分析：四边形ABCD是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB=AE＋EF＋BF，EF=CD=12.51米，AE在直角三角形中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得以解决。
解：分别过D、C两点作DE⊥AB，CF⊥AB,垂足分别为E、F，由题意可知，
DE＝CF＝4.2(米)
CD=EF=12.51(米)
在Rt△ABC中，
∵i===tan32
∴AE=≈6.72(米)
在Rt△BCF中，同理可得，
BF=≈7.90(米)
因此，AB= AE＋EF＋BF≈6.72+12.51+7.90≈27.13(米)
答：路基的下底得宽约为27.13米。
例2、 如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD,试根据图中的数据，求出坡角α和坝底宽AD.（i=CE∶ED,单位米，结果保留根号）
分析：由i=1∶即可得到tanα=1∶==,这样就可以得到α＝30 ；过B点作BF⊥AD,BF=CE=4,AF、DE分别在Rt△ABF和Rt△DCE中求得，而EF=BC=4.5,所以下底AD的长度可以求得。
解：过B点作BF⊥AD,垂足为F
∵i=1∶
∴tanα==,
∴α＝30
在Rt△ABF和Rt△DCE中
AF===3
=,所以，DE=CE=4
∴AD=AF＋EF＋DE＝（7.5＋4）米
三、课堂练习
课本第116页的练习。
四、课堂小结
会知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过对添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。
五、作业
1、如右图，水库大坝的横截面是梯形ABCD,坝顶CD宽为6米，坝高20米，斜坡AD的坡度i1=1∶0.75,斜坡CB的坡度i2=1∶2.5。求⑴斜坡AD的坡角；⑵坝底宽AB;⑶斜坡BC的长。
3、 如图，为了满足农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m,下底宽为2m,坡底为1∶0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，是土堤高度比原来增加了0.6m,求：⑴渠面宽EF；
⑵修200m长的渠道需挖的土方数。
习题
19．2 勾股定理
第一课时
A 组
①在△ABC中，∠C=90 ，若b=m, ∠A=30 ,则a=_______________ c=_______________
②在△ABC中，∠C=90 ，BC=12,AB=20,则AC=______________
③若一直角三角形两边长为12和5，则第三边_____________
④若等腰直角三角形斜边上的高等于a,则腰长 ，面积为 。
⑤直角三角形两锐角的平分线所夹的锐角为 。
B组
①在Rt△ABC的斜边AB上另作△ABD，并且AB为斜边，若BC＝1，AC＝6，AD＝2，
则BD＝ 。
②一等腰直角三角形的周长为2P，其面积为 。
③△ABC中，若AB＞AC，AM为BC上的中线，AD为BC上的高，求证：AB2－AC2＝2BCDM
第二课时
A组
①在直角坐标系内，点A（2，－4）与点B（－3，－2）的距离是
②已知正方形的对角线长为2a，则它的边长为
③一轮船以16海里∕时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里∕时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距 海里。
④在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高为2.4米的墙上，小虎应把梯子的底端放在距离墙 米处。
⑤△ABC中，若∠A＝75 ，∠C＝45 ，AB＝2，则AC的长
B组
①如图1，Rt△ABC中，∠C=90 ，D为BC上一点，∠DAC＝30 ，BD＝2，AB=2,则AC的长是
②如图2，△ABC，∠ACB＝90 ,CD⊥AB于D，且AB＋BC=18cm,若要求出CD和AC的长，还需要添加什么条件？
③用照相机拍摄一个距离5m外，身高1.7m的人的全身像，若镜头与底片的距离是38mm，那么底片上的人像的高是多少？（精确到1mm）
19．3 锐角三角函数
第一课时
A组
① Rt△ABC中，若各边长都扩大2倍，则锐角A的四个三角函数值
②在△ABC中，∠A＝90 ， b＝,△ABC的面积＝2.5，则斜边a＝ ，sinC＝
tanB=
③在△ABC中，∠C＝90 ，a∶b＝3∶2，c＝,求∠A的四个三角函数值。
④若∠A为锐角,cosA= ,则sinA＝
⑤在△ABC中， ∠C＝90 ,则 是∠A的函数。
B组
①当锐角α＝ 时， 没有意义
②若sin254 ＋cos2α＝1，则锐角α＝
③若锐角A满足tanA－cotA＝2，则tan2A＋cot2A＝
第二课时
A组
1、 求下列各式的值
⑴2sin30 －2cos60 ＋tan45 ⑵tan30 cot30 ＋sin245 ＋cos245
⑶1－sin245 －cos245 ⑷
⑸ cos60 －sin45 ⑹
2、 在△ABC中，若三个内角的比为∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则sinA∶sinB∶sinC=
3、 Rt△ABC中，若sinA＝ ，则cos 的值等于
4、 当锐角 A ＞60 时，∠A的余弦值
B组
1、在△ABC中，若∣sinA－ ∣＋（ －cosB）＝0，则∠C＝
2、在△ABC中，若∠A,∠B都是锐角，且sinA＝ ，sinB＝ ，你能判断出△ABC的形状吗？
3、在Rt△ABC中，∠C＝90 ，a＋b＝2＋，c＝4，求锐角A的度数。
19．4 解直角三角形
第一课时
A组
1、如果一个三角形的两边长分别为3cm和12cm，夹角为30 ，那么和它面积相等的等腰直角三角形的直角边长为（ ）
A.5cm B.3cm C.7cm D.8cm
2、已知等腰三角形的腰长为16，底边长为16，则此三角形的各角分别为 。
3、△ABC中，若∠C＝120 ，BC＝3，AC=2,则△ABC的面积 。
4、如图所示，△ABC中，若∠C＝90 ，∠B＝15 ，DE垂直平分AB，E为垂足，交BC于D，BD＝16cm，求DC长。
5、如图所示，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且他们的交角为α，则他们的重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C.sina D.1
B组
1、一油桶高0.8米，桶内有油，一根木棒长1米，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8米，则桶内油面的高度。
2、如图所示，已知梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD的长为0.5米，则梯子顶端A下滑了多少米？
第二课时
A组
1、当太阳光线与地面所成的角是20 时，树的影长为8米，则树的高度为 米。（精确到0.1米）
2、如图一所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45 ，把△ADC沿AD对折，点C落到点C′的位置，则BC′与BC之间的数量关系是 。
3、一辆汽车沿25 的斜坡行驶2km，则这辆汽车现在的位置至起点的水平距离为 （精确到0.1km）
4、如图二所示，在离地面高度5米处拉线固定电线杆，若拉线与地面成60 ，则拉线AC的长是 。
B组
1、如图一所示，由于过度砍伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日，A市气象局测得沙尘暴中心在A市的正西方向240km的B处，正以12km/h的速度向北偏东60 方向移动，距沙尘暴中心150km的范围内受影响区域。
①A市是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
②若A市受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
2、如图二所示，甲楼的朝向是正南方向，楼高16m（即AB＝16m），现在甲楼的后面（即北测）盖一座乙楼，如果两楼相距20m（即BD＝20m），已知冬天正午时太阳光线与地面水平夹角最小为30 ，
①甲楼的影子落在乙楼上多高？（结果保留根号）
②如果甲楼的影子刚好不影响乙楼，那么甲楼和乙楼的距离是多少？（结果保留根号）
第三课时
A组
1、若某人沿山坡走了60m，他升高了30，则山坡的坡度为（ ）
A、30 B、 C、1∶1 D、45
2、如图一，某宾馆准备在大厅的楼梯上铺设地毯，若楼梯的坡角为30 ，根据图中的数据，则至少需要地毯的长度为 m（精确到0.1m）
3、如图二，水库大坝的横截面为梯形，坝顶宽6m，坝高24m，斜坡AB的坡角为45 ，斜坡CD的坡度i＝1∶2，则坝底宽BC为 m
4、已知斜坡AB＝12m，AB的坡度i＝1∶，则斜坡AB的高为
5、如图三，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5米，故杆顶E着地点比前一次远1m，则原标杆的高为 米。
B组
1、某山区计划修一条通过小山的公路，经测量从山底B到山顶A的坡角是30 ，斜坡AB长100m，根据地形，要求修好的公路路面BD的坡度为i＝1∶5（假定A，D两点处于同一铅垂直线上），为了减少工程量，若AD≤20米，则可直接开挖修建公路；若AD＞20米，就要重新设计，则这段公路是否需要重新设计？
2、某幼儿园设计一种儿童滑梯，滑梯的两侧宽窄一致，长短一致，且形状为等腰梯形，量得滑梯底部的长度是13米，滑梯与地面的夹角为35 ，滑梯顶部有1米宽的平台，则单侧滑梯长为 米（精确到0.01米,sin35 ≈0.5736,cos35 ≈0.8192, tan35 ≈0.7002）
c
c
c
b
b
b
b
a
a
a
A
B
C
弦
勾
a
b
c
a
b
A
图1-3
股
c
b
a
c
c
B
b
a
a
b
C
128m
160m
160m
128m
A
A
B
C
a
B
C
c
b
A
E
G
F
A
C1
C2
C3
B1
B2
B3
C
A
B
15
8
C
A
B
C
A
B
A
B
C
60
MODE
MODE
1
D
sin
63
″′
52
″′
41
″′
=
D
1
÷
tanm
70
″′
45
″′
=
SHIFT
Tan-1
0
. 7
4
1
0
=
SHIFT
′″
B
A
C
D
24米
10米
A
C
B
a
b
c
B
A
C
D
2000m
煤气管道
棺木
A
B
C
C
D
A
B
图（1）
图（2）
图（3）
铅垂线
视线
水平线
视线
2
1
C
A
D
E
B
A
B
A
B
D
E
C
A
C
B
A1
C1
B1
A
B
C
i=1:2
C
D
B
A
4.2m
12.51m
E
F
A
D
C
B
4.5
5
F
E
4
α
A
B
D
C
E
F
A
D
B
C
0.6m
1.2m
2m
A
D
B
C
图1
C
B
D
A
图2
A
B
C
E
D
a
A
E
C
B
D
B
C′
D
C
A
图一
5m
A
D
B
C
图二
西
B
东
北
A
图一
图一
A
北
西
B
东
图一
A
北
西
B
东
A
南
北
16m
B
20m
C
D
甲 楼
乙 楼
图二
图二
乙 楼
甲 楼
C
A
D
20m
B
16m
A
C
B
2m
30
图一
A
B
D
C
图二
E
C
A
B
D
图三
B
C
D
A
i=1∶5
35
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