【大单元教学】鲁教版2023年八年级大单元 第九章图形的相似 课件（51张PPT）

(共51张PPT)
1.重点
2.考点
3.命题点
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．
2．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
3．了解相似三角形的性质定理和判定定理．
4．通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比．
5．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．
6．了解相似三角形判定定理的证明．
图形的相似
重点
相似三角形
比例线段
比例性质
平行线分线段成比例
第五讲 相似三角形
交叉相乘积相等：
①
=
(abcd≠0)
(1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所,得的线段成比例．如图1，图2，当l1∥l2∥,l3时,
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长,线)，所得的线段成比例．如图3，当DE∥BC时，有＝
ad=bc
重点
图形的相似
相似三角形
比例线段
相似三角形的性质及判定
第五讲 相似三角形
1.性质
2.判定
(1)相似三角形对应角② ，对应边③ ．
(2)相似三角形对应线段(边、高、④ 、角平分线)的比等于相似比.
(3)相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于 ⑤
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
一般三角形
(1)两角分别⑥ 的两个三角形相似．
(2)三边⑦ 的两个三角形相似．
(3)两边⑧ 且⑨ 的两个三角形相似.
直角三角形
(1)一组⑩ 对应相等，两三角形相似．
(2)两条边对应成比例，两三角形相似．
相等
成比例
中线
相似比的平方
相等
成比例
成比例
夹角相等
锐角
重点
图形的相似
发
相似三角形
相似多边形的性质及判定
第五讲 相似三角形
1.性质
2.判定
(1)对应角相等，对应边 ．
(2)对应边的比、周长的比都等于 ，面积的比等于 ．
(1)对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形．
(2)所有对应边成比例，那么这两个多边形是相似多边形．
相似三角形的实际运用
1.步骤
2.常考类型
(1)将实际问题转化为相似三角形问题．
(2)找出一对相似三角形．
(3)根据相似三角形的性质，表示出相应的量，并求解．
(1)利用光的反射定律求物体的高度．
(2)利用影子计算建筑物的高度(同一时刻，物高与影长成正比例，有：＝．
(3)构造相似三角形计算不能直接测量的物体的高度(宽度)．
成比例
相似比
相似比的平方
重点
图形的相似
相似三角形
图形的位似
第五讲 相似三角形
定义 ：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这两个图,形叫做位似图形，这个点叫做位似中心
2.性质
3．位似变换与坐标的关系：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标等于k 或
(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ，面积比等,于相似比的平方．
(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于同一点．
(3)位似图形对应边 且成比例．
(4)位似图形对应角 ．
相似比
平行(或共线)
相等
-k
重点
图形的相似
第五讲 相似三角形
一、相似三角形的判定
例1.如图，在△ABC中，点P在边AB上．
(1)可以添加条件 ，使得△APC∽△ACB，依据是 ；
(2)可以添加条件 ，使得△APC∽△ACB，依据是 ；
(3)可以添加条件 ，使得△APC∽△ACB；依据是
(4)如果∠ACP＝∠B，且AP＝2，BP＝3，则AC的长为．
∠ACP＝∠B
两角分别相等的两个三角形相似
∠APC＝∠ACB
两角分别相等的两个三角形相似
AC ＝AP·AB
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
考点
图形的相似
第五讲 相似三角形
练习1.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.图中相似三角形有
解析：∵∠BAD＝∠CAE，∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.
又∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE.∵△ABC∽△ADE，
∴＝
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE.
△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.
考点
图形的相似
第五讲 相似三角形
二、相似三角形的判定和性质
例2.(2020·杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.
(1)求证：△BDE∽△EFC；
(2)设＝，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
考点
图形的相似
第五讲 相似三角形
解：(1)证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE.
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC.
(2)①∵EF∥AB，
∴＝ ＝.
∵EC＝BC－BE＝12－BE，
∴ ＝，解得BE＝4.
②∵＝，
∴＝.
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
=() =() =
∴S△ABC＝ S△EFC＝ ×20＝45.
考点
图形的相似
第五讲 相似三角形
练习2.如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，求AO的长及△BOD的面积．
解：∵△OBD∽△OAC，∴＝ ＝ .
∵OB＝6，∴AO＝10.
∵＝，
∵S△AOC＝50，
∴S△BOD＝18.
考点
图形的相似
第五讲 相似三角形
练习3.如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，求AN的长．
解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x.
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC.
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x.
∵△AEF∽△ABC，
∴＝.
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60－x，
∴ ＝，解得x＝40，
∴AN＝60－x＝60－40＝20.
考点
图形的相似
第五讲 相似三角形
命题点 成比例的线段
1．如果＝，那么的值是( 　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．3 B．－3 C． D．－
解析：∵ = ，∴ b=2a ∴原式＝ =
B
命题点
图形的相似
第五讲 相似三角形
解析：设 ＝＝ ＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴＝＝＝ .
2．(2021·大庆中考)已知，则＝___.　
命题点
图形的相似
2
第五讲 相似三角形
命题点 平行线分线段成比例
C
3．(2021·淄博中考)如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是( )
命题点
图形的相似
第五讲 相似三角形
4．★如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是(　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解析：∵EF∥BC，
∴＝ .
∵EG∥AB，
∴ ＝
C
命题点
图形的相似
3
第五讲 相似三角形
命题点 相似三角形的性质与判定
5．★如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是(　 )
解析：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等．
B
命题点
图形的相似
第五讲 相似三角形
6．(2021·济南中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是( )
A．BE＝DE B．DE垂直平分线段AC
C． D．BD2＝BC·BE
C
解析：由题意知，AP为BD的垂直平分线，点E在AP上，则BE＝DE，A选项正确；∵∠C＝30°，∴∠BAC＝60°.又∵AP为BD的垂直平分线，∴∠BAP＝∠DAP＝30°，∴AE＝CE.又∵AB＝AD＝ AC，∴AD＝CD，∴ED⊥AC(三线合一)，∴DE垂直平分线段AC，B选项正确；∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠C＝∠C，∴△EDC∽△ABC.又∵DE＝BE＝ C选项错误；∵∠AED＝60°，∴∠EDB＝30°＝∠C.又∵∠DBE＝∠CBD，∴△BED∽△BDC，∴ ，∴BD2＝BC·BE，D选项正确．
命题点
图形的相似
第五讲 相似三角形
解析：∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，∴△ABC与△DEF的相似比为5∶4，
∴△ABC的中线AM与△DEF的中线DN之比为5∶4.
5∶4
7．★若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC的中线AM与△DEF的中线DN之比为 _________.
命题点
图形的相似
第五讲 相似三角形
8．★(2021·菏泽中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E，F，G，N，M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 .
解析：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，
∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，∴△AEM∽△ABC，
∴ ＝，
∴ ＝，
∴EF＝，∴EM＝5.
∵△AEM∽△ABC，
∴ ＝( ) ＝，
∴S四边形BCME＝S△ABC－S△AEM＝3S△AEM，
∴△AEM与四边形BCME的面积比为1∶3.
1∶3
命题点
图形的相似
第五讲 相似三角形
9．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
求证：△ABE∽△ACD.
证明：
∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，
∴∠ABE＝∠ACD.
又∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠EAC＝∠DAE＋∠EAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
∴△ABE∽△ACD.
命题点
图形的相似
第五讲 相似三角形
10．(2021·牡丹江中考)Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，矩形CDEF的另三个顶点D，E，F均在Rt△ABC的边上，且邻边之比为1∶2，画出符合题意的图形，并直接写出矩形周长的值．
命题点
图形的相似
第五讲 相似三角形
命题点
图形的相似
4
第五讲 相似三角形
命题点 相似三角形的应用
解析：由题意，得AB∥CD，
则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝3米．
3
11．(2021·烟台中考)《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为______米．
命题点
图形的相似
5
第五讲 相似三角形
命题点 位似图形的性质
12．(2021·重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B(0,1)，D(0,3)，则△OAB与△OCD的相似比是(　 )
A．2∶1 B．1∶2 C．3∶1 D．1∶3
解析：∵B(0,1)，D(0,3)，
∴OB＝1，OD＝3.
∵将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OB∶OD＝1∶3.
D
命题点
图形的相似
第五讲 相似三角形
13．(2021·东营中考)如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1,0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是( )
A．－2a＋3 B．－2a＋1
C．－2a＋2 D．－2a－2
解析：设点B′的横坐标为x，则B，C间的横坐标的长度为a－1，B′，C间的横坐标的长度为－x＋1.∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2(a－1)＝－x＋1，解得x＝－2a＋3.
A
命题点
图形的相似
第五讲 相似三角形
14．★(2021·遂宁中考)如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：
①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH·BD；
⑤若CE∶DE＝1∶3，则BH∶DH＝17∶16.
你认为其中正确是_________.(填写序号)
①②③④
命题点
图形的相似
第五讲 相似三角形
解析：∵四边形ABCD和四边形BGEF都是正方形，
∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠FBE＝45°，
∴∠ABF＝∠DBE，
∴①正确，符合题意；
∵△ABD∽△FBE，
∴ ＝，即 ＝ .
又∵∠ABF＝∠DBE，
∴△ABF∽△DBE，
∴②正确，符合题意；
∵△ABF∽△DBE，
∴∠FAB＝∠BDE＝45°，
∴AF⊥BD，
∴③正确，符合题意；
∵∠BEH＝∠EDB＝45°，∠EBH＝∠DBE，∴△BEH∽△BDE，
∴ ＝，
∴BE ＝BD·BH.
∵BE＝ BG，
∴2BG ＝BH·BD，
∴④正确，符合题意；
∵CE∶DE＝1∶3，
设CE＝x，DE＝3x，
∴BC＝4x
.在Rt△BCE中，BE＝x.
∵BE ＝BD·BH，
∴17x ＝4x·BH，
∴BH＝ x，∴DH＝ x，
∴BH∶DH＝17∶15
∴⑤错误，不符合题意．故综上所述，正确的有①②③④.
命题点
图形的相似
模型
1
“A”字型相似三角形模型
1．如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且∠ABC＝∠ADE，则有△ADE∽△ABC.
2．如图2，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且∠ABC＝∠AED，则有△AED∽△ABC.
命题点
解：(1)∵∠A＝65°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.
∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴∠AED＝∠C＝75°.
(2)由(1)知，△AED∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴＝，
∴BC＝ .
1．如图，在△ABC中，∠ADE＝∠B，AD＝7，AB＝10，DE＝6，∠A＝65°，∠B＝40°，
求：
(1)∠AED与∠C的度数；
(2)BC的长．
命题点
2．如图，在△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t(秒)．
(1)用含t的代数式表示：AP= 厘米，AQ＝ 厘米；
(2)当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
解：
(2)∵∠PAQ＝∠BAC，
∴当△APQ∽△ABC时， ＝，
即＝，解得t＝；
当△APQ∽△ACB时，＝ ，
即 =
解得t＝4.
∴当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为 秒或4秒．
2t
16-3t
命题点
2
模型 “8”字型相似三角形模型
1．如图3，在△ABC中，点D，E分别在BA，CA边的延长线上，且∠ABC＝∠ADE，则有△ADE∽△ABC.
2．如图4，在△ABC中，点D，E分别在BA，CA边的延长线上，且∠ABC＝∠AED，则有△ADE∽△ACB.
命题点
3．如图，BD，AC相交于点P，连接BC，AD，且∠1＝∠2，AD＝3，DP＝2，CP＝1，求BC的长．
解：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，
∴△ADP∽△BCP，
∴＝＝2.
∵AD＝3，
∴BC＝1.5.
命题点
4．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
求证：(1)AC ＝AB·AD；
(2)△AFD∽△CFE.
证明：(1)∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB.
又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD∶AC＝AC∶AB，
∴AC ＝AB·AD.
(2)∵E为AB的中点，
∴CE＝BE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA.
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA.
又∵∠AFD＝∠CFE，
∴△AFD∽△CFE.
命题点
模型
3
“母子”型相似三角形模型
1．如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则有△ADB∽△CDA∽△CAB.
2．如图6，在△ABC中，点D是BC边上一点，且∠ABC＝∠DAC，则有△DAC∽△ABC.
命题点
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，且CD⊥AB.
(1)求证：AC2＝AB·AD；
(2)若△ABC为任意三角形，试问：在AB边上(不包括A，B两个顶
点)是否仍存在一点D，使AC2＝AB·AD，若存在，请加以证明；
若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC ＝AB·AD.
(2)存在．理由如下：
如图，过点C作∠ACD＝∠B交AB于点D，
则AC ＝AB·AD，
证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ＝，
∴AC ＝AB·AD.
命题点
6．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD·DE＝BE·CD.
(1)求证：△BCD∽△BDE；
(2)若BC＝10，AD＝6，求AE的长．
解：(1)证明：∵BD⊥AC，DE⊥AB，
∴∠BDC＝∠BED＝90°.
又∵BD·DE＝BE·CD，
∴＝，
∴△BCD∽△BDE.
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴AE＝BA－BE＝10－＝.
(2)∵△BCD∽△BDE，∴∠EBD＝∠DBC.
又∵BD⊥AC，
∴CD＝AD＝6，BA＝BC＝10.
∵BD⊥AC，
∴BD＝＝8.
∵△BCD∽△BDE，
命题点
7．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点E，交DC的延长线于点F，点G在AE上，连接GD，∠GDF＝∠F.
(1)求证：AD2＝DG·AF；
(2)连接BG，如果BG⊥AE，且AB＝6，AD＝9，求AF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF＝∠F.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，
∴AD＝DF.
∵∠GDF＝∠F，∴∠GDF＝∠DAF.
又∵∠F＝∠F，∴△GDF∽△DAF，
∴＝，
∴AD ＝DG·AF.
(2)∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAF.
∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAF，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BA＝BE＝6.
又∵BG⊥AE，∴AG＝GE.
∵∠BEA＝∠CEF，∴∠CEF＝∠F.
∵AD＝BC＝9，
∴CF＝EC＝3，DF＝AD＝9.
∵AD∥BC，∴＝＝，即AG＝GE＝EF=3
∵∠F＝∠GDF，∴DG＝GF＝AF.
∵AD ＝DG·AF，∴AF ＝81，
∴AF＝.
命题点
8．如图1，△ABC内接于⊙O，点D是线段 的中点，且与点C位于AB的异侧，CD交AB于点E.
(1)求证：△ADE∽△CDA.
(2)如图2，若⊙O的直径AB＝4，CE＝2，求AD和CD的长．
解：
(1)∵点D是 的中点，
∴∠ACD＝∠BAD.
又∵∠ADE＝∠CDA，
∴△ADE∽△CDA.
(2)如图，连接BD.
∵点D是 的中点，
∴AD＝BD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD＝＝＝4.
由(1)得△ADE∽△CDA，
∴＝，即AD ＝CD·ED，
∴(4) ＝CD(CD－2)，
∴CD＝8.
命题点
模型
4
旋转型相似三角形模型
等角的顶点重合且等角的两边对应成比例的两个三角形旋转——相似三角形，如图：
总结：＝，∠CAE＝∠BAF→△ACE∽△ABF.
命题点
9．如图，已知四边形ABCD和EFCG均为正方形，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°.
(1)求证：△CAE∽△CBF；
(2)若BE＝1，AE＝2，求BF和CE的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴＝＝.
又∵∠ACE＋∠BCE＝∠BCF＋∠BCE＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF.
(2)∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE＝∠CBF，＝＝，
∴BF＝ AE＝.
∴∠CBF＋∠CBE＝∠CAE＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.
∴EF2＝BE2＋BF2＝12＋()2＝3，则EF＝.
∴CE＝EF＝.
命题点
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE∽△ABC，连接BD，CE.
(1)判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论；
(2)若AB＝2√3，AD＝4，∠BAC＝120°，∠CAD＝30°.求BD的长．
(1)BD＝CE.
证明：∵△ADE∽△ABC，AB＝AC，
∴∠BAC＝∠DAE，AD＝AE，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠CAD＋∠DAE，
即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝CE.
(2)如图，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于点H.
∵∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝150°，
∴∠DAH＝30°.
∵∠H＝90°，AD＝4，
∴DH＝2，AH＝2，
∴BH＝AH＋AB＝4.
在Rt△BDH中，
BD＝＝＝2.
命题点
11．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究．如图1，已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段AB，AC上，且∠C＝∠AED＝90°.
(1)观察猜想
小华将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，如图2，当BD的延长线恰好经过点E时，
①的值为　 　；
②∠BEC的度数为 　 度；
(2)类比探究
如图3，小芳在小华的基础上，继续旋转△ADE，连接BD，CE，设BD的延长线交CE于点F，请求出的值及∠BFC的度数．
(3)拓展延伸
若AE＝DE＝，AC＝BC＝，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长．
　45
命题点
(1)如图1，设AC交BE于点O.
∵△ADE，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD＝AE，AB＝AC，
∴∠EAC＝∠DAB，＝＝，
∴△DAB∽△EAC，
∴＝＝，∠ABO＝∠ACE.
∵∠AOB＝∠EOC，
∴∠BEC＝∠BAC＝45°.
故答案为：① . ②45.
(2)如图2，设AC交BF于点O.
∵△ADE，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD＝AE，AB＝AC，
∴∠EAC＝∠DAB，==
∴△DAB∽△EAC，
∴ = = ,∠ABD＝∠ACE.
∵∠AOB＝∠FOC，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°.
命题点
(3)如图3，当CE⊥AD于点O时，
∵AE＝DE＝，∠AED＝90°，
∴AD＝AE＝2.
∵EO⊥AD，
∴OD＝OA＝OE＝1，
∴OC＝＝3，
∴CE＝OE＋OC＝4.
∵BD＝CE，∴BD＝4；
如图4，当CE⊥AD交CE的延长线于点O时，
同理可得OD＝OA＝OE＝1，OC＝3，
∴CE＝OC－OE＝2，
∴BD＝CE＝2.
综上所述，BD的长为4或2.
命题点
模型
5
“赵爽弦图”衍生的相似三角形模型
一线三等角是有三个相等的角的顶点在同一条直线上构成的图形，这三个相等的角可以在同侧(在同侧时，三个等角可以是直角(如图①)，也可以是钝角(如图②)或锐角(如图③、图④)，也可以在异侧(如图⑤)．“一线三等角”模型也可称为“K字型”．
注：这些模型常用来证明三角形的全等或相似．
命题点
12．如图，∠ACB＝90°，CA＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是(　 )
　　　　　　　　　　　　　　　
A．B．2 C．2 D.
解析：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC＋∠BCE＝90°.
∵∠BCE＋∠DCA＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA.
在△CEB和△ADC中
∴△CEB≌△ADC(AAS)，
∴BE＝CD＝1，CE＝AD＝3.
∴DE＝CE－CD＝2.
B
命题点
13．如图，AB，CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，连接AP，CP，所得两个三角形相似，则BP的长是 ．
解析：设BP＝x，
则PD＝14－x.
当△ABP∽△PDC时，＝ ，即 ＝，
解得x1＝2，x2＝12；
当△ABP∽△CDP时，
＝ ，即 ＝ ，
解得x＝ .
综上所述，当所得两个三角形相似时，
BP的长为2或12或 .
2或12或
命题点
14．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足
为F，连接DF，求tan∠CAD的值．
解：如图，设AD＝2a.
∵E是AD的中点，
∴AE＝a.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°.
∵BE⊥AC，∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3.
∴△BAE∽△ADC.
∴＝，即=.
又∵BA＝DC，
∴DC＝a.
∴tan∠CAD＝ ＝＝.
命题点
15．如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB.在边AD上取点E，连接CE.过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F.
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF＋∠F＝90°.
∵EF⊥CE，
∴∠CED＋∠AEF＝180°－90°＝90°，
∴∠CED＝∠F.
又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AEF∽△DCE.
(2)∵△AEF∽△DCE，
∴＝.
∵AB＝CD＝3，AE＝4，DE＝6，
∴ ＝ ，
∴BF＝5.
16．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点(不与点B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．
解：(1)证明：
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠B＝∠ADE.
∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠B＋∠DAB.
∴∠DAB＝∠EDC.
∴△ABD∽△DCE.
(2)如图，过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFB＝90°，BF＝CF.
∵AB＝2，∠B＝30°，
∴AF＝1，BF＝.
∴BC＝2BF＝2.
∵△ABD∽△DCE.
∴＝，即
化简，得y＝ x － x＋2(0