【大单元教学】鲁教版2023年八年级大单元 第六章 特殊的平行四边形 课件（32张PPT）

(共32张PPT)
1.重点
2.考点
3.命题点
1．理解矩形的概念．
2．探索并证明矩形的性质定理及判定定理．
3．理解菱形的概念．
4．探索并证明菱形的性质定理及判定定理．
5．理解正方形的概念，以及平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．
6．探索并证明正方形的性质定理及判定定理．
重点
矩形、菱形和正方形
性质
矩形
1.边：矩形的对边平行且相等
2．角：四个角都是直角：∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°.
3．对角线：矩形的对角线② ：AC＝③ ，
OA＝OC，OB＝OD.
4．对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有④ 条
对称轴．
5．面积：S＝ab(a，b分别表示长和宽)．
6．拓展：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
AB=CD,AD=BC,
AB//CD,AD//① .
BC
互相平分且相等
BD
2
判定
1.定义：有一个角是⑤ 角的平行四边形是矩形． ABCD是矩形
2．对角线相等的⑥ 形是矩形． ABCD是矩形
3．三个角都是⑦ 角的四边形是矩形．
直
ABCD
∠ABC＝90°
平行四边
ABCD
AC=BD
直
四边形ABCD
∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°
四边形ABCD
是矩形
重点
矩形、菱形和正方形
性质
菱形
1.边：四条边都⑧ ；对边平行：AB∥CD，AD∥BC.
2.角：对角相等，即∠ADC＝⑨ ，∠DAB＝⑩ .
3. (1)对角线互相垂直且 。
对角线
(2)对角线平分一组 .
4．对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有 条对称轴．
5．面积：S＝ (m，n分别表示两条对角线的长)．
相等
∠ABC
∠DCB
平分
AC⊥BD
AO=CO,BO=DO.
对角
AC平分∠DAB与∠BCD,
BD平分∠ABC与∠ADC.
2
判定
1.定义：有一组邻边相等的 是菱形．
2．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
3．四条边都相等的四边形是菱形．
平行四边形
ABCD
AB＝BC
ABCD是菱形
四边形ABCD
AC⊥BD
AO＝CO，BO＝DO
四边形ABCD是菱形
四边形ABCD
AB＝BC＝CD＝AD
四边形ABCD是菱形
重点
矩形、菱形和正方形
正方形
性质
1.边：四条边都相等；对边平行：AB∥CD，AD∥BC.
2.角：四个角都是直角：∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝90°.
3.对角线
(1)对角线互相 。
垂直平分且相等
AC⊥BD，
AO＝CO，BO＝DO，
AC＝BD.
(2)每条对角线 一组对角
平分
∠DAC＝∠CAB＝ ，
∠DCA＝∠ACB＝45°，
∠ADB＝∠BDC＝ ，
∠ABD＝∠DBC＝45°.
45°
45°
(3)对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有 条对称轴．
(4)面积：S＝ (a表示正方形边长)＝ 。
(用对角线计算)．
4
a2
重点
矩形、菱形和正方形
正方形
判定
1.有一个角是直角的 形是正方形．
2．有一组邻边相等的 形是正方形．
3．定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 形是
正方形．
4．对角线互相 且 的四边形是正方形．
菱
菱形ABCD
∠ABC＝90°
菱形ABCD是正方形
矩
矩形ABCD
AB＝BC
矩形ABCD是正方形
平行四边
ABCD
AB＝BC
∠ABC＝90°
ABCD是正方形
垂直平分
相等
四边形ABCD
AC⊥BD
AO＝CO，BO＝DO
AC＝BD
四边形ABCD是正方形
重点
矩形、菱形和正方形
中点四边形
依次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 任意四边形的中点四边形是平行四边形，中点四边形的每一边都等于原四边形相应对角线的一半，且与相应对角线平行
若原四边形对角线相等，则中点四边形为菱形；若原四边形对角线互相垂直，则中点四边形为矩形；若原四边形对角线垂直且相等，则中点四边形为正方形
特殊地，菱形的中点四边形为矩形；矩形的中点四边形为菱形；正方形的中点四边形为正方形
重点
一、矩形的性质与判定
例1. 如图，在矩形ABCD中，结合不同条件解答下列问题．
(1)如图，若对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E.若OE＝1，BD＝2 ．则CE＝________；
(2)如图，若AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为 度；
1
75
考点
(3)如图，如果对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝4，AF＝6，则AC的长为 ．
解析：如图，连接FC，AE，设AC，EF交于点O.∵EF为AC的垂直平分线，∴AF＝FC，AE＝EC，AO＝OC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠FAC＝∠ECA.在△AFO和△CEO中，
∴△AFO≌△CEO(ASA)，∴AF＝CE，∴AF＝CE＝FC＝AE＝6，∴BC＝BE＋EC＝4＋6＝10.在Rt△ABE中，AB2＝AE2－BE2＝20.在Rt△ABC中，
AC＝
考点
练习1.如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM.
(1)求证：四边形AMCN是矩形；
(2)若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵对角线BD上的两点M，N满足BM＝DN，
∴OB－BM＝OD－DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形．
∵AC＝2OM，∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
(2)由(1)得MN＝AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD∥BC，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝45°.
∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴MN＝2.
考点
二、菱形的性质与判定
例2.(1)如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E.若PE＝3，则点P到AD的距离为________；
(2)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝5，BD＝6，则菱形ABCD的面积是 ；
3
24
考点
例2.(3)如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA＋MB＋MD的最小值是 ．
思路分析：在对角线AC上找一点，使得MA＋MB＋MD的
最小，根据实际问题分析，一是转化为垂线段最短问题，二是转化为两点间线段最短问题．根据轴对称知MD＝MB，而菱形ABCD是形状、大小确定的，通过∠ABC＝120°把MA作等线段转化解决．
解析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
交AC于点M，连接BD，MB.∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE＝30°，∴AM＝2ME.∵MD＝MB，∴MA＋MB＋MD＝2ME＋2DM＝2DE.根据垂线段最短知，此时DE最短，即MA＋MB＋MD最小．∵菱形ABCD的边长为6，∴DE ∴2DE＝ .∴MA＋MB＋MD的最小值是 .
考点
练习2.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，AC＝BD，∠A＝∠D.完成下面的填空，并证明你的结论．
(1)若B，C分别是AC，BD的中点，∠A＝∠D＝30°，当∠AEC
＝________°时，四边形BFCE是菱形；
思路分析：
考点
解：当∠AEC＝90°时，四边形BFCE是菱形．
∵AE＝DF，∠A＝∠D，AC＝DB，
∴△AEC≌△DFB(SAS)，∴EC＝FB，∠DFB＝∠AEC＝90°.
∵B，C分别是AC，BD的中点，
∴EB＝ AC，FC＝ BD.
∵∠A＝∠D＝30°，∴EC＝ AC，FB＝ BD.
又∵AC＝BD，∴EB＝FC＝EC＝FB，
∴四边形BFCE是菱形．
故答案为：90.
考点
练习2.(2)若∠EBC＝60°，AD＝12，DC＝3.当BE＝______时，四边形BFCE是菱形．
思路分析：
解：当BE＝6时，四边形BFCE是菱形．
∵AC＝BD，∴AC－BC＝BD－BC，即AB＝DC.
又∵AE＝DF，∠A＝∠D，∴△ABE≌△DCF(SAS)．
∴BE＝CF，∠ABE＝∠DCF.
∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥CF.
∴四边形BFCE是平行四边形．
∵AD＝12，DC＝3，AB＝DC，∴BC＝6.
∵∠EBC＝60°，BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，∴BE＝EC＝6.
∴平行四边形BFCE是菱形．
故答案为：6.
考点
三、正方形的性质与判定
例3. 如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ.
(1)由旋转的特征可得AQ＝　 ，∠BAQ＝∠　　，由正方形的性质可得∠BAD＝　　°，进而可证明△AEQ ≌　 　，证明依据：　 　；
(2)求证：EF2＝DF2＋BE2；
思路分析：从平方关系看应该运用勾股定理．根据旋转的性质可证∠ABQ＝45°，进而证明∠EBQ＝90°，在Rt△BEQ中利用等量代换可得EF2＝DF2＋BE2.
考点
(3)当F是BD的中点时，则四边形AFEQ的形状是　　　.
思路分析：先证明四边形AFEQ是矩形，再由AQ＝AF证得矩形AFEQ是正方形．
解：(1)AF，DAF,90，△AEF，SAS.
(2)证明：∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF＝45°.
由旋转，得∠ABQ＝∠ADF＝45°，BQ＝DF，
∴∠EBQ＝∠ABE＋∠ABQ＝90°，
∴EQ2＝BQ2＋BE2.
由(1)，得△AEQ≌△AEF，∴EQ＝EF，
∴EF2＝DF2＋BE2.
考点
(3)如图，当点F是BD的中点时，则BF＝DF，
∴AF⊥BD，∠BAF＝∠DAF＝ ∠BAD＝45°.
∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠BAF，
∴AE与AB重合，点E与点B重合，
∴∠AEF＝∠ABD＝45°，∠AFE＝∠AFB＝90°.
由旋转，得∠AEQ＝∠ADF＝45°，∠Q＝∠AFD＝90°，
∴∠FEQ＝90°，
∴四边形AFEQ是矩形．
∵AQ＝AF，
∴四边形AFEQ是正方形．
故答案为：正方形．
考点
练习3. 如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A，C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于点M，DN⊥l1于点N，直线MB，ND分别交l2于Q，P.求证：四边形PQMN是正方形．
证明：∵l1∥l2，BM⊥l1，DN⊥l2，
∴∠QMN＝∠QPN＝∠PNM＝90°，
∴四边形PQMN为矩形．
∵∠DAB＝∠QMN＝∠PNM＝90°，
∴∠ADN＋∠NAD＝90°，∠NAD＋∠BAM＝90°，
∴∠ADN＝∠BAM.
又∵AD＝BA，
∴△ABM≌△DAN(AAS)，∴AM＝DN.
同理AN＝DP，
∴AM＋AN＝DN＋DP，即MN＝PN.
∴四边形PQMN是正方形．
考点
命题点1 矩形的性质
1．(2020·菏泽中考)如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为________．
解析：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD＝ ＝13，BC＝AD＝12，CD＝AB＝5.∵BP＝BA＝5，∴PD＝BD－BP＝8，∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ.∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DQP，∴∠DPQ＝∠DQP，∴DQ＝DP＝8，∴CQ＝DQ－CD＝8－5＝3.在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得BQ＝ ＝ ＝
命题点
2．★(2021·白银中考)如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝________cm.
6
解析：∵∠AED＝90°，F是AD边的中点，EF＝4cm，∴AD＝2EF＝8cm.∵∠EAD＝30°，∴AE＝AD·cos30°＝8× (cm)．又∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠BEA＝∠EAD＝30°.在Rt△ABE中，BE＝AE·cos∠BEA＝4 ×cos30°＝4 × ＝6(cm)．
命题点
3．(2021·鸡西中考)如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 ，使四边形BEFD为矩形．(填一个即可)
解析：∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，∴DF，EF都是△ABC的中位线，∴DF∥BC，EF∥AB，∴四边形BEFD为平行四边形，当∠B＝90°时，平行四边形BEFD为矩形．
命题点2 矩形的判定
矩形的判定模型
AB⊥BC
命题点
4．(2020·聊城中考)如图，在?ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE.
∵E为BC的中点，∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE(AAS)，
∴AB＝FC.
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
命题点
5．(2021·烟台中考)如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为(－1,0)，∠BCD＝120°，则点D的坐标为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A．(2,2) B． C． D．
D
命题点3 菱形的性质
解析：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°.∵B(－1,0)，∴OB＝1，OA＝ ，AB＝2，∴A(0， )，∴AD＝AB＝2，∴D(2， )．
命题点
6．(2021·济南中考)已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝∠CBF.求证：DE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AB＝CB，∠A＝∠C.
∵∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF(ASA)，
∴AE＝CF，
∴AD－AE＝CD－CF，∴DE＝DF.
命题点
7．(2021·德州中考)下列选项中能使?ABCD成为菱形的是( )
A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
命题点4 菱形的判定
菱形的判定模型
解析：一组邻边相等的平行四边形是菱形．∵AB＝BC，∴ ABCD为菱形．
B
命题点
8．(2020·滨州中考)如图，过?ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，BC，CD，DA于点P，M，Q，N.
(1)求证：△PBE≌△QDE；
(2)顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ.
在△PBE和△QDE中，
∴△PBE≌△QDE(ASA)．
(2)如图，顺次连接P，M，Q，N.
∵△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ.
同理，△BME≌△DNE(ASA)，
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形．
又∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形
命题点
9．(2020·枣庄中考)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是__________．
命题点5 正方形的性质
解析：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.∵AE＝CF＝2，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形．又∵BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE＝DF＝BE＝BF.∵AC＝BD＝8，∴OE
＝OF＝ ＝2.由勾股定理，得DE＝ ，∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4× .
命题点
10．(2021·威海中考)如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG.若AE＝BF，则BG的最小值为______________.
解析：如图，取AD的中点T，连接BT，GT.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°.在△DAE和△ABF中， ∴△DAE≌△ABF(SAS)，∴∠ADE＝∠BAF.∵∠BAF
＋∠DAF＝90°，∴∠ADE＋∠DAF＝90°，∴∠AGD＝90°.∵DT＝AT，∴GT＝AD＝1.∵BT＝ ＝ ，∴BG≥BT－GT，∴BG≥ －1，BG的最小值为 －1.
命题点
命题点6 正方形的判定
正方形的判定模型
命题点
11．★(2021·德州模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF.
(1)当DG＝2时，求证：四边形EFGH是正方形；
(2)当△FCG的面积为2时，求CG的长．
解：(1)证明：在矩形ABCD中，有∠A＝∠D＝90°，
∴∠DGH＋∠DHG＝90°.
在菱形EFGH中，EH＝HG.
∵AH＝2，DG＝2，∴AH＝DG，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG(HL)，
∴∠AHE＝∠DGH，
∴∠AHE＋∠DHG＝90°.
∴∠EHG＝90°.
∴四边形EFGH是正方形．
(2)如图，过点F作FM⊥DC于点M，则∠FMG＝90°.
∴∠A＝∠FMG.
连接EG.由矩形和菱形性质可知，AB∥DC，HE∥GF，
∴∠AEG＝∠MGE，∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF.
又∵EH＝GF，
∴△AEH≌△MGF(AAS)，∴FM＝AH＝2.
∵S△FCG＝ CG·FM＝ CG×2＝2，
∴CG＝2.
命题点
12．(2020·青岛中考)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G.若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为____________．
解析：在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝DO，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°.∵点F是AE的中点，∴DF＝AF＝EF＝ AE，∴OF垂直平分AD，∴AG＝DG，∴FG＝ DE＝1.∵OF＝3，∴OG＝2.∵AO＝CO，∴CD＝2OG＝4，∴AD＝CD＝4，∴DG＝2，∴DF＝ 如图，过点A作AH⊥DF于点H，∴∠H＝∠ADE＝90°，∴S△ADF＝ DF·AH＝ AD·FG，∴AH＝ 即点A到DF的距离为
命题点