广东实验中学 2022—2023 学年（下）高二级期中考试（数学）
答案及说明
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A C B C D B A BCD AC ACD ABD
28 15
13.432 14. 5,5 15. 16.
3 3
17.解：（1）由题意可得：
1 cos A B
4sin2
A B ( )
+ 4sinAsinB = 4 + 4sinAsinB = 2 2cos Acos B 2sin Asin B + 4sinAsinB
2 2
= 2 2(cos Acos B sin Asin B) = 2 2cos (A+ B) = 2+ 2cosC = 2+ 2 ……………………………….3 分
2 π
可得cosC = ，∵C (0,π)， ∴C = .……………………………….5 分
2 4
1 1 2
（2）∵ ABC 的面积 S = absinC = a 4 = 6，∴a = 3 2 ，……………………………….7 分
2 2 2
2 2∴ c =18+16 2 3 2 4 =10 ……………………………….8 分
2
a2 + c2 b2 18+10 16 5 π
∵ cos B = = = 0，即B 0, ， ……………………………….9 分
2ac 2 3 2 10 5 2
2 5
则 sin B = 1 cos2 B = ， ………………………………10 分
5
18. （1）证明：等腰梯形 ABCD中， AB = 2， BC =CD = AD =1，延长BC, AD 交于 E ，
则 EA= 2ED = 2，EB = 2EC = 2
∴ EAB为等边三角形 ……………………………….2 分
∴ AC ⊥ BC，且BC ⊥ AA ，1 AC AA 1 = A
∴ BC ⊥面A ACC ， ……………………………….3 分 1 1
BC 平面 ABCD，则平面 ABCD ⊥平面 A1ACC1 ， ……………………………….4 分
（2）以C 为坐标原点，CA 为 x轴正半轴，CB 为 y 轴正半轴，过C 作CN // OA 交 A C 于 N 1 1 1
CN 为 z 轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系C xyz，则 ……………………………….5 分
3 3 1 1 3 1
A( 3,0,0)，B (0,1,0)，O , 0,0 ， A1 ,0, ，CD = BA = , ,0 2 2 2 2 2 2
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3 3 3 1
B1D1 = BD = , ,0 ， DD1 = AA1 = ,0, ，
2 2 2 2
1 1
D1 0, ,
2 2
3 3 3 1 3 1
则 D1M = D M , + ,1B1 = ， ,0 ， 2 2
2 2 2 2
设平面MBC 的法向量为n = ( x, y, z )
3 1 3 1 n CM = 0 y + z = 0
2 2 2 2 ，取 x =1，则n = (1,0, 3 )………………………….8 分
n CB = 0
y = 0
m n 21 1
取平面 ABCD的法向量m = (0,0,1) cos m,n = = 4 2 =1，则 =
m n 7 2
3 3 1 3
即：A1M = , ,0 n = 1,0, ， ……………………………….10 分
4 4 2
A
A M 1
M n 3
设直线 1 与平面MBC 所成的角为 ，则sin = cos A1M ,n = = 3
A M n 71
3 3
所以，直线 A1M 与平面MBC 所成的角正弦值为 . ……………………………….12 分
7
19. 解：（1）∵f（x） ax2+（1﹣2a）x﹣2lnx，x＞0，
∴f′（x） ， ……………………………….2 分
1
当 a = 时，令 f (x) = 0，解得 x = 2 ， x = 3 ……………………………….3 分 1 2
3
x (0,2) 2 (2,3) 3 (3，+ )
f (x) 0 + 0
f (x) 减 极小值 增 极大值 减
……………………………….5 分
8 7
∴ f (x) = f (2) = 2ln 2， f (x) = f (3) = 2ln3 ……………………………….6 分 极小 极大
3 2
（2）①当 a≥0 时，令 f′（x）＜0，得 0＜x＜2；令 f′（x）＞0，得 x＞2；……………………….7 分
第2页（共6页）
②当 a＜0 时，令 f′（x）＝0，得 x 或 x＝2；
（I）当 2 时，即 a 时，则 f′（x）≤0 恒成立且只有一个点令 f (x) = 0；…………….8 分
（II）当 2，即 时，令 f′（x）＜0，得 0＜x＜2 或 x ；
令 f′（x）＞0，得 2＜x ； ………………………….10 分
综上所述：当 a≥0 时，f（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增；
当 时，f（x）在（0，2）和（ ，+∞）上递减，在（2， ）上递增；
当 a 时，f（x）在（0，+∞）上递减； …………………………….12 分
1 3 2an 3
20. 解：（1）有题条件可得 = = 2 ……………………………….2 分
an+1 an an
1 1
∴ 1= 3 1
a n+1 an
1
∴ 1 是首项为 3，公比为 3 的等比数列 ……………………………….3 分
an
1
∴ 1 = 3
n 1
，则 a = ……………………………….5 分
a nn 3
n +1
3n +1 3n +1
（2）b = ……………………………….7 分 n
3n +1 3n
3n +1
设 c ，T = c + c + + c n = n n 1 2 n3
3 1+1 3 2 +1 3n +1
∴Tn = + + +
3 32 3n
1 3 1+1 3 2 +1 3n 2 3n +1
Tn = + + + +
3 32 33 3n 3n+1
n 1
1
1
2 4 1 1 3n +1 4 1 3
∴
3n +1
Tn = + 3 + + = + 3
3 3 32 3n n+1 3 2
3 3 1 3
n+1
1
3
n 1 n 1
4 1 1 1 3n +1 11 1 1 3n +1
= + = …………………………….10 分
3 2 2 3 3
n+1 6 2 3 3
n+1
第3页（共6页）
n 1
11 3 1 3n +1
∴T = ……………………………….11 分 n
4 4 3 2 3
n
n 1
3 1 3n +1
∵ 0
4 3 2 3
n
11
∴ S T ……………………………12 分 n n
4
21．解：（1）因为双曲线 C以2x 5y = 0为渐近线，
设双曲线方程为 2 2(2x + 5y)(2x 5y) = ，即4x 5y = , ………………………………2 分
y2 x2
=1
∵F (0,3)，∴ 0，即： ，
5 4
9
∴ = 9，∴ = 9 ，即 = 20 . …………………………….3 分
5 4 20
y2 x2
所以双曲线 C的方程为： =1 .……………………………….4 分
4 5
（2）由题意可知直线 l一定有斜率存在且不为 0，设直线 l： y = kx+3 (k 0)，P (x1, y1 )，
Q(x2 , y2 )，
5y2 4x2 = 20 2
, 5(kx +3) 4x
2 = 20， ……………………………….5 分
y = kx +3
2 2
化简得： (5k 4) x +30kx + 25 = 0， = 400(k 2 +1) 0，
30k
x1 + x2 = 5k 2 4
此方程的两根为 x1, x2 ，则 ， ……………………………….6 分
25x1x = 2 5k
2 4
2
2 2 2 900k 100
∴ PQ = 1+ k (x1 + x2 ) 4x1x2 = 1+ k 2
2 2
(5k 4) 5k 4
2 29k (5k 2 4) 22 4k + 4 20(k +1)
=10 1+ k 2 =10 1+ k =
2 2 2 . ………………………….8 分
(5k 2 4) (5k 2 4) 5k 4
15k 15k 2 15k 12
PQ中点M坐标为 , +32 2 ，即 , ，
5k 4 5k 4 5k
2 4 5k 2 4
12 1 15k
∴PQ中垂线方程为： y + = x +
5k 2
2 ， ……………………………….9 分 4 k 5k 4
27 27
令 x = 0，∴ y = ，∴T 0,2 5k 2
，
5k 4 4
第4页（共6页）
27 15k 2 +15
则 TF = 3+ = ， ……………………………….11 分
5k 2 4 5k 2 4
15k 2 +15
TF 5k 2 4 3 TF
= = 3∴ ( 2 ) ，即 为定值，定值为 .……………………………….12PQ 4 分 20 k +1 PQ 4
5k 2 4
a x a xe
x
22. 解：（1） f (x) = e = ， x 0
x x
当 a 0时， f (x) 0恒成立，函数 y = f (x)在 (0,+ )上单调递减，没有极值点……………………….1 分
当 a 0 时，设 g(x) = xe x ， g (x) = (x +1)e x ，当 x 0时， g (x) 0恒成立
∴ g(x) = xe x 在 (0,+ )上单调递增，且 g(0) = 0 a ，当 x →+ ，e x →+ ，则 xe x →+
∴ xe x = a有唯一解，设为 x0 ……………………………….3 分
∵当 x x 时， f (x)0 0，当0 x x ( )0 时， f x 0
∴存在一个极大值点，没有极小值点
综上，a 0时，没有极值；a 0 时，有一个极大值点 ……………………………….4 分
x
（2）∵a N + 0，由（1）得有极大值点 x0 ，使得 x0e
0 = a
x
∴ f (x) 0max = a ln x0 e .
要使得 f (x) 0 x，则a ln x 00 e 0
x0 x x xx e = a 代入消a，得 x e 00 ln x e
0 = e 0 (x
0 0 0 ln x0 1) 0
1 1 1
∴ ln x0 0，设h(x) = ln x ，由 y = ln x ， y = 在 (0,+ )上单调递增
x0 x x
1
得 h(x) = ln x 在 (0,+ )上单调递增
x
1.8ln1.8 1
h(1.8) = 0， 且h(x0 ) 0
1.8
∴ x0 1.8
p(x) = xe x设 ， p (x) = (x +1)e x ，当 x 0时， p (x) 0
第5页（共6页）
∴ p(x) = xe x 在 (0,+ )上单调递增
x
∴ a = x 0 1.80e 1.8e 10.89
∴ a 10
10
下证a = 10 x时成立，此时 f (x) = 10ln x e ， f (x) = e x
x
1.7+1.8
10 10 10 10
∵ f (1.7) x= e1.7 0 ， f (1.75) = e1.75 = e 2 0， f (x0 ) = e 0 = 0
1.7 1.75 1.75 x0
2
40
（利用 1.7 e e
1.8 ）
7
∴1.7 x0 1.75
( x∵ f x ) = e 00 (x0 ln x0 1)，而 y = x ln x = (ln x)e
ln x
单调递增
1
且 ln x x , x 1
x
1.75 1 63
∴ x0 ln x0 1 1.75ln1.75 1 1.75 1 = 1 0
1.75 64
x
∴满足10ln x0 e
0 0 ，即a的最大值为 10
第6页（共6页）广东实验中学 2022—2023 学年（下）高二级期中考试
数 学
命题：高二数学备课组
本试卷共 4页，满分 150分，考试用时 120 分钟．
第一部分选择题（共 60分）
一．单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的)
1．已知集合M = x 2x +1 3 ， N = x x a ，若M N = N ，则实数a 的取值范围为（ ）
A. 1,+ ) B. 2,+ ) C. ( ,1 D. ( ,1)
1 2i
2．复数 z = 的虚部为（ ）
3+ i
7 7 7 7
A. B. i C. D. i
10 10 5 5
3．等差数列 an 满足2a8 a9 = 6 ，则该数列的前 13 项的和为（ ）
A.45 B.55 C.78 D.110
4．已知 tan + = 2，则sin 2 =（ ）
4
3 3 4 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
ln x x2 + 2
5．函数 f (x)= 的图象大致为（ ）
x
3
2
6．若a = ，b = e 5 ， c = ln6 ln5 ，则下列大小关系正确的是（ ）
5
A. a b c B. b a c C. c b a D. c a b
7．已知 a1， a2， a3 ， a4 ，a5 成等比数列，且 1 和 4 为其中的两项，则a5 的最小值为（ ）
第1页（共4页）
1 1
A. －64 B. －8 C. D.
64 8
( 3,3) 4x 28．已知定义在 上的函数 f (x)满足 f (x)+ e f ( x) = 0， f (1) = e ， f (x)为 f (x)的导函数，当
x 0,3) 2x 4时， f (x) 2 f (x)，则不等式e f (2 x) e 的解集为（ ）
A. (1,5) B. ( 2,1) C. (1,+ ) D. (0,1)
二．多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题
目要求的，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0 分）
9．下列求导计算中，错误的有（ ）
1 1 1 1
A.若 y = sin 2x，则 y = cos2x B. 若 y = cos ，则 y = sin
2 x x x
y = x 2 + e2
1 1 1
C.若 ，则 y = 2x + e
2
D. 若 y = ln x ，则 y = +
2 x x3x
n
1
10．已知二项式 2x (n N
* )的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（ ）
x
A. 所有项的系数之和为 1 B. 所有项的系数之和为 1
C. 含 x3的项的系数为 240 D. 含 x3的项的系数为 240
11．已知函数 f (x) = 3sin(2x + )， , 的图像关于直线 x = 对称，则（ ）
2 2 3
A.函数 f (x)在 ， 上有极值点
3 2
B.若方程 f (
2
x) = a 在 ， 上有 2 个不同实根 x1 , x2，则 x1 x2 的最大值为
6 3 2
C. 函数 f (x)满足 f x + + f x + = 0
12 12
D.函数 f (x)的图像向右平移a(a 0)个单位长度得到的函数图像关于 x = 对称，则a 的最小值为
6 3
12．在棱长为a的正方体 ABCD A B C B D ACD1 1 1D1 中， 1 与平面 1 相交于点E ， P 为△ACD1内一点，且
1
S AC△PB D = S△ACD ，设直线 PD 与 1 1所成的角为 ，则下列结论正确的是（ ） 1 3 1
A. B1D ⊥ PE B. 点 P 的轨迹是圆
π π
C. 点 P 的轨迹是椭圆 D. 的取值范围是 ,
3 2
第2页（共4页）
第二部分非选择题（共 90分）
三.填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13．3 个男生 3 个女生排队接种流感疫苗，恰有两个女生排在一起的情况有________种（用数字作答）
1 3 m 2
14．已知函数 f (x) = x + x 6x +1在 1,1 上单调递减，则m 的取值范围是________
3 2
15．已知 x 4, y 4，且 x + 4y xy = 0，若不等式a x + y恒成立，则a 的最大值为_____
x2 y2
16．已知双曲线C : =1
2 2 (a 0,b 0)的右焦点为 F (c,0)，过点F 且斜率为 2 的直线与双曲线C 的a b
5
两条渐近线分别交于M 、 N 两点，若P 是线段MN 的中点，且 PF = c，则双曲线的离心率为______
5
四．解答题（本题共 6小题，共 70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
2 A B
17．（本小题 10 分）在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为a，b ，c ，已知4sin + 4sinAsinB = 2+ 2
2
(1)求角C的大小；
(2)已知b = 4， ABC 的面积为 6，求sin B 的值.
1
18．（本小题 12 分）已知函数 f (x) = ax2 + (1 2a)x 2ln x
2
1 1
（1）当a = 时，求 f (x)的极值；（2）当a 时，讨论 f (x)的单调性
3 2
19．（本小题 12 分）如图，已知斜四棱柱 ABCD A B C ABCD1 1 1D1 ，底面 为等腰梯形，AB∥CD ，点 A1在
1
底面 ABCD的射影为O ，且 AD = BC =CD = AA1 =1， AB = 2， A1O = ， AA1 ⊥ BC .
2
（1）求证：平面 ABCD ⊥平面 ACC1A1 ；
（2）已知点 M 满足 D1M = D1B1 ， (0,1)，且平面
21
MBC 与平面 ABCD夹角的余弦值为 ，求直线 A1M 与平
7
面MBC 所成角的正弦值.
第3页（共4页）
1
20．（本小题 12 分）已知数列 an 首项为 ，对任意的n N
+，满足an = an+1(3 2an )
4
（1）求 an 的通项公式；
11
（2）若bn = (3n +1)an ，数列 bn 的前n项和为 Sn ，求证： S n
4
21．（本小题 12 分）21．已知双曲线 C 以2x 5y = 0为渐近线，其上焦点 F 坐标为 (0,3) .
（1）求双曲线 C 的方程；
TF
（2）不平行于坐标轴的直线 l 过 F 与双曲线 C 交于P,Q两点， PQ的中垂线交 y 轴于点 T，问 是否为
PQ
定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
x
22．（本小题 12 分）22.已知函数 f (x) = a ln x e
（1）讨论 y = f (x)的极值点的个数；（2）若a N +，且 f (x) 0 恒成立，求a 的最大值
参考数据：
第4页（共4页）
