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数学理科试题参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
ACDDB ABBAA CA
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．9＜m＜16 14． 15．①④ 16．（－∞，－1 ]
三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）
17．解：过A、B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足为E、H，
则根据抛物线的定义，有AF = AE，BF = BH，所以 AE + BH = AF + BF = AB = 3．
因此在直角梯形ABHE中，点D到抛物线C的准线的距离．……………… 5分
设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义有
︱AF︱=︱AE︱=，︱BF︱=︱BH︱=，
∴ ︱AF︱+︱BF︱=︱AB︱= p + x1 + x2 = 3，
而 x1 + x2 = 2，∴ p = 1，故抛物线C的方程y2 = 2x． …………………… 10分
另解：显然直线l的斜率k存在且不为0，设方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立y2 = 2px和，消去y，整理，得，
∴ x1 + x2 =，x1x2 =，
于是︱AB︱2 =（x1－x2）2 +（y1－y2）2 =（1 + k2）[（x1 + x2）2－4x1x2 ] = 9，
代入整理，得 2p（1 + k2）= 3k2． （1）
注意到． （2）
所以由（1）（2）解得 p = 1，k =，
因此，抛物线C的方程为y2 = 2x．
18．（本题满分12分）
证明：（1）当a = 1时，f（x）= x2－1－2 ln x（x＞0），f（1）= 0，，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴ f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，当x = 1时，函数f（x）取得最小值，
因此f（x）≥f（1）= 0，即f（x）≥0． …………………… 6分
（2），x＞0，
① 当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，至多有一个零点，不符合题意．
② 当a＞0时，，
可得当x =时，函数f（x）取得最小值．
当x → 0时，f（x）→+∞；当x → +∞时，f（x）→+∞．
∵ 函数f（x）有两个零点，∴ f（x）min =，解得0＜a＜1．
∴ 实数a的取值范围是（0，1）． …………………… 12分
法二 由f（x）= ax2－1－2 ln x = 0，得a =．
设h(x) =，∵ f（x）有两个零点，∴ a = h（x）有两个解．
又h′(x) =．
由h′(x)＞0，得ln x＜0，∴ 0＜x＜1；由h′(x)＜0，得ln x＞0，∴ x＞1，
∴ 函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴ h（x）max = h（1）= 1．
当x → 0时，h（x）→－∞，当x → +∞时，h（x）→ 0，
画出h(x) =的草图，如图所示，
由a = h（x）有两个解，可知0＜a＜1，
故实数a的取值范围是（0，1）．
19．解：（1）当 a = 1 时，，x＞0，
则，，而 f（2）= 4－2 ln 2，
所以在点 （2，f（2）） 处的切线方程为 y = 2（x－2）+ 4－2 ln 2，
即 y = 2x－2 ln 2． …………………… 4分
（2）对 f（x）求导得，x＞0．
当 a＞0 时，令 f′（x）= 0 x =，所以 x∈（0，） 时f′（x）＜0 ，所以函数 f（x）单调递减；当x∈（，+∞）时f′（x）＞0，所以函数 f（x）单调递增，所以 f（x）min = f（）=．
只需证明 ≥ ≥0（a＞0） 恒成立．
设，x＞0，则，x＞0．
当x∈（0，1）时，＜0，函数 g（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，＞0，函数 g（x）单调递增；所以 g（1）= 0是 g（x）的极小值，故g（x）≥ g（1）= 0，表明≥0（a＞0） 恒成立，故 f（x）≥．…………………… 12分
20．解：（1）由已知可知，PB⊥BC，BC∥AD，所以PB⊥AD．
因为PA = 2AD = 2，PD =，
所以PA2 + AD2 = PD2，所以PA⊥AD．
所以AD⊥平面PAB，而AD平面ABCD，
所以平面PAB⊥平面ABCD． …………………… 4分
（2）由AB = BC = 2，PB =，得PA2 + AB2 = PB2，所以AB⊥PA，说明AB，AD，AP两两垂直，所以以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示坐标系，则A（0，0，0），D（0，1，0），P（0，0，2），C（2，2，0）．
设线段PC上存在一点G，即（0≤≤1），
使二面角G－AD－P的余弦值为，
因为=（2，2，－2），则=（2，2，－2），
所以G（2，2，2－2），
=（2，2，2－2），=（0，1，0）．
因为AB⊥平面ADP，所以平面ADP的法向量为方向的单位向量=（1，0，0）．
设平面GAD的法向量=（x，y，z），
则 ，令z = ，得=（－1，0，），
因为二面角G－AD－P的平面角 为锐角，
所以，
解得（舍去负值）．
故线段PC上存在一点G使二面角G－AD－P的余弦值为，此时．……………… 12分
21．解：（1）由f（x）求导，可得= 3（x－1）2－a．
下面分两种情况讨论：
① 当a≤0时，有≥0恒成立，所以f（x）的单调递增区间为（－∞，+∞）；
② 当a＞0时，令= 0，解得．
当x变化时，，f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，） （，） （，+∞）
+ 0 － 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以f（x）的单调递减区间为（，），
单调递增区间为（－∞，），（，+∞）． …………………… 6分
（2）因为f（x）存在极值点，所以由（1）知a＞0，且x0≠1，
由题意，得= 3（x0－1）2－a = 0，即 a = 3（x0－1）2．
进而由 f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，
得（x1－1）3－ax1 + b =（x0－1）3－ax0 + b
（x1－1）3－（x0－1）3－ax1 + ax0 = 0
[（x1－1）－（x0－1）] [（x1－1）2 +（x1－1）（x0－1）+（x0－1）2 ] －a（x1－x0）= 0
（x1－1）2 +（x1－1）（x0－1）+（x0－1）2－a = 0
（x1－1）2 +（x1－1）（x0－1）－2（x0－1）2 = 0
[（x1－1）+ 2（x0－1）] [（x1－1）－（x0－1）] = 0
（x1 + 2x0－3）（x1－x0）= 0
x1 + 2x0 = 3． …………………… 12分
22．解：（1）由已知可得c = 1，所以a2 = b2 + 1．
又点P（1，）在椭圆C：上，所以．
联立，解得 a2 = 4，b2 = 3，
因此椭圆C的方程为． …………………… 4分
（2）由题意知A（－a，0），F（c，0），a2 = b2 + c2，．
设点P的坐标为P（x0，y0），则 ，，
(
O
F
A
x
P
y
)∵ ，∴ ，表明△PAF是直角三角形，
于是 ，
∴ ． ①
∵ P是椭圆C上在第一象限内的点，
∵ ，即． ②
将①代入②得 ，
即 ，
∴ ，
由于x0 + a＞0，∴ 只有 ，得．
∵ c = ea，b2 = a2－c2，∴ ． ③
根据椭圆的定义，有 ，而 ，
∴ 在Rt△PAF中，有． ④
将③代入④得 ．…………………… 12分
解法二：由题意知A（－a，0），F（c，0），a2 = b2 + c2，，
则直线PA的方程为 y =（x + a）tan，． （*）
将直线PA的方程与椭圆方程联立，消去y后，得
（b2 + a2 tan2）x2 + 2a3 tan2 · x + a4 tan2－a2b2 = 0． （**）
因为点A（－a，0）和P（x0，y0）的坐标满足方程（*）和（**），
所以，有，即，
y0 =（x0 + a）tan =．
若，则，表明△PAF是直角三角形，
从而有 ︱PA︱2 +︱PF︱2 =︱AF︱2，
∴ （x0 + a）2 + y02 +（x0－c）2 + y02 =（a + c）2，
∴ x0 2 + y02 +（a－c）x0 = ac．
将x0、y0代入上式，得++= ac．
去分母，整理，得=，
将 c = ea代入，得 ，
于是 ．
解法三：过P作PQ⊥x轴于Q，设P（x0，y0），则有︱AF︱= a + c．
(
O
F
A
x
P
y
Q
)∵ ，∴ PA⊥PF，
得︱PA︱=︱AF︱· cos =（a + c）cos，︱PF︱=（a + c）sin．
由︱PA︱2 =︱AF︱·（a + x0），得（a + c）2 cos =（a + x0），
∴ a + x0 =（a + c）cos2 x0 =（a + c）cos2 －a．
根据椭圆的定义有，，
而 ， ∴ sin =，
即 a－ex0 =（a + c）sin ，
∴
由 ，得c = ea代入上式，整理得 e sin2－sin + 1－e = 0，
显然 sin≠1，所以，得 sin =．绝密 启用前
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理科数学
注意事项：
1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存．
2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效．
4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“，”的否定为
A．， B．，
C．， D．，
2．已知复数，则的虚部为
A． B． C． D．
3．函数f（x）= 2 ln x－x2 的单调递增区间为
A．（－∞，－1） B．（1，+∞） C．（－1，1） D．（0，1）
4．用数学归纳法证明“≥（n∈N*）”时，由n = k到n = k + 1时，不等试左边应添加的项是
A． B．
C． D．
5．已知 =（2，0，2）， =（3，0，0）分别是平面， 的法向量，则平面， 交线的方向向量可以是
A．（1，0，0） B．（0，1，0） C．（0，0，1） D．（1，1，1）
6．设m∈R，“m =－1”是“复数z =（m2－m－2）+（m2－3m－2）i为纯虚数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
7．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是
① y = cos x，x∈R是三角函数； ② 三角函数是周期函数；③ y = cos x，x∈R是周期函数．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
8．函数f（x）的导函数是，下图所示的是函数（x∈R）的图像，下列说法正确的是
A．x =－1是f（x）的零点
B．x = 2是f（x）的极大值点
C．f（x）在区间（－2，－1）上单调递增
D．f（x）在区间[－2，2 ]上不存在极小值
9．若函数y = f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y = f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是
A．y = sin x B．y = ln x C．y = ex D．y = x3
10．设双曲线（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）、（0，b）两点，且原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率
A．2 B． C．2和 D．2和
11．作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3 + y3－3axy = 0．某同学对a = 1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是
A．曲线不经过第三象限 B．曲线关于直线y = x对称
C．曲线与直线x + y =－1有公共点 D．曲线与直线x + y =－1没有公共点
12．芯片制作的原料是晶圆，晶圆是硅元素加以纯化，晶圆越薄，成产的成本越低，但对工艺要求就越高．某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立3个科研小组，用A，B，C三种不同的工艺制作芯片原料，其厚度分别为，，（单位：毫米），则三种芯片原料厚度的大小关系为
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．若方程的图形是双曲线，则实数m的取值范围是 ．
14．在平面上，点（x0，y0）到直线Ax + By + C = 0的距离公式为，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，1，－3）到平面x + 2y + 3z + 3 = 0的距离为 ．
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别
是棱BC，CC1的中点，P是侧面BB1C1C上一点，若A1P∥平面AEF，
则下列说法正确的是 ．
① 线段A1P的最大值是 ② A1P⊥B1D
③ A1P与DE一定异面 ④ 三棱锥B－A1PC1的体积为定值
16．若实数a，b能使不等式x ln x－a ln x≥x + b对任意x∈R+ 恒成立，则的取值范围是是 ．
三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）
17．（本题满分10分）
设F为抛物线C：y2 = 2px（p＞0）的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若线段AB的中点D的横坐标为1，︱AB︱= 3．求点D到抛物线C的准线的距离和抛物线C的方程．
18．（本题满分12分）
已知函数f（x）= ax2－1－2 ln x，a∈R．
（1）当a = 1时，求证：f（x）≥0；
（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
19．（本题满分12分）
已知函数 f（x）=ax2 +（2a－1）x－2 ln x．
（1）当 a = 1 时，求在点 （2，f（2）） 处的切线方程；
（2）当 a＞0 时，求证： f（x）≥．
20．（本题满分12分）
已知四棱锥P－ABCD中，PB⊥BC，BC∥AD，PA = 2AD = 2，PD =．
（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）若AB = BC = 2，PB =，线段PC上是否存在一点G，使二面角G－AD－P的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分12分）
设函数f（x）=（x－1）3－ax + b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且 f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，求 x1 + 2x0 的值．
22．（本题满分12分）
如图，A、F是椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点．
（1）若P（1，），FP⊥x轴，求椭圆C的方程；
(
O
F
A
x
P
y
)（2）若椭圆C的离心率为e（＜e＜1），，求直线PA的倾斜角 的正弦．
