信阳市高中2022-2023学年高二下学期4月期中考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个质点做直线运动，其位移s（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，
，则当时，该质点的瞬时速度为
A.-2米/秒
B.3米/秒
C.4米/秒
D.5米/秒
2.已知正项等差数列的前项和为，若，则的值为
A.42
B.14
C.28
D.3
3.已知随机变量，若，则
A.0.2
B.0.3
C.0.5
D.0.6
4.定义在上的函数，其导函数为，且函数的图象如图所示，则
A.有极大值和极小值
B.有极大值和极小值
C.有极大值和极小值
D.有极大值和极小值
5.第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于2023年3月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量．某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动.某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛.在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为
A.
B.
C.
D.
6.若圆上有四个点到直线的距离为则实数的取值范围是
A.
C.
B.
D.
7.2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康已知某种传染疾病的患病率为5%通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为陌性的概率为
A.0.46
B.0.046
C.0.68
D.0.068
8.已知是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，交椭圆于.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.设分别为随机事件的对立事件，已知，，则下列说法正确的是
A.
B.
C.若是相互独立事件，则
D.若是互斥事件，则
10.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是
A.
B.
C.向量与的夹角是
D.与所成角的余弦值为
11.已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于和，过点分别作，的垂线，垂足分别为，则
A.四边形面积的最大值为
C.为定值
B.四边形周长的最大值为
D.四边形面积的最小值为
12.定义在上的函数的导函数为，，，则下列不等式中一定成立的是
A.
C.
B.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线在点处的切线方程为 。
14.的展开式的常数项是 。
15.用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有 个。
16.黎曼猜想由数学家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手，已知正项数列的前项和为，且满足
，则
（其中表示不超过的最大整数）.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知箱中装有个4白球和2个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分分、现从该箱中任取3个球，记随机变量为取出3球所得分数之和.
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望.
18.已知数列，若 .
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
从下列三个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解.
①；
②；
③，点，在斜率是2的直线上.
19.如图，在四棱锥中，，四边形为菱形，，为的中点.
（1）求证： ；
（2）求二面角所成角的余弦值.
20.第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办.在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.
（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，. ①试证明为等比数列；
②设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小.
21.已知曲线:，直线：与曲线交于轴右侧不同的两点.
(1)求的取值范围;
(2)已知点的坐标为,试问:的内心是否恒在一条定直线上 若是,请求出该直线方程:若不是,请说明理由。
22.已知,函数,.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)设较小的零点为,证明：.信阳市高中2022-2023学年高二下学期4月期中考试
数学答案
一、单选题：1.B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.D
二、多选题：9.AC 10.AB 11.ABD 12.BD
三、填空题：
13.
14. 70
15. 108
16. 38
四、解答题：
17.【详解】（1）由题意得取4,5,6，且
，
∴分布列为
4 5 5
由（1）知
18.【详解】解：（1）若选①，由，
所以当，，
两式相减可得：，
而在中，令可得：，符合上式，故.
若选②，由可得：数列为等差数列，
又因为，，所以，即，
所以.
若选③，由点，在斜率是2的直线上得：，
即，
所以数列为等差数列且.
（2）由（1）知:,
所以.
19.【详解】（1）连接,由四边形为菱形，,则
由∵为的中点，∴,∵，且.
∴,∵,所以，，
∴.
（2）取的中点，连接，则，
以为原点，以为轴，建立空间直角坐标系，如图：
设,则，
，
由，所以，即为平面一个法向量，设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，即
设二平面所成角为，且为锐角，
.
所以二面角所成角的余弦值为.
20.【详解】（1）解析1：分布列与期望
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，
门将在前三次扑出点球的个数可能的取值为0，1，2，3，
，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
期望.
（1）解析2：二项分布
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数可能的取值为0，1，2，3，易知，
，
.的分布列为：
0 1 2 3
期望.
（2）解析：递推求解
①第次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，
从而，又，∴是以为首项，公比为的等比数列.
②由①可知，，，故
.
21.【详解】（1）设，
联立方程，消去得：，
由题意可得，解得，
故的取值范围为.
（2）内心恒在一条直线上，该直线为，
∵，即点在椭圆上，
若直线：过点，则，解得，
即直线：不过点，故直线的斜率存在，
由（1）可得：，，，
设直线的斜率分别为，则，，
∵
，
即，则的角平分线为，
故的内心恒在直线上.
22.【详解】（1）因为，，所以，
当时，；当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
故有极小值，无极大值；
（2）因为当时，，所以，
所以，
又时，；时，，
所以有两个零点；
发1：下面证明，
设
则，
所以在上递增，
又时，，所以对成立，所以得证，
令，则，∴.
设，
则，所以在上递减，
所以，所以，
所以得证.
因为函数区间单调递减，
又，
所以；
法2：下面证明当时，，
设，
，
所以在上递增，
所以，所以，
再设，
，
所以在上递增，
所以，所以，
综上，当时，，
现有，所以，
故得，
故得，
所以
