第一章 《因式分解》复习与巩固学案
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《因式分解》复习与巩固
【课前梳理】
知识点一 因式分解的定义
把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 .如：
知识点一 提公因式法分解因式
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式 ,我们把这个因式 叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc= 就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中因式一个是各项的公因式 ，另一个因式是 即 ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例如：x2 – x = x（ )， 8a2b-4ab+2a = 2a( )
知识点三 公式法分解因式
(1)平方差公式：a2-b2=( )( ).
例如：4x2-9=( )2-（ ）2=( )( ).
(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=( )2其中， 叫做完全平方式.
例如：4x2-12xy+9y2=（ ）2
【课堂练习】
知识点一 因式分解的意义
1、自主交流
下列变形是否是因式分解？为什么
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
知识点二 提公因式法分解因式
2、典例剖析
例1.用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)； (2)3x(a-b)+2y(b-a)
(3)a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2 (4)(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)
知识点三 运用公式法分解因式
1.自主交流
下列变形是否正确？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
2.典型引例
例2.把下列各式分解因式.
(1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
知识点四 综合运用
例3.分解因式.
(1)x3-2x2+x (2)x2(x-y)+y2(y-x)
知识点五 探索与创新
若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= .
巩固提升 若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=__________
【课堂小结】
各项有“公”先 ，首项有负 ，某项提出莫 ,括号里面分到“底”.
【巩固训练】
一.选择题
1.下列式子变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知：△ABC的三边长分别为，那么代数式的值（ ）
A.大于零 B.等于零 C.小于零 D不能确定
3.已知有一个因式是，把它分解因式后应当是（ ）
A. B. C. D.
4.若，且，，那么必须满足条件( ).
A.都是正数 B.异号，且正数的绝对值较大
C.都是负数 D.异号，且负数的绝对值较大
5.下列因式分解错误的是（ ）
A. B.
C. D.
6.将下述多项式分解后，有相同因式的多项式有 ( )
①； ②； ③； ④；
⑤； ⑥
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
7.已知可因式分解成，其中均为整数，则（ ）
A.－12 B.－32 C.38 D.72
8.将分组分解，下列的分组方法不恰当的是（ ）
A. B.
C. D.
二.填空题
9.＝_________，其中＝2，＝－2.
10.分解因式：＝_____________.
11.已知，则＝ .
12.分解因式：＝__________.
13.若有一个因式为，则的值应当是_________.
14.把多项式分解因式的结果是__________.
15.已知，则＝ .
16.分解因式：（1）＝________；（2）＝________.
三.解答题
17. 把下列各式分解因式：
（1） .
18.(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②由此，你可以得出的一个等式为：________.
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
②请你用拼图等方法推出因式分解的结果，画出你的拼图.
19.下面是某同学对多项式＋4进行因式分解的过程：
解：设
原式＝ （第一步）
＝ （第二步）
＝ （第三步）
＝ （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A.提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解.
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复习与巩固
【课堂练习】
例1、
(2)3x(a-b)+2y(b-a)= 3x(a-b)-2y(a-b)=3(a-b)(3x-2y)
(3)a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2(a+by-bx+c)
(4)(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)(7a-8b+a-8b)=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)2
例2、把下列各式分解因式.
(1)(a+b)2-4a2 =（a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a)；
(2)1-10x+25x2=(1-5x)2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2
例3、分解因式.
(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2
(2)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x-y)(x+y)=(x+y)(x-y)2
知识点5、探索与创新
例4、k=36或-36. 例5、k=3或-9
【巩固练习】 一.选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.A 8.D
二.填空题 9.0 10. 11.－3 12. 13.－6；
14.； 15.39；16.；；
三.解答题
17.解：（1）
（2）
18.解：（1）①长方形的面积＝；长方形的面积＝；
②；
（2）①如图，可推导出；
②．
19.解：（1）C； （2）不彻底；；
（3）设，
原式＝.
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《因式分解》复习与巩固
【课前梳理】
知识点一 因式分解的定义
把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 .如：
知识点一 提公因式法分解因式
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式 ,我们把这个因式 叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc= 就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中因式一个是各项的公因式 ，另一个因式是 即 ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例如：x2 – x = x（ )， 8a2b-4ab+2a = 2a( )
知识点三 公式法分解因式
(1)平方差公式：a2-b2=( )( ).
例如：4x2-9=( )2-（ ）2=( )( ).
(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=( )2其中， 叫做完全平方式.
例如：4x2-12xy+9y2=（ ）2
【课堂练习】
知识点一 因式分解的意义
1、自主交流
下列变形是否是因式分解？为什么
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
知识点二 提公因式法分解因式
2、典例剖析
例1.用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)； (2)3x(a-b)+2y(b-a)
(3)a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2 (4)(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)
知识点三 运用公式法分解因式
1.自主交流
下列变形是否正确？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
2.典型引例
例2.把下列各式分解因式.
(1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
知识点四 综合运用
例3.分解因式.
(1)x3-2x2+x (2)x2(x-y)+y2(y-x)
知识点五 探索与创新
若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= .
巩固提升 若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=__________
【课堂小结】
各项有“公”先 ，首项有负 ，某项提出莫 ,括号里面分到“底”.
【巩固训练】
一.选择题
1.下列式子变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知：△ABC的三边长分别为，那么代数式的值（ ）
A.大于零 B.等于零 C.小于零 D不能确定
3.已知有一个因式是，把它分解因式后应当是（ ）
A. B. C. D.
4.若，且，，那么必须满足条件( ).
A.都是正数 B.异号，且正数的绝对值较大
C.都是负数 D.异号，且负数的绝对值较大
5.下列因式分解错误的是（ ）
A. B.
C. D.
6.将下述多项式分解后，有相同因式的多项式有 ( )
①； ②； ③； ④；
⑤； ⑥
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
7.已知可因式分解成，其中均为整数，则（ ）
A.－12 B.－32 C.38 D.72
8.将分组分解，下列的分组方法不恰当的是（ ）
A. B.
C. D.
二.填空题
9.＝_________，其中＝2，＝－2.
10.分解因式：＝_____________.
11.已知，则＝ .
12.分解因式：＝__________.
13.若有一个因式为，则的值应当是_________.
14.把多项式分解因式的结果是__________.
15.已知，则＝ .
16.分解因式：（1）＝________；（2）＝________.
三.解答题
17. 把下列各式分解因式：
（1） .
18.(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②由此，你可以得出的一个等式为：________.
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
②请你用拼图等方法推出因式分解的结果，画出你的拼图.
19.下面是某同学对多项式＋4进行因式分解的过程：
解：设
原式＝ （第一步）
＝ （第二步）
＝ （第三步）
＝ （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）
A.提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解.
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复习与巩固
【课堂练习】
例1、
(2)3x(a-b)+2y(b-a)= 3x(a-b)-2y(a-b)=3(a-b)(3x-2y)
(3)a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2(a+by-bx+c)
(4)(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)(7a-8b+a-8b)=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)2
例2、把下列各式分解因式.
(1)(a+b)2-4a2 =（a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a)；
(2)1-10x+25x2=(1-5x)2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2
例3、分解因式.
(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2
(2)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x-y)(x+y)=(x+y)(x-y)2
知识点5、探索与创新
例4、k=36或-36. 例5、k=3或-9
【巩固练习】 一.选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.A 8.D
二.填空题 9.0 10. 11.－3 12. 13.－6；
14.； 15.39；16.；；
三.解答题
17.解：（1）
（2）
18.解：（1）①长方形的面积＝；长方形的面积＝；
②；
（2）①如图，可推导出；
②．
19.解：（1）C； （2）不彻底；；
（3）设，
原式＝.
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