第五章 《平行四边形》复习与巩固学案

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《平行四边形》复习与巩固
【学习目标】
1.能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程.
2.掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算.
3.掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想.
【课前梳理】
1.定义：________________________________________的四边形是平行四边形.
2.平行四边形的性质（边，角，对角线，对称性）
（1）边的性质：平行四边形的对边_________；平行四边形的对边__________；
（2）角的性质：平行四边形的对角________ ；
（3）对角线的性质：平行四边形的对角线__________________；
（4）平行四边形是__________对称图形 .
3.平行四边形的判定.
（1）两组对边__________________________的四边形是平行四边形（定义）;
（2）两组对边__________________________的四边形是平行四边形 ;
（3） 对角线___________________________的四边形是平行四边形 ;
（4）一组对边__________________________的四边形是平行四边形;
（5）两组对角__________________________的四边形是平行四边形 .
4.两条平行线间的距离的定义.
若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意_______到另一条直线的________相等，这个________称为平行线之间的距离，实际上________________________处处相等.
5.三角形的中位线 .
（1）三角形中位线的定义：连接________________________的线段叫做三角形的中位线 ;
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线____________第三边，且等于______________.
6.多边形的内角与外角和 .
（1）多边形：在平面内，由______________________________________________组成的封闭图形叫做多边形 ;
（2）n边形的内角和是________________________;
（3）多边形的外角和等于_____________________.
【课堂练习】
典型例题1
如图1所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC交EB于F，求证：EF=FB．
跟踪训练1
如图2，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF.求证：四边形ADEF是平行四边形.
典型例题2
如图3，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．请证明四边形EGFH是平行四边形.
跟踪训练2
如图4，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
【巩固训练】
如图5，在口ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
2、如图6，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB,通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．
3. 如图7，已知，，，求证：四边形是平行四边形．

4. 如图8，在中，，，是的平分线，．
求的度数；
（2）求的长．

5. 公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图9，，，，求：
（1）小路，，的长；
（2）计算出绿地的面积；
（3）、之间的距离．

6. 已知：如图10，平行四边形中，、、、分别平分、、、，、的延长线分别交、于点、，连接，若，，求的长．

第五章复习答案
典型例题1
如图1所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC交EB于F，求证：EF=FB．
证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．
∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，
∴BGAD．
在□ACED中，ADCE，∴CEBG．
∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．
跟踪训练1
如图2，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF.求证：四边形ADEF是平行四边形.
解析：先证△EDB≌△CFE，
可得BD=EF，ED=CF.
∵BD=DA，CF=AF，
∴ED=AF，EF=DA，
∴四边形ADEF是平行四边形.
典型例题2
如图3，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．请证明四边形EGFH是平行四边形.
证明：在△BEC中，∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GF∥EC且GF=EC .
又∵H是EC的中点，EH=EC，
∴GF∥EH且GF=EH .
∴四边形EGFH是平行四边形.
跟踪训练2
如图4，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
1)在 ABCD中,AD∥BC，
∵DF∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴DE=BF；
(2)在 ABCD中,AD∥BC且AD=BC，
∵DE=BF，
∴AD DE=BC BF，
即AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE，
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DF∥BE，
∴四边形MFNE是平行四边形。
【巩固训练】
1.证明：在 ABCD中,AD∥BC且AD=BC，
∵DE=BF，
∴AD DE=BC BF，
即AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE，
∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DF∥BE，
∴四边形MFNE是平行四边形。
2.解答：
AB=DE+DF.
理由：∵DE∥AC,DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形，∠C=∠EDB
∴DF=AE
∵等腰△ABC
∴∠B=∠C
∴∠B=∠EDB
∴DE=BE
∴AB=AE+BE=DF+DE.
3.证明：∵ ，
∴ ，
在和中，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 四边形是平行四边形．
4.解：（1）∵ 是的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，是的平分线，
∴ 为的中点，
∵ ，
∴ 为的中点，
∴ ．
5.
解：（1）∵ 四边形是平行四边形，
∴ ，，，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）绿地的面积为：；
（3）设、之间的距离为，
∵ 绿地的面积为：，
∴ ，
解得：．
6.
解：∵ 四边形是平行四边形，
∴ ，，．
∴ ．
∵ 平分，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ 平分，
∴ ，
．同理，，，
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ 四边形是平行四边形，
∴ ，．
∴ ，．
∴ 四边形是平行四边形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
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