高二数学试题（A）参考答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1—4 CBDA 5—8 BCBC
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分．
9．AC 10．AC 11．ABD 12．BC
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13．y＝2x 14．sin x（答案不唯一） 15．21 16．600
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10 分）
解：（1）因为 32Ax+1 ≤
2 2
3Ax+2 + 6Ax+1，
所以 2(x +1) x (x 1) ≤ 3(x + 2)(x +1) + 6(x +1) x ，
( 1所以 2x x 1) ≤ 3(x + 2) + 6x，所以 ≤ x ≤ 6 . ....................................3 分
2
x +1 ≥ 3，
又因为 x + 2 ≥ 2,解得 x ≥ 2 ，
x +1 ≥ 2,
所以2 ≤ x ≤ 6，
又因为 x∈ *N ，所以解集为{2,3,4,5,6}； ...................................5 分
1 1 7
（2）因为 =
C m C m
，
5 6 10C
m
7
m!(5 m)! m!(6 m)! 7 m!(7 m !
所以 = ) (0 ≤ m ≤ 5,m∈N* ) ， .....................7 分
5! 6! 10 7!
m!(5 m)! m!(6 m ! m! 7 m !
所以 ) = 1 ( ) (0 ≤ m ≤ 5,m∈N* ) ，
5! 6! 10 6!
1
所以6 (6 m) = (7 m)(6 m) ，所以m2 23m+ 42 = 0，
10
解得m = 2或m = 21（舍），
所以m = 2 . .....................................10 分
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18.（12 分）
′ = + ′ 1解：（1）因为 f (x) 2x 2 f ( )，
2
′ 1 1所以 f ( ) = 2× + 2 f ′
1
( )，............................2 分
2 2 2
1
得 f ′( ) = -1； ............................4 分
2
（2）由（1）可得， f (x) = x2 - 2x . ....................................5 分
设切点为（x0 , f (x )）.因为 f ′0 (x) = 2x - 2，所以切线的斜率为 f ′(x0 ) = 2x0 - 2，
2
又因为 f (x0 ) = x0 - 2x 0，所以直线 l的方程为
y 2(x 2x ) = (2x 2)(x x ) ， ...........................9 分 0 0 0 0
2
将（2,-1）代入上式并整理，可得 x0 - 4x 0 + 3 = 0 ，由此可解得 x0 =1或x0 = 3 .
因此，切点为（1,-1）或（3,3），切线方程为 y +1 = 0或 y 3 = 4(x 3) .
即 l的方程为 y +1 = 0或4x - y 9 = 0 . .....................12 分
19.（12 分）
解：（1）合影的 7 个位置先安排除甲乙丙之外的 4 人，然后再安排甲乙丙 3 人，丙在中间，甲
4 2
乙在两边，共有 A7 A2 = 1680种不同的排法. ...................5 分
（2）根据题意，分三种情况讨论：
1o若选派的四人中既有甲又有乙，分为甲从事导游和不从事导游两类，此时的选派
C 2 (A3 +C1 1 2方法共有： 5 3 2C2A2 ) = 140 ；.................7 分
2o若选派的四人中恰有甲乙中的 1 人，此时的选派方法有： 2C
1
3A
3
5 = 360；
....................9 分
o 43 若选派的四人中既没有甲又没有乙，此时的选派方法有：A5 = 120 ；............11 分
综上，不同的选派方法共有 140+360+120=620 种. ...............12 分
20.（12 分）
f '解：（1） (x) = 3x2 6ax = 3x(x 2a), ................1 分
'
当 a＝0 时， f (x) = 3x2 ≥ 0, 所以 f（x）在 R 上单调递增；.................2 分
' '
当 a＜0 时，2a＜0，令 f (x) > 0，得 x > 0 或 x < 2a；令 f (x) < 0，得2a < x < 0 .
所以函数 f（x）在（﹣∞，2a），（0，+∞）上单调递增，在（2a，0）上单调递减；
..................4 分
当 a＞0 时，2a＞0，令 f ' (x) > 0，得 x > 2a或 x < 0 '；令 f (x) < 0，得0 < x < 2a .
所以函数 f (x) 在（﹣∞，0），（2a，+∞）上单调递增，在（0，2a）上单调递减；
....................6 分
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（2）可判断存在正实数 a，使得函数 f（x）在区间[0，1]上的最小值为﹣1.
由（1）知，当 a>0 时，函数 f（x）在（2a，+∞）上单调递增，在（0，2a）上单调
递减；....................7 分
1
①当 2a ≥1 ,即a ≥ 时， f (x) 在区间[0，1]上单调递减，
2
5
所以 f (x) = f (1) =1 3a + 3 = 1min ，解得 a＝ ； ...................9 分
3
1
②当0 < 2a <1，即0 < a < 时， f (x) 在[0，2a）上单调递减，在 [2a,1]上单调递
2
增，所以 f (x)min = f (2a) = 8a3 12a3 + 3 =
1
1，解得 a＝1，与0 < a < 矛盾,舍去.
2
......................11 分
5
综上可知存在正实数 a＝ ，使得函数 f (x) 在区间 [0,1]上的最小值为-1.
3
21.（12 分）
解：（1）因为每件产品售价为6元，则 x万件商品销售收入为6x万元，
由题意可得，当0 < x < 9时，
Q(x) = 1 16x 2 P(x) = 6x 2 ( x2 + 2x) = x2 + 4x 2，
4 4
当 x ≥ 9时，
3 3
Q(x) = 6x 2 P(x) = 6x 2 (6x + e eln x + 22) = 20 ln x .
x x
1 x2 + 4x 2,0 < x < 9, 4
所以Q(x) = ...............................................4 分
e 3 20-ln x , x ≥ 9,
x
1 2 1 2
（2）由（1）可知，当0 < x < 9时，Q(x) = x + 4x 2 = - （x 8）+14 ≤14 ，
4 4
当且仅当 x = 8时，等号成立； ......................................................................6 分
e3 1 e
3 e3 x
当 x ≥ 9时，Q(x) = 20 ln x ，则Q′(x) = + = ，
2 2
x x x x
所以，当9 ≤ x < e3时，Q′(x) > 0 ，函数Q(x)单调递增；
当 x > e3 时， Q′(x) < 0 ，函数Q(x)单调递减；
e3
所以当 x = e3 时，Q(x)取得最大值Q(e3) = 20 ln e3 =16，..................10 分
e3
综上，当 x = e3 ≈ 20时，Q(x)取得最大值 16 万元；
即当年产量约为 20 万件时，该小微企业的这一产品所获年利润最大，最大年利润是
16 万元. ................................12 分
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22.（12 分）
= 3 = 3 2解：（1）当a 时， f (x) ln x + 1，定义域为 (0, +∞)，
8 8 x +1
2
′( ) = 3 2 = 3x -10x + 3 (x 3)(3x 1= )f x
( )2 ( )2 ( )2 ， ...................................1 分 8x x +1 8x x +1 8x x +1
f '
1
令 (x) > 0 ，得0 < x < 或 x > 3；
3
1
令 f
'
(x) < 0 ，得 < x < 3，
3
1 1
所以函数 f (x)的单调递增区间为 0, ， (3, +∞)，单调递减区间为 ,3 ．
3 3
= 1 1因此，当 x 时， f (x)有极大值，并且极大值为 f ( ) = 1 3 ln 3；
3 3 2 8
3 1
当 x = 3时， f (x)有极小值，并且极小值为 f (3) = ln 3 ..........................4 分
8 2
（ ）（ ） g(x) = a(x2 1)ln x (x 1)2 = (x2
2
2 ⅰ 1)(a ln x + 1) = (x2 1) f (x) ，
x +1
g (1) = 0， f (1) = 0，则 f (x)除 1 外还有两个零点， .................................5 分
ax2′( ) a 2 + (2a 2) x + af x = =
x ( x + 21) x ( ， x +1)2
令h ( x) = ax2 + (2a 2) x + a ( x > 0)，
当 a<0时，h (x) < 0在 (0, +∞ )恒成立，则 f ′(x) < 0，
所以 f (x)在 (0, +∞ )单调递减，不满足，舍去； ......................................6 分
当a > 0时， f (x)除 1 外还有两个零点，则 f (x)不单调，
( ) ( )2 2 < < 1所以h x 存在两个零点，所以 = 2a 2 4a > 0，解得0 a ， ........... 7 分
2
1
当0 < a < 时，设h (x)的两个零点为m,n (m < n) ，
2
+ = 2则m n 2 > 0，mn =1，所以0 < m < 1 < n．
a
当0 < x < m或 x > n时，h ( x) > 0 '， f (x) > 0 ，函数 f (x)单调递增；
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当m < x < n时，h (x) < 0， f ′(x) < 0，函数 f (x)单调递减；
又 f (1) = 0，所以 f (m) > 0， f (n) < 0 ，
1 1
( a a 1 ) = e 1 = 2e而 f e a 1 < 10，且 a ， 1 + 1 e <1e a 1 e a +1
1
1
e a 1 2 1 11
f e
a
=1 = > 0，且e a > 1，所以存在 x ∈(e a ,m)， x ∈ n,e a1 1 1 3 ( ) ，
e a +1 e a +1
使得 f (x1 ) = f ( x3 ) = 0，
2 2
即 g (x) = a ( x 1) ln x ( x 1) (a ≠ 0) 有 3 个零点 x1， x2 = 1， x3 ．
1
综上，实数 a的取值范围为 0, ． ...............................10 分
2
1 1
1 = x = 1 x（ⅱ）证明：因为 f a ln x a ln x =
x 1
a ln x + = f ( x)，
x 1 + 1+ x x +11
x
( 1 1所以若 f x) = 0，则 f = 0，所以 x1 = ， x1x3 = 1． ........................11 分
x x3
又0 <
1 1
a < ，所以1-3a > ,
2 2
x1 + x3 > 2 x1x3 = 2，
所以 (1-3a) (x1 + x3 ) > 1． ..............................12 分
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菏泽市2022--2023学年度第二学期期中考试
高二数学试题(A)
2023.04
注意事项:
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.已知函数f（x）在x=-1处可导，且f'（-1）=-3,则=
A.-3 B.-1 C.1 D.3
2. 正弦曲线y=sin（x+）在点（+）处的切线斜率是
A.- B. C. - D.
下列求导运算正确的是
A.( )’= B. (ln)’ = C. ()’=(1-x) D.(x2-cosx)’=2x+
4.为提升学生的数学素养，某中学特开设了“数学史”“数学建模”“古今数学思想”“数
学探究”“中国大学先修课程微积分学习指导”五门选修课程，要求每位同学每学年至多选四门，高一到高二两学年必须将五门选修课程选完，则每位同学不同的选修方式为
A.30 B.20 C.15 D.10
已知函数 ，其导函数记为f(x)，则f(2023)-f(-2023)=
A.-1 B，0 C.1 D.2
6.已知f(x)在 R 上是可导函数，f(x)的图像如图所示，则
不等式(x -x-6)f'(x)<0的解集为
A.(-2，0)U(2，3)
B.(-∞，-2)U(0，2)U(3，+) C.(-2，-1)U(1，3)
D.(-∞，-2)U(-2，0)U(2，+o)
7.如图，用四种不同的颜色给图中的 A,B,C,D,E.F 六个点涂色，求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有
A.360 种 B.264 种 C.192 种 D，144 种
8.已知函数f（x）=xex -x - -3m 有两个不同的零点，
则实数m的取值范围是
(-∝,) B.(-∝,) C.(,+∝) D.(-,+∝)
二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分
已知函数f（x）= ，则下列说法正确的是
f’(0)=1 B. f(x)的最大值是e
C. f（x）= 有两个不等实根 D.3e4<4e3
10.在1，2，3，…，10中随机选出两个不同的数字a，b，则
A.a+b被3整除的概率为1/3 B.a+b被3整除的概率为2/ 9
C.a2+b被3整除的概率为4/15 D.a2+b被3整除的概率为3/10
11.已知函数f(x)=-x3+mx2+nx+p在(一∞，0]上是减函数，在[0,1]上是增函数，则下列说法
正确的是
A. n=0
B. 若f(1)=1，则f(2)≥-
C.若函数f(x)的图象关于点(1，f(1))中心对称，则m=-3
D.当p=0时，曲线y=f(x)过原点的切线有且仅有两条
12.现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是
A.若6个相同的小球放入编号为1234的盒子，每个盒子都不空，则共有 24种放法
B.若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有 40种
C.若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种
D.若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有 384 种
三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线f(x)=-x2+2x在点(0,0)处的切线方程为_
14.若f(x)是函数f(x)的导函数，且(f’(x)) +(f(x)) =1，那么f(x)=__ .(写出
一个即可)
15.函数y=x2(x>0)的图像在点(an，a2 n)处的切线与x轴交点的横坐标为an+1，n∈N*,
且a1=32，则a2+a4+a6=_
16.全民运动会开幕式上，25 名运动员需要排列成5x5方队入场，现从中选三人，要求这
三人既不在同一行也不在同一列，则不同的选法有 种(用数字作答)
解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
(10分)
解不等式：2A3 x+1≤3A2 x+2+ 6 A2 x+1 ,x ∈n*
已知 -=，求m的值。
18.(12分)已知函数f’（x），而且f（x）=x2+2xf’( )
(1)求f’():
(2)若l是曲线y=f(x)的切线，且经过点(2-1)，求I的方程
19.(12分)某活动主办方要从七名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四
项不同工作。
(1)若七名志愿者站成一排合影，甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有多少种
(2)若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余五人均能从事这四项工作
则不同的选派方案共有多少种
(12分)已知函数f(x)=x3-3ax2+3.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)是否存在正实数a，使得函数f(x)在区间[0,1]上的最小值为-1 若存在，求出a的
值;若不存在，说明理由.
21.(12分)经过市场调查，某小微企业计划生产一款小型电子产品已知生产该产品需投入
固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本P(x)万元当年产量小于9万件时，P(x)=x2 +2x(万元)；当年产量不小于9万件时，P(x)=6x++ -22（万元）每件产品售价为6元，假若该企业生产的电子产品当年能全部售完
(1)写出年利润Q(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销
售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时，该企业的这一产品所获年利润最大 最大年利润是多少
(参考数据:e3=20)
22.（12分）已知函数f（x）=a + -1
当a=时，求函数f（x）的极致；
若g（x）=a（x2-1）-（x-1）2（a≠0）有三个零点x1,x2,x3,其中x1（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：（1-3a）（x1+x3）>-1
