安徽省肥东县2022-2023学年下学期高三期中检测试卷数学试题（含解析）

2022-2023学年下学期高三期中试卷
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知复数，，且为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3. 已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线交于，两点，则( )
A. B. C. D.
4. 我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密，碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱该元青花团菊花纹小盏口径厘米，底径厘米，高厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为单位：平方厘米( )
A. B. C. D.
5. 函数的图像是( )
A. B.
C. D.
6. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足设点的轨迹为，则下列结论正确的是( )
A. 圆的方程为
B. 轨迹圆的面积为
C. 在上存在使得
D. 当，，三点不共线时，射线是的平分线
7. 已知，，为自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
8. 某班需安排甲、乙、丙、丁四位同学到、、三个社区参加志愿活动，每位同学必须参加一个社区活动，每个社区至少有一位同学由于交通原因，乙不能去社区，甲和乙不能同去一个社区，则不同的安排方法数为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 当向运动时，二面角逐渐变小
C. 在平面内的射影长为
D. 当与重合时，异面直线与所成的角为
10. 已知数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是( )
A. B. 是等比数列
C. 是单调递增数列 D.
11. 已知函数与，则下列结论正确的是( )
A. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
B. 的图象与的图象相邻的两个交点间的距离为
C. 图象的一条对称轴为
D. 在区间上单调递增
12. 已知函数的定义域，满足，且当时，，则下列说法正确的是( )
A. 是定义在上的偶函数
B. 在上单调递增
C. 若，则
D. 当，是钝角的两个锐角时，
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知，，与的夹角为，且，则 ______ ．
14. 的展开式中的常数项为______ 用数字作答
15. 已知正四棱台内接于半径为的球，且球心是四边形的中心，若该棱台的侧棱与底面所成的角是，则该棱台的体积为______ ．
16. 设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知数列的前项和，数列满足，且．
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和．
18. 本小题分
的内角，，的对边分别为，，，，且_____．
求的面积；
若，求．
在，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 本小题分
某制药厂研制了一种新药，为了解这种新药治疗某种病毒感染的效果，对一批病人进行试验，在一个治疗周期之后，从使用新药和未使用新药的病人中各随机抽取人，把他们的治愈记录进行比较，结果如表所示：
治愈 未治愈 合计
使用新药
未使用新药
合计
请完成列联表，是否有的把握认为该种新药对该病毒感染有治愈效果？
把表中使用新药治愈该病毒感染的频率视作概率，从这一批使用新药的病人中随机抽取人，其中被治愈的人数为，求随机变量的分布列和期望．
该药厂宣称使用这种新药对治愈该病毒感染的有效率为，随机选择了个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过人，你是否怀疑该药厂的宣传？请说明理由．
参考数据：，，，，，，
附：，
20. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，，，平面平面，为线段上的一点．
证明：平面；
当与平面所成的角的正弦值最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
21. 本小题分
，分别是椭圆的左、右焦点，，是上一点，与轴垂直，且
求的方程；
设，，，是椭圆上的四点，与相交于，且，求四边形的面积的最小值．
22. 本小题分
已知函数在处取得极值．
求的单调区间；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为或，
故，
又，
所以，，，
或，
则A正确，，，D错误，故选：．
2.【答案】
【解析】，
则，
，
则为纯虚数，
故，解得，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】抛物线的焦点为，
，故抛物线方程为，
设，，不妨令，，
则，即，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】设该圆台的上底面、下底面的半径分别为，，
当，时，圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积为，
当，时，圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积为，
所以圆台的侧面积满足．
故选：．
5.【答案】
【解析】函数图像过点，，排除；
当时，，排除．
故选：．
6.【答案】
【解析】对于，易知，，点满足，
设，则，化简可得，故A错误；
对于，又圆：的半径，则圆的面积为，故B错误；
对于，若存在点，使得，可设，即有，化简可得，联立，可得方程组无解，故不存在，故C错误；
对于，当，，三点不共线时，由，可得射线是的平分线，故D正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】对两边取对数，
可得，
又在上单调递增，，
法一：令，，
在单调递减，
，即，；
法二：；
又，
，．
故选：．
8.【答案】
【解析】若只有甲一个人去社区，则乙、丙、丁去另外两个社区，此时有种；
若甲、丙两人去社区，则有种；
若甲、丁两人去社区，则有种；
若丙、丁都去社区，则甲、乙去，社区，此时有种；
若丙、丁只有一人去社区，由于甲、乙不能同去一个社区，此时有种；
综上，共有种．

9.【答案】
【解析】到直线的距离不变，到平面的距离不变，
故三棱锥的底面积和高均不发生变化，
故三棱柱的体积不变，故A正确；
二面角与二面角是同一个二面角，
故当点运动时，二面角大小不变，故B错误；
，在平面内的射影长为，故C正确；
，故当与重合时，为的中点，
又，故为异面直线与所成的角，
此时，，，，
，
，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】对于：，
，故，故A正确；
对于：，，
两式相减得，即，
又，则，，
数列从第二项开始成等比数列，公比为，
故时，，即，
故，故B错误；
对于：由选项B得，
当时，，
当时，，
，
令，
则时，，即，
又，则数列单调递增，即数列是单调递增数列，故C正确；
对于：当时，，
显然成立，故恒成立，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】对于选项A，将函数的图象向左平移个单位长度，
可得到，所以选项A错误；
对于选项B，令，即，
可得，则，，解得，，
因此，的图象与的图象相邻的两个交点间的距离为，所以选项B正确；
对于选项C，，
当时，，
则直线为函数图象的一条对称轴，所以选项C正确；
对于选项D，，
当时，，
故函数在区间上单调递增，所以选项D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】对，令得，即得，
在定义域范围内令得，即是奇函数，A错误；
对，令，，且 ，所以，
又 ，且，，所以 ，，
所以，所以是单调增函数，B正确；
，由，可得，即，
又，所以，故C正确；
对，因为，是钝角的两个锐角，则，，
所以，，故D错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】已知，，与的夹角为，且，
则，
即，
则，
又，
则．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】二项式的展开式的通项公式为，，，，，
令，解得，当时，无整数解，
所以多项式的展开式中的常数项为．
故答案为：．
求出二项式的展开式的通项公式，然后令的指数为，进而可以求出多项式的展开式中的常数项．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】由题意球心是四边形的中心可知，侧棱与底面所成的角是，则，
所以是等边三角形，则棱台的侧棱长为，
棱台的高为，上底面边长，下底面边长为，
所以该棱台的体积是．
故答案为：．
根据正四棱台的几何特征应用线面角分别求出上下底面边长及高，再应用棱台的体积公式计算即可．
本题考查棱台的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】由题意知椭圆的，双曲线的，
则椭圆与双曲线共焦点，设，
则，，，，
，，
设，则，
解得，即，
又，且，，
故的取值范围是．
故答案为：．
首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围．
本题考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，不等式思想，属中档题．
17.【答案】当时，；
当时，，
，；
，
，，
是首项为，公比为的等比数列，
，，
，；
由可得，
，
，
得：，
．
18.【答案】若选：，
由余弦定理可得，
所以，
又，
所以，可得，
所以的面积；
若，，
由正弦定理为三角形外接圆半径，
可得，可得，可得，
所以．
若选：，
由题意可得，
又，
所以，可得，
所以的面积；
若，，
由正弦定理为三角形外接圆半径，
可得，可得，可得，
所以．
19.【答案】由题意，可得列联表如下，
治愈 未治愈 合计
使用新药
未使用新药
合计
所以，
所以没有的把握认为该种新药对该病毒感染有治愈效果．
使用新药物治愈该病毒感染的概率为，
服从二项分布，即，且可能的取值为，，，，
，
，
，
，
分布列如下：


则数学期望；
根据题意，使用这种新药对治愈该病毒感染的有效率为，即，
设治愈人数为，则
，
，
，
，
，
，
，
因为，
所以为小概率事件，但发生了，
所以有理由怀疑该药厂的宣传．
20.【答案】证明：连接，过点作的垂线，垂足为，
平面平面，且交线为，
平面，
又平面，
，
又四边形为菱形，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
，
又，，，平面，
平面．
连接，由知为与平面所成的角，
，
因为为定值，且，
所以当点为的中点时取得最小值，此时取最大值，
如图，以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
易知平面的一个法向量为．
设平面的法向量，
则，则可取，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以当与平面所成的角的正弦值最大时，
平面与平面夹角的余弦值为．
21.【答案】由于，且则，，
又，得．
又，则，于是，故E的方程为．
当直线的斜率存在且不为零时，设直线的斜率为，，，则直线的方程为，
联立及得，
所以，．．
由于直线的斜率为，用代换上式中的可得．
，四边形的面积为．
由，
所以，当时，即时取等号．
当直线的斜率不存在或斜率为零时，四边形的面积，
综上可得，四边形面积的最小值为．
22.【答案】，
由题意得，
所以，此时，
易得，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，
故函数在处取得极小值，符合题意，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
则，
时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故，
所以，
解得或，
故的取值范围为或
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