湖南省五市十校教研教改共同体2022-2023年高二下学期期中联考数学试题（含解析）

姓名________ 准考证号________
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
湖南省五市十校教研教改共同体2022-2023年高二下学期期中联考
数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表：
年份 2019 2020 2021 2022
年份代号x 1 2 3 4
年销量y 15 20 m 35
若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为，则表中m的值为（ ）
A．25 B．28 C．30 D．32
3．已知A，B，C是半径为2的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．某校迎新晩会上有A，B，C，D，E，F共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目A，B不相邻，节目D，F必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为（ ）
A．60 B．72 C．120 D．144
5．第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日在北京召开，3月6日各代表团分组审议政府工作报告．某媒体4名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，则记者A被安排到甲组的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C．记第n行的第i个数为，则
D．第30行中第12个数与第13个数之比为13：18
7．已知双曲线C：（，）的左焦点为F，斜率为的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，，与的夹角为，若对任意，，当时，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．对于事件A，B，若，且，，则
B．若随机变量，，则
C．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强
D．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好
10．已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，将的图象沿x轴向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）
A． B．是图象的一个对称中心
C．是奇函数 D．在区间上的值域为
11．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5：6：9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．方程恰有3个不同的实数解
B．函数有两个极值点
C．若关于x的方程恰有1个解，则
D．若，且，则存在最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，且与共线，则________．
14．若的展开式中的系数为60，则实数________．
15．已知点P为抛物线C：上的动点，直线l：，点为圆M：上的动点，设点P到直线l的距离为d，则的最小值为________．
16．在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”．先将数列1，3进行拓展，第一次拓展得到1，4，3，第二次拓展得到数列1，5，4，7，3；……；第n次拓展得到数列1，，，……，，3，设，则________，________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约．2022年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：
人数 性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数
男生 35 15
女生 40 10
今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，．
（1）依据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？
（2）若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望．
参考公式与临界值表：，．
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，且，侧面为菱形，且．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
已知等差数列的前n项和为，且，，数列满足，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，若数列的前n项和为，数列的前n项和为，探究：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．2022~2023学年全国青少年航天创新大赛设航天创意设计、太空探测、航天科学探究与创新三个竞赛单元及载人航天主题专项赛．某校为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，举行了一次航天创新知识竞赛选拔赛，从中抽取了10名学生的竞赛成绩，得到如下表格：
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生竞赛成绩的平均分与方差分别为，．经计算，．
（1）求与；
（2）规定竞赛成绩不低于60分为优秀，从这10名学生中任取3名，记竞赛成绩优秀的人数为X，求X的分布列；
（3）经统计，航天创新知识选拔赛成绩服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若科创中心计划从全市抽查100名学生进行测试，记这100名学生的测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的均值．
附：若，则，，．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的焦距为，，分别为C的左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，F两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性，并求的极大值；
（2）若存在正实数，使得成立，求a的值．
数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C A D B C B D AC AB ACD ABD
1．【答案】C
【解析】∵，∴所对应的点位于第三象限．故选C．
2．【答案】C
【解析】由已知，回归直线方程为过样本点中心，∴，即，∴．故选C．
3．【答案】A
【解析】∵，，∴△ABC为等腰直角三角形，∴，
则△ABC外接圆的半径为，又球的半径为2，设O到平面ABC的距离为d，
则，所以．故选A．
4．【答案】D
【解析】先将两个节目D，F视为一个元素，与节目C，E进行全排列，再将节目A，B插入四个空档中，所以共有种不同的结果，故选D．
5．【答案】B
【解析】4名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，共有种不同情况，记者A被安排到甲组有种，所求概率为，故选B．
6．【答案】C
【解析】由可得，故A错误；
第2023行是奇数，中间两项最大，即和，也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；
第n行的第i个数为，所以，故C正确；第30行中第12个数与第13个数之比为，故D错误．故选C．
7．【答案】B
【解析】记双曲线C的右焦点为，P为第二象限上的点，
连接PF，，QF，，根据双曲线的和直线l的对称性知．
四边形为平行四边形，因为，故四边形为矩形，
而，故，，则，，
则．故选B．
8．【答案】D
【解析】由已知可求得，对任意的，，
，又，∴，
∴，即，
，记，则．
因此函数在上递减，又，由，∴，
所以的单调递减区间为，∴．故选D．
9．【答案】AC
10．【答案】AB
【解析】∵函数的零点构成一个公差为的等差数列，∴周期，
∴，A正确；函数沿x轴向右平移个单位，可得，，B正确；为偶函数，C错误；在区间上的值域为，D错误．故选AB，
11．【答案】ACD
【解析】事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则，，，，，，故A正确，B错误；
，故C正确；
，故D正确．故选ACD．
12．【答案】ABD
【解析】由已知
由方程得或或，
由图可知，无解，无解，有3个解，故A正确；
由图可知，和是函数的两个极值点，故B正确；
若方程数恰有1个零点，即函数与的图象仅有一个交点，可得或，故C错误；
由，则，，，则，设，则，
设，显然在上单调递增，且，，
所以存在，使，且当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以存在最大值，故D正确．故选ABD．
二、填空题
13． 14． 15． 16．；或
第16题的评分标准：第1空2分，第2空3分。
13．【解析】由与共线得，，所以．
14．【解析】∵的展开式中含的项为，
由已知的系数为，∴．
15．【解析】抛物线C：的焦点为，准线为直线l：，
圆M：的圆心，半径，
由抛物线的定义知，，则，
当P，F，M三点共线时，取最小值为．
16．【解析】（1）设数列1，3第n次拓展后的项数为，则，，
根据拓展规则可知，，即，
∴数列是等比数列，首项为2，公比为2，
∴，即，所以；
（2）根据拓展规则可知，，
∴，又，∴数列是等比数列，
首项为6，公比为3，∴，所以．
三、解答题
17．【解析】（1）列联表：
人数 性别 参加考核但未能签约的人数 参加考核并能签约的人数 合计
男生 35 15 50
女生 40 10 50
合计 75 25 100
，……3分
根据小概率值的独立性检验，可认为这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别无关；……4分
（2）由已知，小明通过甲地的每项程序的概率均为，
所以X服从二项分布，即，∴，……6分
由题意：Y的可能取值为0，1，2，3，
，，
，．……9分
所以Y的数学期望．……10分
18．【解析】（1）因为，点D为棱AC的中点，所以，
又，，平面，平面，
所以平面．又平面，所以，
如图，连接．因为侧面为菱形，且，
所以为等边三角形，所以．又，
所以平面ABC．又平面ABC，∴；……5分
（2）以点D为原点，分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系．
不妨设，由题知，，，，，
由，可得，……7分
设平面的法向量为，
而，，
则有取，得，……9分
设直线与平面夹角为，
则，……11分
即直线与平面夹角的正弦值为．……12分
19．【解析】（1）设等差数列的公差为d，
由已知∴，……3分
又，∴，……4分
数列是等比数列，首项为4，公比为4，
∴；……6分
（2）由（1）知，数列的前n项和为①，
②；……7分
①-②得，
∴，……9分
又，则其前n项和为，……10分
∴，所以为定值2．……12分
20．【解析】（1），；……3分
（2）竞赛成绩“优秀”的学生有3人，则X的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，．
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
……8分
（3）由题意，，，记抽查学生的测试成绩为，
则，……10分
∴这100名学生的测试成绩恰好落在区间的入数为，
∴．……12分
21．【解析】（1）已知椭圆的焦距，则，……1分
又的周长为8，
∴，则，……3分
所以，故椭圆C的方程为；……4分
（2）证明：假设存在x轴上的定点，使得，
则结合图形可得，所以，……5分
由题意，直线EF的斜率一定存在，设直线EF的方程为，
由得，设，，
则，∴且……7分
直线ET的斜率为，直线FT的斜率为，
由得，……8分
∴，
即，……10分
∴，则，……11分
所以在x轴上存在一个定点，使得．……12分
22．【解析】（1）由已知，函数的定义域为，
且，……1分
当时，由得，由得，
所以的减区间为，增区间为，无极大值，……2分
当时，由得，由得或，
所以的减区间为，增区间为，，
∴当时，取极大值为，……3分
当时，恒成立，在上递增，无极值；……4分
当时，由得，由得或，
所以的减区间为，增区间为，，
∴当时，取极大值为，
综上，取极大值为……5分
（2），……7分
可以看作是动点与动点之间距离的平方．
动点P在函数的图象上，Q在直线的图象上，
问題转化为求直线上的动点Q到曲线的动点P的最小距离，……8分
由得，，解得，
所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，……9分
则，根据题意，要使，
则，此时Q恰好为垂足，……11分
由可得，所以．……12分