课件15张PPT。13.5.1互逆命题与互逆定理1、命题的概念：可以判断正确或错误的
句子叫做命题。2、命题都有两部分：条件和结论例如：两直线平行,内错角相等；内错角相等,两直线平行；都是命题。注意：问句和几何作法不是命题！观察上面三组命题,你发现了什么?1、两直线平行,内错角相等；3、如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；
4、如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；2、内错角相等,两直线平行；5、平行四边形的对角线互相平分；
6、对角线互相平分的四边形是平行四边形；说出下列命题的条件和结论：一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个
命题叫做它的逆命题。上面两个命题的条件和结论恰好互换了位置．命题“两直线平行，内错角相等”的
条件为两直线平行；
结论为内错角相等．
因此它的逆命题为内错角相等，两直线平行.练习1：指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题。1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的
两个锐角互余.条件：一个三角形是直角三角形.结论：它的两个锐角互余.逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，
那么这个三角形是直角三角形.2、等边三角形的每个角都等于60°条件：一个三角形是等边三角形.结论：它的每个角都等于60°逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，
那么这个三角形是等边三角形.3、全等三角形的对应角相等.条件：两个三角形是全等三角形.结论：它们的对应角相等.逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
那么这两个三角形全等.4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.条件：一个点到一个角的两边距离相等.结论：它在这个角的平分线上.逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个 端点的距离相等.条件：一个点在一条线段的垂直平分线上.结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．练习2、举例说明下列命题的逆命题是假命题.（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.例如10能5整除，但它的个位数是0.（1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数 能被5整除.逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.例如60°= 60°，但这两个角不是直角.如果一个定理的逆命题也是定理，那么
这两个定理叫做互逆定理。注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，
但逆定理、互逆定理，一定是真命题注意2：不是所有的定理都有逆定理其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．练习3：在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是
真命题？试举出几个例子说明.例如：1、同旁内角互补，两直线平行.逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真2、有两个角相等的三角形是等腰三角形.逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.真补充练习：说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：
①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题。逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮列车——假命题.小结这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念.
②能写出一个命题的逆命题.
③在证明假命题时会用举反例说明.1、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假。(1)如果x=y,那么x2 =y2；(2)如果一个三角形有一个角是钝角,那么它的另外两个角是锐角；2、如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、
CD上两点，连接AE，BF.请你再从下面四个
反映图中边角关系的式子(1)AB=BC;(2)BE=CF;
(3)AE=BF;(4)∠AEB=∠BFC中选两个作为已知
条件，选一个作为结论，组成一个真命题，
并证明这个命题.ABDCEF课件9张PPT。13.5.1互逆命题与互逆定理温故而知新1.什么叫命题?2.命题由几部分组成?3.命题通常可写成“如果…,那么…”的形式,把“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“如果…,那么…”的形式.填表：假a＝ba2＝b2⑷如果a2＝b2，那么a＝b。真a2＝b2a＝b⑶如果a＝b，那么a2＝b2。真两直线平行同位角相等⑵同位角相等，两直线平行真同位角相等两直线平行⑴两直线平行，同位角相等真假结论条件命题观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。互逆定理如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理。这两个定理叫做互逆定理。定理①两直线平行，同位角相等.定理②同位角相等，两直线平行.做一做:下列说法哪些正确，哪些不正确？（1）每个定理都有逆定理。（2）每个命题都有逆命题。（3）假命题没有逆命题。（4）真命题的逆命题是真命题。√×××做一做说出下列命题的逆命题：
⑴既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。
⑵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
⑶磁悬浮列车是一种调整行驶时不接触地面的交通工具。圆既是中心对称，又是轴对称的图形。平行四边形有一组对边平行且相等。高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。相信自己行，你就行！请说出三对互逆的定理 说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题。作业:课件14张PPT。13.5.2线段垂直平分线回顾1.等腰三角形有哪些性质？2.在△PAB中，PA=PB ,若PN平分AB，则PN⊥AB.3.猜想：若MN⊥AB垂足为N，P为直线MN上任意一点，是否有PA=PB成立？(3)验证猜想已知：如图，MN⊥AB,垂足为点N，AN=BN,点P是直线MN任一点。
求证: PA=PB。注意：这里的点P是MN任一点.思考：证明两条线段相等有哪些方法？对于本题可以用哪种方法？请大家把证明的过程写在练习本上。探究（4）得出结论线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.符号语言:若点P在线段AB的垂直平分线上，
则PA=PB.线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能根据图形写出已知、求证，并进行证明吗？如果有一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到线段的两个端点距离相等.到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.逆命题若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.已知：PA=PB 求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：
过点P作AB的垂线PN，
垂足为C
∵PA=PB，PC⊥AB
∴PC平分AB
∴直线PN是线段AB的垂直平分线
即点P在AB的垂直平分线上
1.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC的垂直平分线DE交AB于D点,则CD=____ 4cm 2、在△ABC,PM,QN分别垂直平分AB,AC，则:
(1)若BC=10cm则△APQ的周长=_____cm;
(2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______.
10200三角形的三边垂直平分线猜想：三角形的三边垂直平分线交于一点三角形三边的垂直平分线交与一点.到三角形的三个顶点距离相等.结论如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点O。
（1）求证：OA=OB=OC。
（2）点O是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上
∴OA=OB
∵点O在线段BC的垂直平分线上
∴OB=OC
∴OA=OB
∴点O在线段AC的垂直平分线上 3、在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B=______.
700或200例题：有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。ABC 高 速 公 路AB 在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?生活中的数学L课堂小结本节课学习了哪些知识？到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.作业：课件10张PPT。13.5.3角平分线角平分线的性质是什么
用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等？ 角平分线的这条性质是怎样得到的呢？开启智慧定理 角平分线上的点到这个角的两边
距离相等.
如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE(平分线上的点到这个角的两角边距离相等).C证明: 因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
所以 ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．∴△PDO≌△PEO (A.A.S)∴PD=PE于是就有定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．四 问答 ：1、如图，在Rt△ABC 中， 角平分线的性质，
为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径。ABCBD是∠B 的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，EDE与DC 相等吗？答：DE=DC。∵ BD是∠ABC的平分线 （D在∠ABC的平分线上） 又∵ DE⊥BA，垂足为E，∴ DE=DC。为什么？DC⊥BC，垂足为C，反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．证明： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，在Rt △PDO 与Rt △PEO中∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠PD=PE（已知）｛OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌△PDO∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上于是就有定理：
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 命题:三角形三个角的平分线相交于一点.如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习的内容.∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(________________________________)DC=DE角平分线上的点到角的两边的距离相等2、判断题（ ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = DC ，
( ) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。×课时训练练习
1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．提示：作∠AOB的平分线，交直线l于P就是所求的点课件10张PPT。13.5.3角平分线 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折）情境问题 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB
∴ ∠PDO= ∠PEO=900
在△PDO和△PEO中,
∵∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE(3)验证猜想 此性质的推理过程:∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知）
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）(4)得到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判断题（ ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴BD = DC
( ) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。×如图，在Rt△ABC 中，角平分线的性质，为我们证明两条线段相等 又提供了新的方法与途径。ABCBD是角平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，EDE与DC 相等吗？答：DE=DC。∵ BD是∠ABC的平分线 且DE⊥BA，∴ DE=DC。为什么？DC⊥BC，已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上． 证明： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，在Rt △PDO 与Rt △PEO中∴∠PDO= ∠PEO=900∵PD=PE（已知）OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌ Rt △PDO(H.L.)∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上角平分线上的点到角两边的距离相等。逆命题到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.ACBEDPMHK如图，在△ABC的 顶点 B的外角的平分线BD与
顶点 C的外角的平分线CE相交于点P．
求证：点Ｐ到三边AB、BC、AC的距离相等．
证明：过点P作PM、PK、 PH分别垂直于AB、BC、AC，垂足为M、K、H。
∵BD平分∠CBM
∴PK＝PM
同理PK＝PH
∴PK＝PM＝PH
即点P到三边AB、BC、AC的距离相等若求证点P在∠BAC的平分线上，又该如何证明呢？ 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P在∠BAC的平分线上.FABCPN作业
