中小学教育资源及组卷应用平台
专题21 概率
【考情预测】
该板块内容以考查基础为主，也是考查重点，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2023年浙江各地中考还将出现，并且在选择、解答中考查事件的判断、随机事件的概率、概率与几何、频率估计概率、用树状图或列表法求概率、游戏的公平性问题等知识这部分知识是考生的得分点，应掌握扎实。
【考点梳理】
一、事件的分类
1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．
2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．
3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．
二、概率的计算
1．公式法：P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
2．列举法
1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．
三、利用频率估计概率
1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．
3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
四、概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策．
【重难点突破】
考点1. 事件的分类
【解题技巧】
1．一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的，它的大小要由它在整个问题中所占比例的大小来确定，它占整体的比例大，它的可能性就大，它占整体的比例小，它的可能性就小，不确定事件发生的概率在0到1之间，不包括0和1．
2．必然事件发生的机率是100%，即概率为1，不可能事件发生的机率为0，即概率为0．
【典例精析】
例1（2021·浙江中考真题）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）．
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【答案】D
【分析】结合题意，根据不可能事件的定义分析，即可得到答案．
【详解】经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件∴选项A错误；
射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件∴选项B错误；
班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件∴选项C错误；
从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件∴选项D正确；故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件的知识；解题的关键是熟练掌握不可能事件的性质，从而完成求解．
例2.（2022·湖北武汉·中考真题）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【答案】D
【分析】直接根据随机事件的概念即可得出结论．
【详解】购买一张彩票，结果可能为中奖，也可能为不中奖，中奖与否是随机的，即这个事件为随机事件．故选：D．
【点睛】本题考查随机事件的概念，解题的关键是熟练掌握随机事件发生的条件，能够灵活作出判断．
【变式训练】
变式1．（2022·湖北武汉市·中考模拟）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和大于6
【答案】B
【分析】随机事件是指在某个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解．
【详解】解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2，
选项A：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A错误；
选项B：“两个小球的标号之和等于6”为随机事件，故选项B正确；
选项C：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C错误；
选项D：“两个小球的标号之和大于6”为不可能事件，故选项D错误．故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各事件的定义是解决本题的关键．
变式2．（2022·广西·中考真题）下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180° B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、三角形内角和是180°是必然事件，故此选项符合题意；
B、端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一
定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
变式3．（2022·江苏扬州·中考真题）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
【答案】D
【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可
【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，不符合题意；C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意；故选D
【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．
考点2. 概率的意义及计算
【解题技巧】
1）正确理解概率的意义；2）在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．
【典例精析】
例1.（2022·浙江绍兴·中考真题）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：从袋中任意摸出一个球为红球的概率是．故选：A
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
例2.（2021·湖南中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，这次数学测试成绩也一定在90分以上
【答案】B
【分析】根据概率的意义即可求出答案．
【详解】解：A. “明天的降水概率为80%”，只能说明有很大机会下雨，而不能说明有80%的时间降雨，故A错误；B. 经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，说法正确符合题意；C. “某彩票中奖概率是1%”，只能说明中奖的机会很小，故C错误；
D. 小明前几次的数学测试成绩与这次测试成绩并没有任何关系，故D错误；故选：B．
【点睛】本题考查概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义．
例3.（2022成都绵实外九年级阶段练习）从﹣2，﹣1，0，，1，2这六个数字中，随机抽取一个数记为a，则使得关于x的方程的解为非负数，且满足关于x的不等式组只有三个整数解的概率是_____．
【答案】
【分析】解关于的分式方程，根据分式方程的解为非负数及分式有意义的条件求出的范围，解不等式组，由不等式组整数解的个数求出的范围，再从6个数中找到同时满足以上两个条件的情况，从而利用概率公式求解可得．
【详解】解方程得，由题意知且，解得：且，
解不等式组，得：，
∵不等式组只有3个整数解，∴不等式组的整数解为2、1、0，则，即，∴在所列的六个数字中，同时满足以上两个条件的有、这2个数字，
∴得关于x的方程的解为非负数，且满足关于x的不等式组只有三个整数解的概率是．故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式的应用、分式方程解的情况以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式训练】
变式1．（2022·江苏徐州·模拟预测）王刚是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，王刚的进球率为20%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）
A．王刚明天的进球率为20% B．王刚明天每射球20次必进球1次
C．王刚明天有可能进球 D．王刚明天肯定进球
【答案】C
【分析】首先根据题意可知该事件是随机事件，即可确定是可能发生的判断即可．
【详解】解：王刚是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，王刚的进球率为20%，他明天将参加一场比赛，王刚明天有可能进球，故选：C．
【点睛】本题主要考查了随机事件，是可能出现也可能不出现的事件．
变式2．（2022·浙江台州·中考真题）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）掷一次，朝上一面点数是1的概率为________．
【答案】
【分析】使用简单事件概率求解公式即可：事件发生总数比总事件总数．
【详解】掷骰子一次共可能出现6种情况，分别是向上点数是：1、2、3、4、5、6，
点数1向上只有一种情况，则朝上一面点数是1的概率P=．故答案为：
【点睛】本题考查了简单事件概率求解，熟练掌握简单事件概率求解的公式是解题的关键．
变式3．（2022成都七中万达九年级阶段练习）有四张正面分别标有数字-4，-3，-2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为，则使得二次函数当时随的增大而减小，且一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是__________．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质将的取值范围求出来，再根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，最后确定的取值个数，从而求出概率．
【详解】解：∵二次函数的解析式为：∴对称轴为：，开口向上
∵当时随的增大而减小∴∴∴满足该条件的为和
∵一元二次方程有两个不相等的实数根
∴∴∴同时满足这两个条件的的值为和
∴同时满足这两个条件的的值的概率为：故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和一元二次方程根的判别式，以及求概率，熟练掌握二次函数的性质和一元二次方程根的判别式是解答本题的关键．
考点3. 几何概型
【解题技巧】几何概型：主要是利用面积（长度、体积等）表示概率。
【典例精析】
、例1．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角顶点在圆心上，这个角绕点任意转动，在转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为，求 ________．
【答案】##度
【分析】根据题意可得出扇形与扇形有重叠的概率即为组成的扇形圆心角与的比值，进而得出答案．
【详解】解：∵在圆中内接一个正五边形，∴每个正五边形的中心角为，
∵转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为
∴解得：．故答案为：．
【点睛】此题主要考查几何概率以及正五边形的性质，根据已知得出概率与圆心角的关系是解题关键．
例2．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30，，
∴阴影部分面积为：，∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是，故选：A．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
【变式训练】
变式1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比求出概率，即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，
∴其内切圆的半径为，正方形的面积为a2，∴阴影部分的面积为，
∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是．故选：B
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
变式2．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图游戏板，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形游戏板，其中直角三角形的两直角边之比均52：3，假设飞镖投中大正方形区域内每一点是等可能的(投中直角三角形、小正方形的边界或没有投中游戏板，则重投1次)，现随机地向大正方形内部区域投掷飞镖，则飞镖投中阴影区域的概率是______．
【答案】
【分析】针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比．
【详解】解：设两直角边分别是2x，3x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x，
所以S大正方形＝13x2，S小正方形＝x2，S阴影＝12x2，
则针尖落在阴影区域的概率为；故答案为．
【点睛】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
变式3．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出阴影部分的面积占大正方形的份数即可判断．
【详解】解：∵两个小正方形的面积为和，∴两个小正方形的边长为和，
∴大正方形的边长为，∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为，∴米粒落在图中阴影部分的概率为，故选：A．
【点睛】本题主要考查了几何概率，熟练掌握正方形边长与面积的关系是解题关键．
考点4.用树状图或列表法求概率
【典例精析】
例1．（2021·浙江杭州市·中考真题）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用树状图表示所有等可能的结果，再求得甲和乙从同一节车厢上车的概率．
【详解】解：将3节车厢分别记为1号车厢，2号车厢，3号车厢，用树状图表示所有等可能的结果，
共有9种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3可能，
即甲和乙从同一节车厢上车的概率是，故选：C．
【点睛】本题考查概率，涉及画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
例2．（2022·山东烟台·中考真题）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．故选：B．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·山西·中考真题）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大赛”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大赛”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
变式2．（2022·湖北武汉·中考真题）班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】采用树状图发，确定所有可能情况数和满足题意的情况数，最后运用概率公式解答即可.
【详解】解：根据题意列树状图如下：
由上表可知共有12中可能，满足题意的情况数为6种
则，两位同学座位相邻的概率是 .故选C.
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图成为解答本题的关键.
变式3．（2022·重庆·中考真题）有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是_________．
【答案】
【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和抽取的两张卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意列表如下：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，
所以P（抽取的两张卡片上的字母相同）＝＝．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
考点5. 频率估计概率
【典例精析】
例1．（2022·辽宁·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________．
【答案】6
【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为8×=6（个）．故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
例2．（2022·福建厦门·校考模拟预测）端午假期鼓浪屿商场为了吸引顾客，举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会，不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，如果摸到红色小球则有机会以优惠价28.88元购买“冰墩墩”一个．如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果．李老师在活动第二天去购物，刚好消费了100元，推测李老师能以优惠价购买“冰墩墩”的概率为___．
【答案】0.35
【分析】根据概率的定义推测即可得出答案．
【详解】解：随着摸球次数的增加，摸到红球的频率总是在0.35的附近摆动，显示出一定的稳定性，可以推测摸到红球的概率即是老师能以优惠价购买“冰墩墩”的概率为0.35，故答案为0.35．
【点睛】本题主要考查了概率的定义，在做重复试验时，当试验次数很大时，事件A的频率总是会在一个常数的附近摆动，这就是频率的稳定性，我们用这个常数表示事件A发生的可能性大小，我们把刻画事件A发生可能性大小的数值成为事件A的概率，掌握概率的概念是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·四川自贡·中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙）
【答案】甲
【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总数即可得到结论．
【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则鱼的概率近似，解得x＝2000；
设乙鱼池鱼的总数为y条，则鱼的概率近似，解得y＝1000；
，可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了频率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等量关系．
变式2．（2022·广西桂林·中考真题）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 _____．
【答案】0.5##
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．
【详解】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5．故答案为：0.5．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键．
变式3．（2023秋·广东广州·九年级期末）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为__________．
【答案】
【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积的计算即可．
【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，
根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积的，
估计黑色部分的总面积约为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
考点6. 概率的应用
【解题技巧】
游戏是否公平在于可能性是否相等，即可能性相等，游戏公平；可能性不相等，则游戏不公平．
【典例精析】
例1．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可.
【详解】画树状图得：
所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为 .
【点睛】树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法．
例2．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈.丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如:若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A.（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为 ；（2） 丫丫和甲甲一起玩眺圈游戏: 丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者.这个游戏规则公平吗 请说明理由.
【答案】（1） ；（2）公平，理由见详解
【分析】（1）分别计算投掷点数为1、2、3、4时，丫丫跳跃后回到圈A的次数，再按概率公式计算求解；（2）分别计算投掷点数为1、2、3、4时，丫丫和甲甲跳跃后回到圈A的次数，再按概率公式计算求解；
【详解】解：（1）当投掷点为1时，丫丫跳跃后到圈B；当投掷点为2时，丫丫跳跃后到圈C；当投掷点为3时，丫丫跳跃后到圈A；当投掷点为4时，丫丫跳跃后到圈B；如图，
，
共3种等可能的结果，丫丫跳跃后到圈A只有一次，故答案为：．
（2）由（1）知丫丫随机投掷一次骰子，跳跃后回到圈A的概率为 ；
甲甲随机投掷两次骰子，如图
共有等可能的情况有9种，其中甲甲跳跃后到圈A共3次， P甲甲= 这个游戏公平．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意根据题意画树状图，然后利用概率=所求情况数与总情况数之比求解是关键．
【变式训练】
变式1．（2022·云南·中考真题）某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．
游戏规则如下：在—个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》，否则，演奏《彩云之南》．
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏公平不？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
【答案】(1)见解析，（a，b）所有可能出现的结果总数有8种；(2)游戏公平，理由见解析
【分析】（1）列表列出所有等可能结果即可；
（2）由和为偶数的有8种情况，而和为奇数的有4种情况，即可判断．
(1)解：列表如下：
1 2 3 4
1 (1，1) (2，1) (3，1) (4，1)
2 (1，2) (2，2) (3，2) (4，2)
由表格可知，（a，b）所有可能出现的结果总数有8种；
(2)解：游戏公平，由表格知a+b为奇数的情况有4种，为奇数的情况也有4种，
概率相同，都是，所以游戏公平．
【点睛】本题主要考查游戏的公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
变式2．（2022·山东青岛·中考真题）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】游戏对双方都公平
【分析】根据题意列表求得双方的概率即可求解．
【详解】解：所有可能的结果如下：
乙甲 1 2 3 4 5
1
2
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果．
∴P（小冰获胜） P（小雪获胜）
∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜）∴游戏对双方都公平．
【点睛】本题考查了游戏的公平性，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
变式3．（2021·福建中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，
【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；
（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．
【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：，，，，共四种．
其中田忌获胜的对阵有，，共两种，故此时田忌获胜的概率为．
（2）不是．齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；
齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是，，，
，，．
齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是
，，，
，，，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率．
【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题21 概率
【考情预测】
该板块内容以考查基础为主，也是考查重点，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2023年浙江各地中考还将出现，并且在选择、解答中考查事件的判断、随机事件的概率、概率与几何、频率估计概率、用树状图或列表法求概率、游戏的公平性问题等知识这部分知识是考生的得分点，应掌握扎实。
【考点梳理】
一、事件的分类
1．必然事件：在一定条件下一定会发生的事件，它的概率是1．
2．不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件，它的概率是0．
3．随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，它的概率是0~1之间．
二、概率的计算
1．公式法：P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
2．列举法
1）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
2）画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，通常采用画树状图来求事件发生的概率．
三、利用频率估计概率
1．定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率稳定在某个常数P附近，因此，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率．
2．适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般要通过统计频率来估计概率．
3．方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个常数时，该常数就可认为是这个事件发生的概率．
四、概率的应用：概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象做出评判，如解释摸奖、评判游戏活动的公平性、数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件做出决策．
【重难点突破】
考点1. 事件的分类
【解题技巧】
1．一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的，它的大小要由它在整个问题中所占比例的大小来确定，它占整体的比例大，它的可能性就大，它占整体的比例小，它的可能性就小，不确定事件发生的概率在0到1之间，不包括0和1．
2．必然事件发生的机率是100%，即概率为1，不可能事件发生的机率为0，即概率为0．
【典例精析】
例1（2021·浙江中考真题）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）．
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
例2.（2022·湖北武汉·中考真题）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【变式训练】
变式1．（2022·湖北武汉市·中考模拟）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和大于6
变式2．（2022·广西·中考真题）下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180° B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
变式3．（2022·江苏扬州·中考真题）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
考点2. 概率的意义及计算
【解题技巧】
1）正确理解概率的意义；2）在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象．
【典例精析】
例1.（2022·浙江绍兴·中考真题）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
例2.（2021·湖南中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨
B．经过有信号灯的十字路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会有1张中奖
D．小明前几次的数学测试成绩都在90分以上，这次数学测试成绩也一定在90分以上
例3.（2022成都绵实外九年级阶段练习）从﹣2，﹣1，0，，1，2这六个数字中，随机抽取一个数记为a，则使得关于x的方程的解为非负数，且满足关于x的不等式组只有三个整数解的概率是_____．
【变式训练】
变式1．（2022·江苏徐州·模拟预测）王刚是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，王刚的进球率为20%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（ ）
A．王刚明天的进球率为20% B．王刚明天每射球20次必进球1次
C．王刚明天有可能进球 D．王刚明天肯定进球
变式2．（2022·浙江台州·中考真题）将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）掷一次，朝上一面点数是1的概率为________．
变式3．（2022成都七中万达九年级阶段练习）有四张正面分别标有数字-4，-3，-2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为，则使得二次函数当时随的增大而减小，且一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是__________．
考点3. 几何概型
【解题技巧】几何概型：主要是利用面积（长度、体积等）表示概率。
【典例精析】
、例1．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角顶点在圆心上，这个角绕点任意转动，在转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为，求 ________．
例2．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图游戏板，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形游戏板，其中直角三角形的两直角边之比均52：3，假设飞镖投中大正方形区域内每一点是等可能的(投中直角三角形、小正方形的边界或没有投中游戏板，则重投1次)，现随机地向大正方形内部区域投掷飞镖，则飞镖投中阴影区域的概率是______．
变式3．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点4.用树状图或列表法求概率
【典例精析】
例1．（2021·浙江杭州市·中考真题）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等，某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·山东烟台·中考真题）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【变式训练】
变式1．（2022·山西·中考真题）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大赛”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·湖北武汉·中考真题）班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·重庆·中考真题）有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是_________．
考点5. 频率估计概率
【典例精析】
例1．（2022·辽宁·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________．
例2．（2022·福建厦门·校考模拟预测）端午假期鼓浪屿商场为了吸引顾客，举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会，不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，如果摸到红色小球则有机会以优惠价28.88元购买“冰墩墩”一个．如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果．李老师在活动第二天去购物，刚好消费了100元，推测李老师能以优惠价购买“冰墩墩”的概率为___．
【变式训练】
变式1．（2022·四川自贡·中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙）
变式2．（2022·广西桂林·中考真题）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 _____．
变式3．（2023秋·广东广州·九年级期末）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为__________．
考点6. 概率的应用
【解题技巧】
游戏是否公平在于可能性是否相等，即可能性相等，游戏公平；可能性不相等，则游戏不公平．
【典例精析】
例1．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
例2．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈.丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如:若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A.（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为 ；（2） 丫丫和甲甲一起玩眺圈游戏: 丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者.这个游戏规则公平吗 请说明理由.
【变式训练】
变式1．（2022·云南·中考真题）某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．
游戏规则如下：在—个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》，否则，演奏《彩云之南》．
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏公平不？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
变式2．（2022·山东青岛·中考真题）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
变式3．（2021·福建中考真题）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题21 概率 考场演练
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·浙江温州·中考真题）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用列举法列出全部可能情况，从中找出是偶数的情况，根据概率公式P(A)=事件包含的结果/总体可能的结果计算即可．
【详解】解：从9张卡片中任意抽出一张，正面的数有1~9共9种可能，其中为偶数的情况有2、4、6、8共4种，
所以正面的数是偶数的概率P=，故选 ：C．
【点睛】本题考查了概率，需熟练运用列举法进行分析，会使用列表法、树状图法求概率．
2．（2022·北京·中考真题）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
3．（2022·山东临沂·中考真题）为做好疫情防控工作，某学校门口设置了，两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从通道入校的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先列表得到所有的等可能的结果数，以及符合条件的结果数，再利用概率公式计算即即可．
【详解】解：列表如下：
A B
A A，A A，B
B B，A B，B
所以所有的等可能的结果数有4种，符合条件的结果数有1种，
所以该校同学王明和李强均从通道入校的概率是 故选A
【点睛】本题考查的是利用列表的方法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率，掌握“列表的方法求概率”是解本题的关键．
4．（2022·湖南衡阳·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件
B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是
【答案】A
【分析】由三角形的内角和定理可判断A，由抽样调查与普查的含义可判断B，C，由简单随机事件的概率可判断D，从而可得答案．
【详解】解：“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件，表述正确，故A符合题意；
调查全国中学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越不准确，故C不符合题意；
十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率不是，与三种灯的闪烁时间相关，故D不符合题意；故选A
【点睛】本题考查的是必然事件的含义，调查方式的选择，简单随机事件的概率，三角形的内角和定理的含义，掌握“以上基础知识”是解本题的关键．
5．（2022·浙江丽水·中考真题）老师从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找到全部情况的总数以及符合条件的情况，两者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：根据题意可得：从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，总数是4个人，符合情况的只有甲一个人，所以概率是P=，故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=．
6．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，点D在的边上，连接，点P的位置如图所示，在图中随机选择一个三角形，则点P在选择的三角形内部的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】先找到图中一共有3个三角形，再找到符合要求的三角形有2个，即可求出概率．
【详解】解：∵图干图形中，三角形有、、，则点P在、内部
∴P（点P在选择的三角形内部的概率）=故选：C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．（2022·河北邯郸·校考三模）已知互不相等的9个数的中位数为5，在4，5，6三个正整数中随机抽取两个数，补充到原来的数据中，则使这11个数的中位数保持不变的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】先根据题意列举出抽取两个数的所有可能结果，再根据中位数的定义求解满足条件的可能结果，根据概率公式求解即可．
【详解】解：由题意，在4，5，6三个正整数中随机抽取两个数，可能为4和5，4和6，5和6，
∵互不相等的9个数的中位数为5，∴给这一组数据中补充4和5或4和6或5和6后，组成的11个数从小到大排列，最中间的数仍为5，即中位数仍为5，∴加入两个数后的11个数的中位数保持不变的概率为1，故选：D
【点睛】本题考查中位数、概率计算，理解题意，解答的关键是熟练掌握中位数的求解方法：一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，数据是奇数个，则中位数是最中间的那个数．
8．（2023·广东深圳·校考一模）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意画出树状图，可得共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，∴该小孩为女孩的概率为，故选：C．
【点睛】本题主要考查利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
9．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）小颖的储蓄罐里装有若干个1元的硬币，为了估计罐中硬币的个数，她将10个一样的1元硬币标上记号后放入储蓄罐中，经过充分摇匀后，随机从罐中摸出一个硬币，然后放回罐中，再从中摸出一个硬币，再放回……通过大量重复试验后发现，摸到没有记号的硬币的频率稳定在0.90左右，则储蓄罐中原来约有______个硬币．
【答案】90
【分析】先设未知数，再依据概率公式列出方程，解出方程即可．
【详解】设原来约有硬币个，则，
解得经检验，是原方程的解，故答案为：90．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，正确列出方程是解题的关键．
10．（2022·浙江湖州·中考真题）一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，它们除了数字外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字大于4的概率是______．
【答案】
【分析】根据概率的求法，用标有大于4的球的个数除以球的总个数即可得所标数字大于4的概率．
【详解】解：∵箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，
∴球上所标数字大于4的共有2个，
∴摸出的球上所标数字大于4的概率是：．故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
11．（2022·广西贵港·中考真题）从，，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是___．
【答案】
【分析】列举出所有情况，看在第三象限的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：∵从，，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，
∴所有的点为：（，），（，2），（，2），（，），（2，），（2，），共6个点；在第三象限的点有（，），（，），共2个；
∴该点落在第三象限的概率是；故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率，解题的关键是正确的列出所有可能的点，以及在第三象限上的点，再由概率公式进行计算，即可得到答案．
12．（2022·黑龙江大庆·中考真题）不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1，2，3．三张卡片质地均匀，大小、形状完全相同，摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机取出一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为____________．
【答案】
【分析】根据题意列表，然后找出两次卡片编号之积为奇数的可能的结果数，然后计算求解即可．
【详解】解：由题意知，列表如下：
1 2 3
1 （1,1） （1,2） （1,3）
2 （2,1） （2,2） （2,3）
3 （3,1） （3,2） （3,3）
由表可知，两次卡片编号之积有1、2、3、4、6、9，卡片组合共有9种等可能的结果，其中两次卡片编号之积为奇数有1、3、9，卡片组合共有（1,1），（1,3），（3,1），（3,3）4种等可能的结果，
∴两次卡片编号之积为奇数的概率为，故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率．解题的关键在于找出两次卡片编号之积为奇数的可能的结果数．
13．（2022·浙江宁波·中考真题）一个不透明的袋子里装有5个红球和6个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为___________．
【答案】
【分析】利用概率计算公式，用红色球的个数除以球的总个数，算出概率即可．
【详解】∵有5个红球和6个白球，
∴袋中任意摸出一个球是红球的概率，故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率计算公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，掌握概率计算公式是解答本题的关键．
14．（2022·黑龙江绥化·中考真题）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为______个．
【答案】15
【分析】设黄球的个数为x个，根据概率计算公式列出方程，解出x即可．
【详解】解：设：黄球的个数为x个，
解得：，检验：将代入，值不为零，
∴是方程的解，∴黄球的个数为15个，故答案为：15．
【点睛】本题考查概率计算公式，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．
15．（2022·浙江湖州·中考真题）一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，它们除了数字外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字大于4的概率是______．
【答案】
【分析】根据概率的求法，用标有大于4的球的个数除以球的总个数即可得所标数字大于4的概率．
【详解】解：∵箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，∴球上所标数字大于4的共有2个，
∴摸出的球上所标数字大于4的概率是：．故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
16．（2022·浙江杭州·中考真题）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于_________．
【答案】##0.4
【分析】根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是偶数的概率．
【详解】解：从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是偶数的可能性有2种可能性，∴从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于，故答案为：．
【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
17．（2022·四川南充·中考真题）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是_______________．
【答案】
【分析】根据简单的概率公式求解即可．
【详解】解：卡片中有2张是物理变化，一共有6张卡片，
∴是物理变化的概率为：，故答案为：．
【点睛】题目主要考查简单的概率公式计算，理解题意是解题关键．
18．（2022·重庆·中考真题）不透明的袋子中装有个红球和个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是________．
【答案】
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种结果，
所以两次都摸到红球的概率为，故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（2022·成都·中考二模）将5个完全相同的乒乓球，依次标上数字：0，1，2，3，4，并放入不透明的口袋中，现把它们摇匀，随机从中任意抽出1个，记乒乓球上的数字为m，则数字m使分式方程﹣1＝无解的概率为_____．
【答案】
【分析】由分式方程，得m=x（x-3）-（x+2）（x-3），x=-2或3时，分式方程无解，x=-2时，m=10；x=3时，m=0，所以在0，1，2，3，4取一个数字m使分式方程无解的概率为．
【详解】解：由分式方程，得m＝x（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）
x＝﹣2或3时，分式方程无解，x＝﹣2时，m＝10，x＝3时，m＝0，
所以在0，1，2，3，4，取一个数字m使分式方程无解的概率为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
20．（2021·辽宁中考真题）一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高
【分析】（1）列表格列出所有可能性；（2）分别求出甲乙获胜的情况个数后比较大小即可．
【详解】（1）所有可能性如下表：
甲
乙 红1 红2 白1 白2
红1 （红，红） （白，红） （白，红）
红2 （红，红） （白，红） （白，红）
白1 （红，白） （红，白） （白，白）
白2 （红，白） （红，白） （白，白）
总共12种情况．
（2）摸到两个小球的颜色相同有4种，摸到两个小球颜色不同有8种
∴甲获胜概率=，乙获胜概率=
∴这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（2021·河北中考真题）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
【答案】（1），（2）嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【分析】（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，根据概率公式求解即可；
（2）根据树状图的画法补全树状图，再根据向哪个方向出现的次数求概率即可．
【详解】解：（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口向北走的概率为；
（2）补全树状图如图所示：
嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为：；向南的概率为；向北的概率为；向东的概率为；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【点睛】本题考查了概率的应用，解题关键是根据题意准确画出树状图，正确进行求解判断．
22．（2022·山东泰安·中考真题）2022年3月23日．“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：．C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数直方图中，所抽取学生成绩的中位数落在 组；(2)补全学生成绩频数直方图：(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？(4)学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)400 名，D(2)见解析(3)1680人(4)见解析，
【分析】（1）用C组的人数除以C组所占的百分比可得总人数，再用总人数乘以B组所占的百分比，可求出m，从而得到第200位和201位数落在D组，即可求解；（2）求出E租的人数，即可求解；
（3）用学校总人数乘以成绩优秀的学生所占的百分比，即可求解；（4）根据题意，画树状图，可得共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，再根据概率公式计算，即可求解．
(1)解：名，
所以本次调查一天随机抽取 400 名学生的成绩，
频数直方图中，∴第200位和201位数落在D组，
即所抽取学生成绩的中位数落在D组；故答案为：400，D
(2)解：E组的人数为名，
补全学生成绩频数直方图如下图：
(3)解：该校成绩优秀的学生有（人）；
(4)解：根据题意，画树状图如图，
共有20种等可能的结果，恰好抽中一名男生和一名女生的结果有12种，
恰好抽中一名男生和一名女生的概率为．
【点睛】本题主要考查了频数直方图和扇形统计图，用样本估计总体，利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
23．（2022·四川广元·中考真题）为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
(1)八年级（1）班学生总人数是 人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为 ；(2)明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
(3)校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)40；补全条形统计图见解析；90°；(2)该校参与体育类和美术类社团的学生总人数大约有1625人；(3)选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的概率是．
【分析】（1）利用A类人数除以所占百分比可得抽取总人数；根据总数计算出C类的人数，然后再补图；用360°乘以C类所占的百分比，计算即可得解； （2）利用样本估计总体的方法计算即可；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
(1)解：抽取的学生总数：12÷30%=40（人），C类学生人数：40-12-14-4=10（人），
补全统计图如下：
扇形统计图中C类所在的扇形的圆形角度数是360°×=90°；故答案为：40；90°；
(2)解：2500×=1625（人），答：该校参与体育类和美术类社团的学生总人数大约有1625人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的有8种，
所以选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的概率是：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．
24．（2022·江苏宿迁·中考真题）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；
（2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．
(1)解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是
(2)列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙
所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有乙的概率为：
【点睛】本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键．
25．（2022·湖南衡阳·中考真题）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：(1)参与此次抽样调查的学生人数是____人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；(2)图②中扇形的圆心角度数为_____度；(3)若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；(4)计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率．
【答案】(1)120，见解析(2)(3)300人(4)见解析，
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）用C的人数除以调查总数再乘以360°即可得到答案；（3）用样本估计总体进行计算即可；
（4）列出表格或画出树状图，得到所有可能的结果数，找出符合条件的结果数，再由概率公式求解即可．
(1)因为参与活动的人数为36人，占总人数，所以总人数人，
则参与活动的人数为：人；补全统计图如下：
故答案为：120；
(2)扇形的圆心角为：，故答案为：90；
(3)最喜爱“测量”项目的学生人数是：人；
答：估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是300人；
(4)列表如下：
第一项第二项
——
——
——
——
——
或者树状图如下：
所以，选中、这两项活动的概率为：.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
26．（2022·陕西·中考真题）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______；(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
【答案】(1)(2)见解析，
【分析】（1）直接根据概率公式计算；（2）先列表，展示所有20种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于15kg所占的结果数，再根据概率公式计算．
(1)解：所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是，故答案为：；
(2)解：列表如下：
第二个第一个 6 6 7 7 8
6 12 13 13 14
6 12 13 13 14
7 13 13 14 15
7 13 13 14 15
8 14 14 15 15
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个西瓜的重量之和为15kg的结果有4种．
∴．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，从而求出概率．
27．（2022·广东深圳·中考真题）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．
(1)本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ．
(2)补全条形统计图．
(3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ．
(4)在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
【答案】(1)50人，；(2)见解析(3)(4)
【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比；（2）总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；
（3）用乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
(1)解：本次抽查的总人数为（人，
“合格”人数的百分比为，故答案为：50人，；
(2)解：不合格的人数为：；补全图形如下：
(3)解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为，故答案为：；
(4)解：列表如下：
甲 乙 丙
甲 （乙，甲） （丙，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙）
由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为．故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图的关联，读懂统计图中的信息、画出树状图或列表是解题的关键．
28．（2022·辽宁辽宁·中考真题）学校开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、键球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生共有______人；
(2)在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数；并把条形统计图补充完整；
(3)在最喜爱健美操项目的学生中，八年一班和八年二班各有2名同学有健美操基础，学校准备从这4人中随机抽取2人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是同一个班级的概率．
【答案】(1)50(2)健美操项目所对应的扇形圆心角的度数为108°，补全统计图见解析
(3)选中的2名同学恰好是同一个班级的概率为
【分析】（1）用参加篮球的20人数除以所占的百分比来求出本次调查的总人数；
（2）用360度乘健美操项目人数除以总人数来求出健美操项目所对应的扇形圆心角的度数，再利用总人数分别减去篮球、健美操、键球人数得到跳绳的人数，并补全统计图即可；（3）画出列表，从中得到共有12种可能出现的结果，其中2人来自同一班级的有4种，再利用概率公式求解．
(1)解：由图形可知，参加篮球的20人数占40%，
所以本次调查的学生共有（人），故答案为：50；
(2)解：健美操项目所对应的扇形圆心角的度数：，
喜欢跳绳的学生人数为：（人），补全条形统计图如下：
(3)解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中2人来自同一班级的有4种，
所以，从一班2人，二班2人中任取2人，来自同一班级的概率为，
答：选中的2名同学恰好是同一个班级的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计，用树状图或列表法求概率，理解相关知识是解答关键．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2021·广西玉林市·中考真题）一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个白球 B．至少有2个白球 C．至少有1个黑球 D．至少有2个黑球
【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：一个不透明的袋子中只有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，A、3个球中至少有1个白球，是必然事件，故本选项符合题意；
B、3个球中至少有2个白球，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、3个球中至少有1个黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；
D、3个球中至少有2个黑球，是随机事件，故本选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2022·湖南常德·中考真题）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下，
共有20种等可能结果，其中和为偶数的有8种，
则其和为偶数的概率为故选B
【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
3．（2022·福建厦门·校考二模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案．
【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，可以用图中正方形区域表示，
∴，再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，
则需满足x2＋y2＞1，可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，∴，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
∴，解得，故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．
4．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________．
马匹姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
【答案】
【分析】利用列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：齐王的三匹马出场顺序为10，8，6；
而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌能赢得比赛的有5，9，7；一种∴田忌能赢得比赛的概率为故答案为：
【点睛】本题考查概率的求法，解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（2022·福建·模拟预测）如图，小凌同学在玩“走迷宫”游戏，从入口处进入迷宫，每遇到一个岔路口便会随机选择其中一条路径行走．游戏规定一进入迷官只许前进不许后退，可转弯，则小凌不回头便能走出迷宫的概率是___________．
【答案】
【分析】先根据题意画出树状图，然后再根据概率公式进行计算．
【详解】解：在各个道路上标上相应的字母，
根据标出的字母画出树状图，如图所示：
∵共有等可能的8条道路可走，其中能够走出迷宫的只有2条道路，
∴小凌不回头便能走出迷宫的概率为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了画树状图法求概率，根据题意画出树状图，是解题的关键．
6．（2023·四川成都·统考一模）如图，在正方形中，，二次函数的图象过点O和点B，为了测算该二次函数的图象与边，围成的阴影部分面积，某同学在正方形内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，据此估计阴影部分的面积为 _____．
【答案】
【分析】根据正方形的面积公式得到正方形的面积，根据阴影部分的面积占正方形的面积的即可得到结论．
【详解】解：在正方形中，，∴正方形的面积，
∵在正方形内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，
∴阴影部分的面积正方形的面积，故答案为：．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，正方形的面积的计算，正确地求得阴影部分的面积占正方形的面积的是解题的关键．
7．（2021·辽宁盘锦·中考真题）从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是________
【答案】
【分析】首先求得不等式组的所有整数解，然后由概率公式求得答案．
【详解】解：∵，由①得：x≥1，由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：1≤x≤5，∴整数解有：1，2，3，4，5；
∴它是偶数的概率是．故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（2022·湖北武汉·九年级校考阶段练习）图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为6m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 _____m2．
【答案】8.4
【分析】首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为x m2，由已知得：长方形面积为24m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：=0.35，解得x=8.4．估计不规则图案的面积大约为8.4 m2．故答案为：8.4．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
9．（2023成都市七中育才九年级期中）从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这9个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：＝3的解是负数，且使关于x的函数y＝图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为_____．
【答案】
【分析】利用分式方程的解和反比例函数的性质可得m的取值范围，进而可得m的值，然后再利用概率可得答案．
【详解】解：＝3，解得，x＝﹣3﹣m，
∵方程的解是负数，∴，解得：m＞﹣3，且m≠﹣2，
∵关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大，
∴m﹣3＜0，∴m＜3，∴﹣3＜m＜3，且m≠﹣2，
∴m＝﹣1或0或1或2，有4种可能，故概率为，故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质和分式方程的解，以及概率，关键是正确确定m的取值范围．
10．（2022四川达州市九年级阶段练习）从，，0，，1，2这六个数字中，随机抽取一个数记为，则使得关于的不等式组只有三个整数解的概率是 __．
【答案】
【分析】解关于x的不等式组，由不等式组整数解的个数求出a的范围，再从6个数中找到同时满足以上两个条件的情况，从而利用概率公式求解可得．
【详解】解：解不等式组，得：a＜x≤2，
∵不等式组只有3个整数解，∴不等式组的整数解为2、1、0，则-1≤a＜0，即-2≤a＜0
∴在所列的六个数字中，同时满足以上两个条件的只有-2，-1，
∴只有三个整数解的概率是故答案为：．
【点睛】题主要考查的是解一元一次不等式组的解集和概率的知识，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的能力及概率公式的应用．
11．（2021·四川成都市·中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________．
【答案】
【分析】先画树状图确定的所有的等可能的结果数，再分别计算符合要求的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：画树状图如下：
所以一共有种等可能的结果，
又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：
＜恒成立，为正整数，
满足条件的有：共种情况，
所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是： 故答案为：
【点睛】本题考查的是自定义情境下的概率计算，不等式的性质，掌握利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率是解题的关键．
12．（2022·湖北黄冈·中考真题）小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________．
【答案】
【分析】列表表示所有可能出现的结果，再确定符合条件的结果，根据概率公式计算即可．
【详解】解：列表如下：
一共有9种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出手相同的时候即为平局，有3种，所以随机出手一次平局的概率是，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列表求概率，掌握概率计算公式是解题的关键．
13．（2022·山东聊城·中考真题）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，-1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，-2，-3．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点落在直角坐标系第二象限的概率是______________．
【答案】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
2 0 -1
3 （2，3） （0，3） （-1，3）
2 （2，2） （0，2） （-1，2）
-2 （2，-2） （0，-2） （-1，-2）
-3 （2，-3） （0，-3） （-1，-3）
由表可知，共有12种等可能，其中点落在直角坐标系第二象限的有2种，
所以点落在直角坐标系第二象限的概率是，故答案为：．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
14．（2022·广西贺州·中考真题）一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为__________．
【答案】
【分析】列出所有可能出现的情况，再得到能被3整除的情况，最后根据概率公式解答．
【详解】解：画树状图如下，
所有等可能的情况共36种，其中组成的两位数中能被3整除的有12，15，21，24，33，36，42，45，51，54，63，66共12种，
即这个两位数能被3整除的概率为，故答案为：．
【点睛】本题考查画树状图或列表法求概率，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
15．（2022·湖南湘潭·中考真题）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
(1)请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
(2)若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森
【答案】(1)在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1
(2)、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为
【分析】（1）根据题意先画树状图列出所有等可能结果
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A1A2抽取的都是同一名科技英雄的情况，再利用概率公式即可求得答案．
(1)解：画树状图如下：
∴共有6种等可能的结果，分别是：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
(2)解：画树状图如下：
∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种，
∴P(、两人恰好讲述同一名科技英雄故事)== ，
答：、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为．
【点睛】此题考查了概率的应用，解题的关键是掌握运用列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法．
16．（2022·湖北随州·中考真题）为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题
(1)参加问卷调查的学生共有______人；(2)条形统计图中m的值为______，扇形统计图中的度数为_______；
(3)根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人；
(4)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】(1)60(2)11，90°(3)100(4)
【分析】（1）根据B：体育社团的人数和人数占比即可求出参与调查的总人数；
（2）根据（1）所求总人数即可求出m；用360度乘以C：文学社团的人数占比即可求出的度数；
（3）用600乘以样本中最喜欢“音乐社团”的人数占比即可得到答案；（4）画树状图或列表先得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
(1)解：（人），∴参加问卷调查的学生共有60人，故答案为：60；
(2)解：由题意得：，，故答案为：11；90°；
(3)解：（人），∴估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人，故答案为：100；
(4)解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用A，B，C，D表示，根据题意可画树状图或列表如下：
第2人第1人 A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
由上图或上表可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，故恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率等等，正确读懂统计图是解题的关键．
17．（2022·四川德阳·中考真题）据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：
(1)设本次问卷调查共抽取了名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是度，分别写出，的值．
(2)根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
(3)为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】(1)200，7.2(2)3360(3)
【分析】（1）先用“基本了解”的人数除以其所对应的百分比，可得调查的总人数，再求出“非常了解”的人数，进而得到“不太了解”的人数，最后用“不太了解”的人数所占的百分比乘以360°，即可求解；
（2）用12000乘以“非常了解”的人数所占的百分比，即可求解；（3）根据题意，列出表格，可得一共有20种等可能结果，其中恰好抽到一男一女的有12种，再根据概率公式，即可求解．
(1)解：根据题意得：人，∴“非常了解”的人数为人，
∴“不太了解”的人数为人，
∴“不太了解”所对应扇形的圆心角，即；
(2)解：“非常了解”的人数有人；
(3)解：根据题意，列出表格，如下：
男1 男2 男3 女1 女2
男1 男2、男1 男3、男1 女1、男1 女2、男1
男2 男1、男2 男3、男2 女1、男2 女2、男2
男3 男1、男3 男2、男3 女1、男3 女2、男3
女1 男1、女1 男2、女1 男3、女1 女2、女1
女2 男1、女2 男2、女2 男3、女2 女1、女2
一共有20种等可能结果，其中恰好抽到一男一女的有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率为．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体，利用树状图和列表法求概率，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
18．（2022·四川自贡·中考真题）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，分别用A、B、C、D表示；下图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：
(1)求参与问卷调查的学生人数 ，并将条形统计图补充完整；(2)全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；(3)某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况，请用画树状图或列表法求这2人均属D等级的概率．
【答案】(1)100，图形见解析(2)900(3)
【分析】（1）利用抽查的学生总数=A等级的人数除以对应的百分比计算，求出总人数，即可求D等级的人数，即可求解；（2）用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生所占的百分比，即可求解；（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，画出树状图，即可求解．
(1)解：根据题意得：；∴D等级的人数为100-40-15-10=35（人），
补全条形统计图如下：
(2)解：学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数为
（人）；
(3)解：设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：
一共有12中等可能结果，其中这2人均属D等级的有2种，
∴这2人均属D等级的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及树状图法和列表法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
19．（2022·辽宁·中考真题）小华同学从一副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的甲盒中，再从这副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的乙盒中．(1)小华同学从甲盒中随机抽取1张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为___________；
(2)小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌．请用画树状图或列表的方法，求抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先求出从甲盒中随机抽取1张有4种等可能的结果，抽到扑克牌花色为“红心”结果只有1种，再利用概率公式求解；（2）先列出表，进而得到从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌共有16种等可能的结果，其中抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的结果有2种，利用概率公式求解．
(1)解：根据题意可知 从甲盒中随机抽取1张有4种等可能的结果，抽到扑克牌花色为“红心”结果只有1种，
所以抽到扑克牌花色为“红心”的概率为．故答案为：；
(2)解：列表如下：
红心甲 黑桃甲 方块甲 梅花甲
红心乙 红心甲，红心乙 黑桃甲，红心乙 方块甲，红心乙 梅花甲，红心乙
黑桃乙 红心甲，黑桃乙 黑桃甲，黑桃乙 方块甲，黑桃乙 梅花甲，黑桃乙
方块乙 红心甲，方块乙 黑桃甲，方块乙 方块甲，方块乙 梅花甲，方块乙
梅花乙 红心甲，梅花乙 黑桃甲，梅花乙 方块甲，梅花乙 梅花甲，梅花乙
从图中可知，从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌共有16种等可能的结果，其中抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的结果有2种，
所以抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率是．
【点睛】本题主要考查了概率公式和用树状图或列表法求概率，理解相关知识是解答关键．
20．（2022·山东青岛·二模）小明和小丽用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，其中一个转盘转到红色，另一个转盘转到蓝色，即可配成紫色，两人商定，若能配成紫色，小明胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】不公平，理由见解析
【分析】将A盘中蓝色划分为圆心角为120度的两部分，将B盘中红色也划分为圆心角为120度的两部分，画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求出两人获胜的概率即可判断．
【详解】解：不公平，将A盘中蓝色部分划分为圆心角为120度的两部分，记为蓝a、蓝b，B盘中红色部分划分为圆心角为120度的两部分，记为红1、红2，画树状图如下：
由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果，
∴小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为，∵≠，∴这个游戏对双方不公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
21．（2021·江苏苏州市·中考真题）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______；（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
【答案】（1）；（2）公平，见解析
【分析】（1）列举出所有可能，进而求出概率；
（2）利用树状图法列举出所有可能，再利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
【详解】解：（1）共有4种等可能的结果，其中数字是负数情况占1种 P（数字是负数）=；
（2）用树状图或表格列出所有等可能的结果：
∵共有12种等可能的结果，两个数的差为非负数的情况有6种，
∴（结果为非负数），（结果为负数）．∴游戏规则公平．
【点睛】本题考查的是概率以及游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（2022·广东佛山·校考三模）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷．
(1)如图，小南先踩中一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方块中埋藏着颗地雷（包含数字的黑框区域记为A）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字（包含数字的黑框区域记为B，A与B外围区域记为）．二人约定：在区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明．(2)如图，在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷（空白区域无地雷）．则选择，，三个区域踩到雷的概率分别是______．
【答案】(1)这个游戏不公平，说明见解析(2)，，
【分析】（1）求出小南胜的概率和小语胜的概率，再比较即可；
（2）分别求出D，E，F三个黑框区域中共藏的地雷颗数，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：这个游戏不公平，理由如下：
在区域的（个）方块中随机埋藏着（颗）地雷，
区域中有（个）方块中没有地雷，
小南胜的概率为，小语胜的概率为，，这个游戏不公平；
（2）解：围着数字的个方块中埋藏着颗地雷，空白区域无地雷，
区域中有个地雷，选择区域踩到雷的概率为；
围着数字的个方块中埋藏着颗地雷，空白区域无地雷，
区域中有个地雷，选择区域踩到雷的概率为；
在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷空白区域无地雷，
区域中有：（颗），选择区域踩到雷的概率为；故答案为：，，．
【点睛】本题考查了游戏公平性以及概率公式等知识，概率相等游戏就公平，否则就不公平；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（2022·福建三明·统考一模）某商场举办“乐享国庆”购物活动时，为了疫情防控，只开通，，三个人口，参加人员领取入场券后，由电脑随机安排其有某个入口进场.
(1)小明领取入场券后，从入口进场的概率是多少？
(2)某品牌手机商家开展了“头手机砸金蛋”活动，购买该品牌手机的顾客都有一次砸金蛋机会.小明和小亮同时购买了该品牌手机，商家提供了4个金蛋，只有1个是一等奖，其余都是二等奖.商家让小明执锤先砸，小亮认为商家这种做法对他不公平.请从两人获得一等奖概率的角度说明小亮的质疑是否合理.
【答案】(1) (2)小亮的质疑不合理
【分析】共有3种情况，从A号入口进场只占三分之一；
列出树状图或表格，分别求出两个人获得一等奖的概率，根据是否相等判断合理与否.
【详解】（1）小明领取入场券后，从A号入口进场的概率是；
（2）小亮的质疑不合理，理由如下：解法一：设一等奖为1，二等奖为2，可画树状图如下：
对于小亮共有12种等可能的结果，小亮获得一等奖的结果有3种，
∴（小明获得一等奖），（小亮明获得一等奖），
∴（小明获得一等奖）（小亮获得一等奖），∴小亮的质疑不合理.
解法二：设一等奖为1，二等奖为2，可列表如下：
小亮小明 1 2 2 2
1
2
2
2
共有12种等可能的结果，其中小明获得一等奖的结果有3种，小亮获得一等奖的结果有3种，
∴（小明获得一等奖）， （小亮获得一等奖），
∴（小明获得一等奖）（小亮获得一等奖），∴小亮的质疑不合理.
【点睛】本题考查概率的求法，列出树状图或表格是解题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题21 概率 考场演练
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·浙江温州·中考真题）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·中考真题）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东临沂·中考真题）为做好疫情防控工作，某学校门口设置了，两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从通道入校的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南衡阳·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件
B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是
5．（2022·浙江丽水·中考真题）老师从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，点D在的边上，连接，点P的位置如图所示，在图中随机选择一个三角形，则点P在选择的三角形内部的概率是（ ）
A． B． C． D．1
7．（2022·河北邯郸·校考三模）已知互不相等的9个数的中位数为5，在4，5，6三个正整数中随机抽取两个数，补充到原来的数据中，则使这11个数的中位数保持不变的概率为（ ）
A． B． C． D．1
8．（2023·广东深圳·校考一模）人类的性别是由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）小颖的储蓄罐里装有若干个1元的硬币，为了估计罐中硬币的个数，她将10个一样的1元硬币标上记号后放入储蓄罐中，经过充分摇匀后，随机从罐中摸出一个硬币，然后放回罐中，再从中摸出一个硬币，再放回……通过大量重复试验后发现，摸到没有记号的硬币的频率稳定在0.90左右，则储蓄罐中原来约有______个硬币．
10．（2022·浙江湖州·中考真题）一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，它们除了数字外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字大于4的概率是______．
11．（2022·广西贵港·中考真题）从，，2这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是___．
12．（2022·黑龙江大庆·中考真题）不透明的盒中装有三张卡片，编号分别为1，2，3．三张卡片质地均匀，大小、形状完全相同，摇匀后从中随机抽取一张卡片记下编号，然后放回盒中再摇匀，再从盒中随机取出一张卡片，则两次所取卡片的编号之积为奇数的概率为____________．
13．（2022·浙江宁波·中考真题）一个不透明的袋子里装有5个红球和6个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为___________．
14．（2022·黑龙江绥化·中考真题）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为，则这个箱子中黄球的个数为______个．
15．（2022·浙江湖州·中考真题）一个不透明的箱子里放着分别标有数字1，2，3，4，5，6的六个球，它们除了数字外其余都相同．从这个箱子里随机摸出一个球，摸出的球上所标数字大于4的概率是______．
16．（2022·浙江杭州·中考真题）有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于_________．
17．（2022·四川南充·中考真题）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是_______________．
18．（2022·重庆·中考真题）不透明的袋子中装有个红球和个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是________．
19．（2022·成都·中考二模）将5个完全相同的乒乓球，依次标上数字：0，1，2，3，4，并放入不透明的口袋中，现把它们摇匀，随机从中任意抽出1个，记乒乓球上的数字为m，则数字m使分式方程﹣1＝无解的概率为_____．
20．（2021·辽宁中考真题）一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
21．（2021·河北中考真题）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
22．（2022·山东泰安·中考真题）2022年3月23日．“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：．C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数直方图中，所抽取学生成绩的中位数落在 组；(2)补全学生成绩频数直方图：(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？(4)学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
23．（2022·四川广元·中考真题）为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
(1)八年级（1）班学生总人数是 人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为 ；(2)明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；(3)校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
24．（2022·江苏宿迁·中考真题）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
25．（2022·湖南衡阳·中考真题）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：(1)参与此次抽样调查的学生人数是____人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；(2)图②中扇形的圆心角度数为_____度；(3)若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；(4)计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率．
26．（2022·陕西·中考真题）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______；(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
27．（2022·广东深圳·中考真题）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．
(1)本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ．
(2)补全条形统计图．(3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ．
(4)在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
28．（2022·辽宁辽宁·中考真题）学校开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、键球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查的学生共有______人；
(2)在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数；并把条形统计图补充完整；
(3)在最喜爱健美操项目的学生中，八年一班和八年二班各有2名同学有健美操基础，学校准备从这4人中随机抽取2人作为健美操领操员，请用列表或画树状图的方法求选中的2名同学恰好是同一个班级的概率．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2021·广西玉林市·中考真题）一个不透明的盒子中装有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个白球 B．至少有2个白球 C．至少有1个黑球 D．至少有2个黑球
2．（2022·湖南常德·中考真题）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建厦门·校考二模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为__________________．
马匹姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
5．（2022·福建·模拟预测）如图，小凌同学在玩“走迷宫”游戏，从入口处进入迷宫，每遇到一个岔路口便会随机选择其中一条路径行走．游戏规定一进入迷官只许前进不许后退，可转弯，则小凌不回头便能走出迷宫的概率是___________．
6．（2023·四川成都·统考一模）如图，在正方形中，，二次函数的图象过点O和点B，为了测算该二次函数的图象与边，围成的阴影部分面积，某同学在正方形内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，据此估计阴影部分的面积为 _____．
7．（2021·辽宁盘锦·中考真题）从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是________
8．（2022·湖北武汉·九年级校考阶段练习）图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为6m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 _____m2．
9．（2023成都市七中育才九年级期中）从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这9个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：＝3的解是负数，且使关于x的函数y＝图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为_____．
10．（2022四川达州市九年级阶段练习）从，，0，，1，2这六个数字中，随机抽取一个数记为，则使得关于的不等式组只有三个整数解的概率是 __．
11．（2021·四川成都市·中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是_________．
12．（2022·湖北黄冈·中考真题）小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布“的游戏，随机出手一次是平局的概率是________．
13．（2022·山东聊城·中考真题）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，-1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，-2，-3．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点落在直角坐标系第二象限的概率是______________．
14．（2022·广西贺州·中考真题）一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为__________．
15．（2022·湖南湘潭·中考真题）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
(1)请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
(2)若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森
16．（2022·湖北随州·中考真题）为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题(1)参加问卷调查的学生共有______人；(2)条形统计图中m的值为______，扇形统计图中的度数为_______；(3)根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人；(4)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
17．（2022·四川德阳·中考真题）据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：
(1)设本次问卷调查共抽取了名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是度，分别写出，的值．(2)根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
(3)为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
18．（2022·四川自贡·中考真题）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按，，，分为四个等级，分别用A、B、C、D表示；下图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：
(1)求参与问卷调查的学生人数 ，并将条形统计图补充完整；(2)全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；(3)某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况，请用画树状图或列表法求这2人均属D等级的概率．
19．（2022·辽宁·中考真题）小华同学从一副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的甲盒中，再从这副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的乙盒中．(1)小华同学从甲盒中随机抽取1张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为_____；(2)小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌．请用画树状图或列表的方法，求抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率．
20．（2022·山东青岛·二模）小明和小丽用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，其中一个转盘转到红色，另一个转盘转到蓝色，即可配成紫色，两人商定，若能配成紫色，小明胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
21．（2021·江苏苏州市·中考真题）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______；（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
22．（2022·广东佛山·校考三模）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机地埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷．
(1)如图，小南先踩中一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方块中埋藏着颗地雷（包含数字的黑框区域记为A）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字（包含数字的黑框区域记为B，A与B外围区域记为）．二人约定：在区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明．(2)如图，在，，三个黑框区域中共藏有颗地雷（空白区域无地雷）．则选择，，三个区域踩到雷的概率分别是______．
23．（2022·福建三明·统考一模）某商场举办“乐享国庆”购物活动时，为了疫情防控，只开通，，三个人口，参加人员领取入场券后，由电脑随机安排其有某个入口进场.
(1)小明领取入场券后，从入口进场的概率是多少？
(2)某品牌手机商家开展了“头手机砸金蛋”活动，购买该品牌手机的顾客都有一次砸金蛋机会.小明和小亮同时购买了该品牌手机，商家提供了4个金蛋，只有1个是一等奖，其余都是二等奖.商家让小明执锤先砸，小亮认为商家这种做法对他不公平.请从两人获得一等奖概率的角度说明小亮的质疑是否合理.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
