2022一2023学年下期期中联考
高二数学试题
B卷
(考试时间：120分钟
试卷满分：150分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)】
1.设函数f(x)=(2023-2022x)3,则f'(1)=
A.6066
B.-6066
C.2022
D.-2022
2.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有
A.4种
B.6种
C.7种
D.9种
3.某单位开展主题“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率
为子，连续答对两道题的概率为子用事件A表示“甲选手答对第一道题”，事件B表示“甲
选手答对第二道题”，则P(B|A)=
A号
B
2
3
D,年
4.若x)=ln(2-x)+x,则1im1+4)-f
、3,年，1
0
3△x
A.1
B.3
C.3
4
8
D.
5.曲线f代x)=e(x2-2x-1)(其中e是自然对数的底数)在点(1，f(1)处的切线方程是
A.x+y+1=0
B.2ex +y=0
C.3x+y+1=0
D.2ex+y+1=0
6.已知函数f代x)=x-√2sinx,x∈[0，π]，则f(x)的最大值为
A平-1
B.0
C.
D.受-E
7.北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车
满、找车难的问题.现有5辆车停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示
车头朝向，则不同的泊车方案有
种
企企企金企个
A.120
B.240
C.480
D.960
B卷高二数学试题第1页（共4页）
8.若二项式(2-)(1-2x)的展开式中。项的系数是-58，则实数a的值为
A.-2
B.2
C.-4
D.4
9.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=1,若对任意xeR,f(x)+f'(x)<0,则不等式
(x+1)fx+1)>2的解集是
A.（-o,1)
B.(-0,2)
C.(1,+o)
D.(2,+o)
「x,x2a,
10.若函数f八x)=
有两个极值点，则实数α的取值范围是
4x3-3x,x
A.a=0
C.a=0或2D.a=0或a>2
11.将a,b,c,d,e5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至
少一名，最多两名，其中a不去甲班，则不同的分配方案有方
A,180种
2:B.150种
C.90种
D.60种
12.已知定义在(0，+0)上的函数f(x),满足：(1)f(x)>0;(2)(x)f"(x)是f(x)的导函数，是自然对数的底数)，则以的范围为
f4)1
A()
盖B(
c(3
个
D.(e2,e)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分】
13.有且仅有语文、数学、英语、物理4科老师布置了作业，同一时刻3名学生都在做作业，则这
3名学生做作业的可能情况有
种.
14.函数)=产极大值点为
15.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“客醉花间花醉客”，既可以顺读也可以
逆读.数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则三
位数的回文数中是奇数的个数是
16.若不等式aln(ax)≤e在(0，+o)上恒成立，e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是
三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(
17.(本题满分10分)
有4名男生，4名女生，全排成一行，求下列情形的排法种数
(1)甲、乙两人必须排在两端；
(2)男女相间.
B卷高二数学试题第2页（共4页）从2022—2023 学年下期期中联考
高二数学参考答案 B 卷
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A D B B C C C A D D B
答案
1．【答案】B
′ 2
【解析】∵ f (x) = 3× ( 2022)(2023 2022x) ，则
2
f ′(1) = 3× ( 2022)(2023 2022×1) = 6066 .故选 B.
2．【答案】A
【解析】买两本，有 3种方案；买三本，有 1种方案，因此共有方案 3＋1＝4(种)．故选A.
3．【答案】D
1
1 2 P（AB） 2 3
【解析】因为 P(AB)＝ ，P(A)＝ ，所以 P(B|A)＝ ＝ ＝ .故选 D.
2 3 P A 2 4（ ）
3
4．【答案】B
1 1
f ′(x) = +3x2 f ′(1) = +3 = 2
【解析】由题意 ，所以 ，所以
x 2 1 2
f (1+ x) f (1) 1 f (1+ x) f (1) 1
lim = lim = f ′( 21) = .故选 B.
x→0 3 x 3 x→0 x 3 3
5．【答案】B
f (x) = ex (x2 2x 1) f ′(x) = ex (x2 3) f ′(1) = 2e
【解析】由题可知， ，则 ，∴ ，又
f (1) = 2e f (x) = ex (x2 2x 1) (1, f (1)) 2ex + y = 0
，∴函数 的图象在点 处的切线方程为 .
故选 B.
6．【答案】C
π π
f ′(x) =1 2 cos x f ′(x)=0 x = x∈ 0, f ′( x)<0【解析】 ，令 ，得 ，当 ， ，4 4
( ) π∈ π f x x , f ′( x)>0 f (x) f (0) = 0, f (π ) = π ,
为减函数，当 ， ， 为增函数， 则 4
ymax = f (π ) = π ,故选 C.
7．【答案】C
【解析】从 8个车位里选择 5个相邻的车位，共有 4种方式，选一种方式将 5辆车相邻停
B 1 7卷高二数学参考答案 第 页 （共 页）
5
放，有 A5 =120种方式，则不同的泊车方案有 4×120 = 480种，故选 C.
8．【答案】C
x x
2 (1 2x)
4 = 2× (1 2x)4 × (1 2x)4
【解析】 ，
a a
r r
(1 2x)4 T = r r rC 2x = 2 C x r = 0,1，2,3,4
的展开式的通项公式为 r+1 4 ( ) ( ) 4 ，
3
2× (1 2x)4 x3 2× 32 C = 64所以 展开式中 项的系数是 ( ) 4 ，
x 1 2 24
× 4 2(1 2x) 3 × 2 C =
展开式中 x 项的系数是 ( ) 4 ，
a a a
24
64 = 58
所以 ，解得 a = 4，故选 C.
a
9．【答案】A
g ( x) = xf (x) g′(x) = f (x)+ xf ′( x) < 0
【解析】设 ，则 ，
g (x) R g (2) = 2 f (2) = 2
所以 在 上单调递减，又 ，由
(x +1) f (x +1) > 2 g ( x +1) > g (2) x +1< 2
，即 ，所以 ，所以
x <1
，故选 A.
10．【答案】D
y = x, y = 4x3 3x f (x)
【解析】在同一坐标系中作出 的图像，如图所示：若 有两个极值
1
a = 0 a >
点，则 或 .故选 D.
2
11．【答案】D
【解析】由题意，5 2,2,1名实习教师的分配方案为 ，先将 5 名实习教师分组，有
C2C25 3 10×3 C
2 2
= =15 5
C3 ×A3 =15×6 = 90
2 种，再将分好组的教师分配给 3个班级，有 2 3 种，其中A2 2 A2
2
a 90× = 60
不去甲班则不同的分配方案有 种.故选 D.
3
12．【答案】B
f (x) f ′(x) f (x)
g(x) = g′(x) = > 0 g(x) (0,+∞)
【解析】令 ，则 ，则 在 上单调递增，则
ex ex
f (1) f (4) f (1) 1
< f (x) f
′(x) 2 f (x)
g(1) g(4) < < h(x) = h′(x) = < 0
，即 ，即 3 ；令 ，则 ，
e e4 f (4) e e
2x e2x
B 2 7卷高二数学参考答案 第 页 （共 页）
f (1) f (4) f (1) 1
h(x) (0,+∞) h(1) > h(4) > >
则 在 上单调递减，则 ，即 ，即 ；
e2 e8 f (4) e
6
1 f (1) 1 f (1) 1 1< < ∈ ,故 6 ，即 .故选 B.e f (4) e3 f (4) e6 e3
二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13．【答案】64
【解析】因为 4科老师布置了作业，在同一时刻每个学生做作业的情况有 4种可能，
所以 3名学生都做作业的可能情况 4×4×4=64种．故答案为 64.
14．【答案】e
( 1 ln xf ′ x) = f ′(x) = 0 x=e x f ′( x) f (x)【解析】由 ．令 ，解得 ．当 变化时， 与 的变化
x2
情况如下表：
x (0,e) e (e,+∞)
f ′( x)
＋ 0 －
f ( 1x)
单调递增 单调递减
e
e
因此，极大值点为 .
15．【答案】50
【解析】设三位数的回文数为 ABA，A有 1到 9，共 9种可能，即 1B1、2B2、3B3…
其中奇数共 5种可能，即 1B1，3B3，5B5，7B7，9B9；B有 0到 9共 10种可能，即 A0A、
A1A、A2A、A3A、…符合题意的有 5×10=50个.
16．【答案】0 < a ≤ e
x > 0 ax > 0 a > 0
【解析】由 ， ，
a ln(ax) ≤ ex ax ln(ax) ≤ xex ax ln(ax) ≤ ex ln ex所以 ，
0 < ax ≤1 ln(ax) ≤ 0
①若 ， ，符合题意；
ax >1 f (x) = x ln x f ′(x) = ln x+1> 0 (1,+∞)
②若 ，令 ，则 在 恒成立，
y = f (x) (1,+∞) x > 0 ex >1 ax ln(ax) ≤ ex ln ex∴ 在 单调递增，又 ， ， ，
f (ax) ≤ f
∴由 (ex )，得ax ≤ ex；
B 3 7卷高二数学参考答案 第 页 （共 页）
ex
ax ≤ ex (0,+∞) x若 在 恒成立，则 ax ≤ e 可化为 a ≤ ，
x
ex exx ex ex (x 1)
g(x) =
令 ， g′(x) = = ，
x x2 x2
y = g (x) (1,+∞)
在(0,1)单调递减， 单调递增，
g(x)min = g(1) = e a ≤ e∴ ，即有 ．
综上：0 < a ≤ e .
三、解答题（本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解析】
2
1 A ×A6 =1440（ ）先排甲、乙，再排其余 6人，共有 2 6 （种）排法.························5分
4
2 A
4 2A
（ ）先排 4名男生有 4种方法，再将 4名女生插空，有 4种方法，
A44 ×2A
4
4 =1152故共有 （种）排法．······························································10分
18．【解析】
1 a1 a2 a3 a
1 x = a + + + + 4 =16（ ）令 ，得 0 ；
2 2 4 8 16
= ax = 0 a 1 1
a a a
+ 2 + 3 + 4 =15
令 ，得 0 ，所以 .··········································6分
2 4 8 16
3 2 3
（2 8× (2x +1) = a + 2a x + 3a x + 4a x）对原式两边求导得： 1 2 3 4
x =1 8×33 = a1 + 2a2 +3a + 4a令 ，得 3 4；
a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 = 216即 ·································································12分
19.【解析】
（1）由题意可知 X的所有可能取值为 1,2,3，则
1 2
P(X =1) C C= 3 2 3= ，
C3 10
5
2 1
P( C CX = 2) = 3 2 6 3= = ，
C3 10 5
5
( ) C
3
1
P X = 3 = 3 = ，
C3 10
5
B 4 7卷高二数学参考答案 第 页 （共 页）
则 X的分布列为
X 1 2 3
3 3 1
P
10 5 10
3 3 1 9
所以 E(X)＝1× ＋2× ＋3× ＝ ，
10 5 10 5
2 2 2
( ) 9 3 9 3 9 1 9D X = 1 × + 2 × + 3 × =
5 10 5 5 5 10 25
，····································6分
（2）设乙答对的题数为 Y，则 Y所有可能的取值为 0,1,2,3，
3
由题意可知 Y～B 3 ，
5
3 9 3 2 18
则 E(Y)＝3× ＝ ，D(Y)＝3× × ＝ .
5 5 5 5 25
因为 E(X)＝E(Y)，D(X)所以甲、乙的数学期望相等；甲的方差小，甲比较稳定，
所以甲同学当选成功的可能性更大．··························································12分
20．【解析】
（1）根据题意可知，
P(1,2) 2 =1+ a 2 =1+ b + c
将 分别代入两曲线方程得到 ， ．
f ′(x) = 3x2 + a g′( x) = 2x+b
两个函数的导函数分别是 ，
f ′(1) = 3+ a g′(1) = 2+b 3+ a = 2+ b
又 ， ，则 ，
a = 1 b = 2 c = 1
解得 ， ， ．······································································6分
g (x) = x22 + 2x 1 y = 3x 2（ ）要使抛物线 上的点M到直线 的距离最短，则抛物线在点M
y = 3x 2 g′(x) = 2x+ 2 = 3
处的切线斜率应该与直线 相同，则 ，
1 1 1
x = M ,
解得 ，又因为点M在抛物线上，解得 ．
2 2 4
y = 3x 2
所以最短距离即 d 的最小值为点M到直线 的距离，
3 1
2
2 4 3 10
代入点到直线的距离公式得 d = = ．
2 2
3 + ( 1) 40
3 10
即最短距离为 ．·············································································12分
40
B 5 7卷高二数学参考答案 第 页 （共 页）
21．【解析】
1 g (x) [0,+∞（ ）若 在 ) ′上的单调递减，则 g (x) = 2te2x + (t +2)ex ≤ 0在 [0,+∞)上恒成立，
2 2 2 2
t ≤ y = 0,+∞ ( )
化简得 ，易知函数 在 [ )上递增，因此x + x + x + min
=
，
2e 1 2e 1 2e 1 3
2
t ≤
故 ·······························································································4分
3
2 f (x) = g(x) 4ex x +1= te2x + (t 2)ex x x∈ R（ ）函数 ， .
t > 0 f ′(x) = 2te2x + (t 2)ex 1= (tex 1)(2ex +1 = 0 x = ln t当 时，由 ) 得， .·············6分
1
f ( ln t) f ( ln t) = 0 ln t +1= 0
是极小值，所以只要 ，即 .································7分
t
1 1 1
F (t) = ln t +1 F ′(t) = + > 0 F (t) (0,+∞)
令 ，则 ， 在 内单增.
t t t2
F (1) = 0 0 < t <1 F (t) < F (1) = 0
因为 ，所以当 时， ；
t >1 F (t) > F (1) = 0 . t当 时， 所以实数 的值是1.··················································9分
t = 0 f (x) = 2ex x
当 时， .
2
f (x) R f (1) = 2e 1< 0 f ( 2) = 2 2e > 0
为 上的减函数，而 ， ，
f (x)
所以 有且只有一个零点.····································································11分
t 0
综上实数 的值是1或 .············································································12分
22．【解析】
a 2x2 + 3x + a
1 f (x)（ ） 的定义域为 (0,+∞), f ′(x) = 2x + 3 = ，·························1分
x x
对于二次方程 2x2 + 3x + a = 0 = 9+8a，有 ．
9
a ≤ f ′(x) ≤ 0 f (x) (0,+∞)
当 时， 恒成立， 在 上单调递减．·······························2分
8
9
> 2 3 9 + 8a 3+ 9 + 8aa
当 时，方程 2x + 3x + a = 0有两根 x ，
8 1
= , x2 =
4 4
a ≥ 0,则x1 ≤ 0, x2 > 0若 ，
3+ 9 + 8a 3+ 9 + 8a
0, f ′(x)＞0 f (x) 0,因为在 上 ，所以 在 上单调递增；因为在
4 4
B 6 7卷高二数学参考答案 第 页 （共 页）
3+ 9 + 8a 3+ 9 + 8a
,+∞ f ′(x) 0 f (x)＜上 ，所以 在 ,+∞ 上单调递减；············4分
4 4
9
< a < 0,则0 < x
若 1 < x2，
8
3 9 +8a 3+ 9 + 8a 3 9 +8a
0, ,+∞ f ′(x) 0 f (x)＜ 0,因为在 与 上 ，所以 在 与
4 4 4
3+ 9 + 8a 3 9+ 8a 3+ 9 + 8a
,+∞ , f ′(x) f (x)＞0上单调递减，因为在 上 ，所以 在
4 4 4
3 9+ 8a 3+ 9 + 8a
, 上单调递增．·······················································5分
4 4
x
x 3 2 e
（2 xf (x) < e x +3x）证明 ，即证 a(ln x + 3) < ，
x
> > e
x
a 0, x 0
因为 ，所以 > 0．····································································6分
x
ex
ln x +3≤ 0
当 时，不等式 a(ln x + 3) < 显然成立．···········································7分
x
1
ln x +3 > 0 a(ln x +3) < (ln x +3)
当 时，因为 ，
4
1 ex
所以只需证 (ln x + 3) ≤ ，
4 x
ln x +3 4ex
即证 ≤ ．···················································································9分
x x2
ln x + 3 ln x 2
g(x) = g′(x) =
令 ，则 ，
x x2
′ 1 ′ 1
1
g (x) > 0 0 < x < g (x) < 0 x > g(x) 0,
由 得 ；由 ，得 ．所以 在 2 上为增函数，在2
e2 e e
1 1 4ex 4ex (x 2)
,+∞ g(x) ≤ g = e
2
h(x) = ′ h(x)上为减函数，所以 ． ，则 h (x) = ，易知 在
e2 e2 x2 x3
(0,2) (2,+∞)
上为减函数，在 上为增函数，
h(x) ≥ h(2) = e2
所以 ，···············································································11分
g(x) < h(x) xf (x) < ex x3 +3x2所以 恒成立，即 ．·······································12分
B 7 7卷高二数学参考答案 第 页 （共 页）