★2023年4月28日
2022-2023学年普通高中高二下学期期中教学质量检测
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在
本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡，并交回。
注意事项：
1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证
号填涂在相应位置。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号：非选择题答
案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区城书写的答案无数。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第I卷
常湖
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的
1如果物体的运动方程为=1+2(>1)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的
瞬时速度是
人2米防
D米
2.(x+之)(x+y)的展开式中2y2的系数为
A.5
B.10
C.15
D.20
3,等差数列{a,}的首项为1，公差不为0若a2、a46成等比数列，则{a,}的前6项的和为
A.-24
B.-3
C.3
D.8
4.已知函数f(x)=x+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则a+b等于
A.0或-7
B.0
C.-7
D.1或-6
5将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名
教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
A.12种
B.10种
C.9种
D.8种
6.若数列{an}的前n项和是S,=n2-4n+2,则1a,1+1a21++1ao等于
A.15
B.35
.66
D.100
高二数学试题第1页（共4页）
20.(本小题满分12分)
学子二高中高普半心0
设数列a.}满足a1=3,01=3an-4n
(1)计算a2,a,猜想an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2”a,}的前n项和Sn
21.(本小题满分12分)
如图所示，三棱柱ABC-A,B,C,的侧棱AA1⊥底面ABC,LACB=90°，E是棱CC,
上的动点，F是AB的中点，AC=1,BC=2,A4,=4.
(1)当E是棱CC,的中点时，求证：CF∥平面AEB,;
(2)在棱CG,上是否存在点E,使得二面角A-5B,-B的余弦值是2，
17？若存
在，求EC的长，若不存在，请说明理由。
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ln(x+1),g(x)=e-1.
(1)判断函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数；
(2)比较ln(e2-ln2),2-f1n2),g(e2-ln2-1)的大小.
高二数学试题第4页（共4页）２０２２－２０２３ 学年普通高中高二下学期期中教学质量检测
数学参考答案
一、选择题
１．Ａ ２．Ｃ ３．Ａ ４．Ｃ ５．Ａ ６．Ｃ ７．Ｂ ８．Ｃ ９．Ｃ １０．Ｂ
１１．Ｂ １２．Ａ
二、填空题
１３．ｃ＋ １ （ｂ－ａ） １４． １０ ＝ ２＋ １５．４ １６．１６２ ５ １０ ３
三、解答题
１７．解：（１）由已知得 Ａ３－１５ ＝（－１５）×（－１６）×（－１７）＝ －４ ０８０． ……………… ４ 分
（２）函数 ｆ（ｘ）＝ Ａ３ ３ ２ｘ ＝ ｘ（ｘ－１）（ｘ－２）＝ ｘ －３ｘ ＋２ｘ，则 ｆ′（ｘ）＝ ３ｘ２－６ｘ＋２．
＋ －
令 ｆ′（ｘ）＞０， ｘ＞３ ３ ｘ＜３ ３得 或 ，
３ ３
所以函数 ｆ（ｘ）的单调增区间为
３－ ３ － ， ３＋ ３
∞， ÷÷ ，＋∞ ÷÷ ；…………………………………………………… ８ 分
è ３ è ３
－ ＋
令 ｆ′（ｘ）＜０， ３ ３得 ＜ｘ＜３ ３ ，
３ ３
３－ ３ ３＋ ３
所以函数 ｆ（ｘ）的单调减区间为 ，３ ３ ÷
÷ ． …………………………… １０ 分
è
１８．解：（１）每件装饰品有三种选择，共有 ３４ ＝ ８１ 种
（２）法一：先选两件有 Ｃ２４ 种方法捆绑，相当于三件装饰品放到三个盒子里有 Ａ３３
种方法，所以共 Ｃ２Ａ３４ ３ ＝ ３６ 种办法．
法二：先选一个盒子装两件 Ｃ２Ｃ１，再装剩余两个盒子，共 Ｃ２Ｃ１ ２４ ３ ４ ３Ａ２ ＝ ３６ 种方法．
法三：先分堆再排列
（３）盒子相同，只需要把 ４ 件装饰品分开就可以了，有 Ｃ２４ ＝ ６ 种方法．
（４）没有空盒：Ｃ２４ ＝ ６；
Ｃ２
空一个盒子：Ｃ３４＋
４ ＝
２ ７；都装进一个盒子里：Ｃ
４
４ ＝ １．Ａ２
共 ６＋７＋１＝ １４ 种方法．
１９．解：（１） ｆ ′（ｘ） ＝ ｘ２－ｘ＋３
ｆ ″（ｘ）＝ ２ｘ－１ 由 ｆ ″（ｘ）＝ ０ 得 ｘ＝ １ ………………………………………… ４ 分
２
且 ｆ（ １ ）＝ １
２
高二数学答案 第１页（ 共３ 页）
∴ ｆ（ｘ） （ １函数 的对称中心为 ，１） …………………………………………… ６ 分
２
（２）易求 ｆ（ｘ）＋ｆ（１－ｘ）＝ ２ …………………………………………………… ８ 分
设 Ｓｎ ＝ ｆ（
１ ）＋ｆ（ ２ ）＋…＋ｆ（２０２２） ①
２０２３ ２０２３ ２０２３
Ｓ ＝ ｆ（２０２２）＋ｆ（２０２１又 ｎ ）＋…＋ｆ（
１ ） ②
２０２３ ２０２３ ２０２３
①＋②得：
２Ｓ ＝ éê １ｎ êｆ（ ）＋ｆ（
２０２２） úù êéú ＋ êｆ（
２ ）＋ｆ（２０２１） úù ＋…＋ êéｆ（２０２２）＋ｆ（ １ ） ùú＝ ４０４４
２０２３ ２０２３ ２０２３ ２０２３ ú ê ２０２３ ２０２３ ú
ｆ（ １ ）＋ｆ（ ２ ）＋…＋ｆ（２０２２）＝ ２０２２ ……………………………………… １２ 分
２０２３ ２０２３ ２０２３
２０．解：（１）由题意可得 ａ２ ＝ ３ａ１－４＝ ９－４＝ ５，ａ３ ＝ ３ａ２－８＝ １５－８＝ ７， ………… ２ 分
由数列｛ａｎ｝的前三项可猜想数列｛ａｎ｝是以 ３ 为首项，２ 为公差的等差数列，即 ａｎ
＝ ２ｎ＋１ ……………………………………………………………………………… ４ 分
证明如下：
当 ｎ＝ １ 时，ａ１ ＝ ３ 成立；
假设 ｎ＝ ｋ 时，ａｋ ＝ ２ｋ＋１ 成立．
那么 ｎ＝ ｋ＋１ 时，ａｋ＋１ ＝ ３ａｋ－４ｋ＝ ３（２ｋ＋１）－４ｋ＝ ２ｋ＋３＝ ２（ｋ＋１）＋１ 也成立．
则对任意的 ｎ∈Ｎ ，都有 ａｎ ＝ ２ｎ＋１ 成立； …………………………………… ６ 分
（２）由（１）可知，ａ ｎ ｎｎ·２ ＝（２ｎ＋１）·２ ………………………………………… ７ 分
Ｓｎ ＝ ３×２＋５×２２＋７×２３＋…＋（２ｎ－１）·２ｎ
－１＋（２ｎ＋１）·２ｎ，①
２Ｓｎ ＝ ３×２２＋５×２３＋７×２４＋…＋（２ｎ－１）·２ｎ＋（２ｎ＋１）·２ｎ
＋１，②
由①②得：－Ｓｎ ＝ ６＋２×（２２＋２３＋…＋２ｎ）－（２ｎ＋１）·２ｎ
＋１ ……………………… ９ 分
２
＝ ＋ ×２ ×（１－２
ｎ－１
６ ２ ）－－ （２ｎ
＋１）·２ｎ＋１ ＝（１－２ｎ）·２ｎ＋１－２，
１ ２
即 Ｓｎ ＝（２ｎ－１）·２ｎ
＋１＋２．……………………………………………………… １２ 分
２１．（１）证明：取 ＡＢ１ 的中点 Ｇ，连接 ＥＧ，ＦＧ．
∵ Ｆ，Ｇ 分别是棱 ＡＢ，ＡＢ１ 的中点，∴ ＦＧ∥ＢＢ ，ＦＧ＝
１
１ ＢＢ１， ………………… ２ 分２
又 ＢＢ１∥ＣＣ１，且 ＢＢ１ ＝ＣＣ１，ＥＣ＝
１ ＣＣ １１，∴ ＢＢ１∥ＥＣ，ＥＣ＝ ＢＢ１ ．２ ２
∴ ＦＧ∥ＥＣ，且 ＦＧ＝ＥＣ．………………………………………………………… ４ 分
∴ 四边形 ＦＧＥＣ 是平行四边形，∴ ＣＦ∥ＥＧ．
∵ ＣＦ 平面 ＡＥＢ１，ＥＧ 平面 ＡＥＢ１，
∴ ＣＦ∥平面 ＡＥＢ１ ． …………………………………………………………… ６ 分
解：（２）以 Ｃ 为坐标原点，射线 ＣＡ，ＣＢ，ＣＣ１ 为 ｘ，ｙ，ｚ 轴正半轴，建立如图所示的
高二数学答案 第２页（ 共３ 页）
空间直角坐标系 Ｃ－ｘｙｚ，则 Ｃ（０，０，０），Ａ（１，０，０），Ｂ１（０，２，４） ．
设 Ｅ（０，０，ｍ）（０≤ｍ≤４），平面 ＡＥＢ１ 的法向量 ｎ１ ＝ （ｘ，ｙ，
ｚ） ．
则ＡＢ１ ＝（－１，２，４）， ＡＥ ＝（－１，０，ｍ） ．
{－ｘ＋２ｙ＋４ｚ＝ ０由ＡＢ１ ⊥ｎ１， ＡＥ ⊥ｎ１，得 － ＋ ，ｘ ｍｚ＝ ０
令 ｚ ＝ ２，则 ｎ１ ＝ （ ２ｍ，ｍ － ４，２） ．连接 ＢＥ，∵ ＣＡ⊥平面
Ｃ１ＣＢＢ１，
∴ ＣＡ 是平面 ＥＢＢ１ 的一个法向量，令 ｎ２ ＝ ＣＡ ＝ （１，０，
０），
∵ 二面角 Ａ－ＥＢ１－Ｂ
２ １７
的余弦值为 ，
１７
∴ ２ １７
ｎ ·ｎ
＝ｃｏｓ〈ｎ１，ｎ２〉 ＝
１ ２ ＝ ２ｍ ，解得 ｍ＝ １（０≤ｍ≤４） ．
１７ ｜ ｎ１ ｜ ｜ ｎ２ ｜ ４ｍ２＋（ｍ－４） ２＋４
∴ 在棱 ＣＣ１ 上存在点 Ｅ，符合题意，此时 ＥＣ＝ １． …………………………… １２ 分
２２．解：（１）令 ｐ（ｘ）＝ ｅｘ－１－ｘ 则 ｐ′（ｘ）＝ ｅｘ－１
当 ｘ∈（－∞，０）时，ｐ′（ｘ）＜０
当 ｘ∈（０，＋∞ ）时，ｐ′（ｘ）＞０
∴ ｐ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｐ（ｘ）＝ ０ 即 ｐ（ｘ）＝ ｅｘ－１－ｘ≥０
即 ｅｘ－１≥ｘ（ｘ＝ ０ 时取等）……………………………………………………… ２ 分
ｅｘ≥ｘ＋１
两边同时取对数得，ｌｎ（ｘ＋１）≤ｘ
∴ ｌｎ（ｘ＋１）≤ｘ≤ｅｘ－１（ｘ＝ ０ 时取等）
∴ ｈ（ｘ）≤０ 恒成立（ｘ＝ ０ 时取等） 综上，ｈ（ｘ）有且只有一个零点 ０．……… ６ 分
（２）∵ ｅ２－ｌｎ２－１＞０
由（１）知，ｌｎ（ｅ２－ｌｎ２）＝ ｆ（ｅ２－ｌｎ２－１）＜ｇ（ｅ２－ｌｎ２－１） ………………………… ８ 分
２ ２ ２
－ － －２ ｆ（ｌｎ２）＝ ｌｎ ｅ ＝ ｆ（ ｅ －１）＝ ｆ（ｅ ｌｎ２ １））
ｌｎ２＋１ ｌｎ２＋１） ｌｎ２＋１
∵ ０＜ｅ
２－ｌｎ２－１＜ｅ２－ｌｎ２－１ 且 ｆ（ｘ）在（－１，＋＋ ∞ ）单调递增ｌｎ２ １
∴ ｆ（ｅ
２－ｌｎ２－１）＜ｆ（ｅ２－ｌｎ２－１）＝＋ ｌｎ（ｅ
２－ｌｎ２）即 ｌｎ（ｅ２－ｌｎ２）＞２－ｆ（ｌｎ２）
ｌｎ２ １
综上，２－ｆ（ｌｎ２）＜ｌｎ（ｅ２－ｌｎ２）＜ｇ（ｅ２－ｌｎ２－１） ………………………………… １２ 分
高二数学答案 第３页（ 共３ 页）
