青铜峡市宁朔县中 2022-2023 学年第二学期中考试卷 是（ ）
高二文科数学 考试时间：120 分钟 A． f 1 f 2 f 0 B． f 2 f 3 f 4
C． f 2 1 f 0 f D． f 5 f 3 f 1 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5分，共 60 分） 2
1．（1–i）4=（ ） 11．设复数 z满足 z i =1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．–4 B．4
A． (x+1)2 y2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 (y 1)2 1 D． x2 (y+1)2 1
C．–4i D．4i
22
U {1,2,3,4,5} M {1,3} 12．已知函数
f (x)的定义域为 R，且 f (x y) f (x y) f (x) f ( y), f (1) 1，则
2 f (k) （ ）．设全集 ，集合 M满足 U ，则（ ） k 1
A． 3 B． 2 C．0 D．1
A． 2 M B．3 M C．4 M D．5 M
1 1 二、填空题（共 4 题每小题 5 分）
3．在区间 0, 随机取 1个数，则取到的数小于 的概率为（ ） 2 3 i202113． ___________.
3 1 1 2
A B C D 1 i． ． ． ．
4 6 3 3 5
14．设 f(x)是周期为 2的奇函数，当 0≤x≤1时，f(x)＝2x，则 f ＝________.
4．“ ”是“ sin sin ”的（ ） 2
2
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 15．函数 f x x 4x 12 的单调减区间为__________.
5．已知点 M的极坐标是 2, ，则与点 M关于直线 对称的点的极坐标是（ ） 16．函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为[ 1,0) (0,1]，则不等式 f (x) f ( x) 1的解集为
6 2
________．
A． 2,
5
6
B． 2,
6
C． 2,
5
D．6
2,
6
6．已知集合 A 1,1,2,4 ,B x x 1 1 ，则 A B （ ）
A．{ 1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{ 1,4}
2x2 1, x 1, 三、解答题（17 题 10 分，其它每题 12 分）
7．已知函数 f x 3 ，则 f f 3 （ ）
, x 1. 17．已知 y f (x)是定义在R 上的奇函数，当 x 0时， f (x) x
2 2x．
x
3
A． B．3 C．1 D．19 (1)求 x 0时，函数 f (x)的解析式；
19
1 1 (2)若函数 f (x)在区间[ 1,a 2]上单调递增，求实数 a的取值范围．
8．已知 f (x) | lg x |，若 a f ,b f ,c f (2) ，则（ ）
4 3 x 1 1 t
A．a b c B．b
D． c b a 218．已知直线 l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极
c 3 y 2
3
t
9．已知函数 f (x) ax bx 3，若 f (t) 4，则 f ( t) （ ） 2
x
坐标系，曲线 C的极坐标方程为 4，曲线 C与直线 l交于 A、B两点.
A． 4 B． 2 C．2 D． 0
(1)求直线 l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；
10．已知函数 f x 是定义在R上的偶函数，在 , 0 上有单调性，且 f 1 f 2 ，则下列不等式成立的
(2)设 P 1,2 ，求 | PA PB |的值.
高二数学（文科） 第 1页（共 2页）
19．某商场为提高服务质量，随机调查了 50名男顾客和 50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或 21．下图是我国 2008年至 2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y与 t的关系，请用相关系数加以说明；
K2 n(ad bc)
2
（Ⅱ）建立 y关于 t的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量.附： ．
(a b)(c d)(a c)(b d)
附注：
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 7 7参考数据： yi 9.32， ti yi 40.17，
i 1 i 1
k 3.841 6.635 10.828 7
(yi y)2 0.55， 7 ≈2.646.
i 1
n
(ti t )(yi y)
i 1
参考公式：相关系数 r ，n n
(ti t )2 (yi y)2
i 1 i 1
x=2cos x=1+tcos
20．在直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为 （ n为参数），直线 l的参数方程为y=4sin （
t
y=2+tsin (ti t )(yi y)
回归方程 y a b t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b i 1 ，a n =y b t .
为参数）. (ti t )2
i 1
（1）求C和 l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线 l所得线段的中点坐标为 1,2 ，求 l的斜率．
22．已知函数 f(x)的定义域为(－2,2)，函数 g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数 g(x)的定义域；
(2)若 f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式 g(x)≤0的解集．
高二数学（文科） 第 2页（共 2页）高二文科数学答案
一、选择题
（1-5）AADBD （6-10）BBDCB （11-12）CA
二、填空题
1 1
13． i
2 2
14．－1
15． ( , 6]
16． 1,0 1 ,1
2
三、解答题
17．(1) f (x) x2 2x；
(2) (1,3] .
【分析】（1）设 x 0，计算 f ( x)，再根据奇函数的性质，得 f (x) f ( x)，即可得解；
（2）作函数 f (x)的图像，若 f (x)在区间[ 1,a 2]上单调递增，结合函数图像，列出关于 a 2
的不等式组求解.
【详解】（1）设 x 0，则 x 0，所以 f ( x) ( x)2 2( x) x2 2x
又 f (x)为奇函数，所以 f (x) f ( x)，
所以当 x 0时， f (x) x2 2x .
（2）作函数 f (x)的图像如图所示，
a 2 1
要使 f (x)在 [ 1,a 2]上单调递增，结合 f (x)的图象知 ，所以1 a 3，
a 2 1
所以 a的取值范围是 (1,3] .
18．(1) 3x y 2 3 0， x2 y2 16
(2)11
【分析】（1）由加减消元或者代入消元消去参数 t化简即可求得直线的普通方程；将曲线 C
的极坐标方程 4两边同时平方，再由 2 x2 y2 代入化简即可求得曲线 C的直角坐标方
程.
（2）将直线的参数方程代入曲线 C的直角坐标方程，化为关于 t的一元二次方程，再由韦
达定理求得 t1t2 ，再由 | PA PB | t1t2求得 | PA PB |的值.
x 1 1 t 2
【详解】（1）将直线 l的参数方程 （t为参数），
y 2
3
t
2
消去参数 t，化为普通方程为 3x y 2 3 0，
将曲线 C的极坐标方程 4，两边同时平方，化为直角坐标方程为 x2 y2 16
（2）点 P在直线 l上，
x 1
1
t
2
将直线 l： （t为参数）代入曲线 C的直角坐标方程中，
y 2
3
t
2
2
得到 t 1 2 3 t 11 0 ，由韦达定理得 t1t2 11（ t1和 t2 为 A、B对应的参数），
故 | PA | | PB | | t1t2 | 11
4 3
19．（1） , ；
5 5
（2）能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【分析】（1）从题中所给的 2 2列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，
分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；
（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服
务的评价有差异.
【详解】（1）由题中表格可知，50 名男顾客对商场服务满意的有 40 人，
40 4
所以男顾客对商场服务满意率估计为 P1 ,50 5
50 名女顾客对商场满意的有 30 人，
30 3
所以女顾客对商场服务满意率估计为 P2 ,50 5
2 100(40 20 30 10)
2 100
（ ）由列联表可知K 2 4.762 3.841，
70 30 50 50 21
所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利
用列联表计算K2的值，独立性检验，属于简单题目.
2 2
20 x y．（1） 1，当cos 0时，l的直角坐标方程为 y tan x 2 tan ，当cos 0
4 16
时， l的直角坐标方程为 x=1；（2） 2
【分析】（1）根据同角三角函数关系将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元
法将直线 l的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 cos 0 与cos 0两种情况；
（2）将直线 l参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据参数几何意义得 sin , cos 之间关
系，求得 tan ，即得 l的斜率．
2 2
【详解】（1 C x y）曲线 的直角坐标方程为 1．
4 16
y 2 sin
当 cos 0时， ，即 l的直角坐标方程为 y tan x 2 tan ；
x 1 cos
当 cos 0时， l的直角坐标方程为 x=1．
（2）［方法一］：直线参数方程的应用
将 l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于 t的方程
1 3cos 2 t2 4 2cos sin t 8 0 ．①
因为曲线C截直线 l所得线段的中点 1,2 在C内，所以①有两个解，设为 t1，t2 ，则 t1 t2 0．
4 2cos sin
又由①得 t1 t2 ，故 2cos sin 0，于是直线 l的斜率 k tan 2．1 3cos2
［方法二］：【最优解】点差法的应用
设直线 l（斜率为 k）与曲线 C相交于 A(x1, y1),B(x2 , y2)．因为点 (1,2)是线段 AB的中点，
2 2
所以直线 l的斜率 k存在且不为零．则 x1 x2 2, y1 y2 4
x
，由题意得 1
y
1 1①，
4 16
x22 y
2
2 1②，
4 16
x1 x2 x1 x2 y1 y2 y y 1 1两式相减得 1 2 0，即 2k 0，解得 k 2．
4 16 4 16
［方法三］：【通性通法】常规联立＋韦达定理
设直线 l与曲线 C的交点为 A x1, y1 ，B x2 , y2 ．因为点 (1,2)是线段 AB的中点，所以直线
y 2=k(x 1),
l的斜率 k存在且不为零．由 x2 y2 消去 y整理得
+ =1, 4 16
4 k 2 x2 2k(2 k)x (2 k)2 16 0 ．因为 (1,2)为椭圆内部的点，只需
x x 2k(k 2)1 2 2 2，得 k 2．所以直线 l的斜率为 2．4 k
［方法四］：伸缩变换
x =x
x=x x2 y2
设变换 1 得 代入椭圆方程 1，得圆 x 2 y 2 4．而点M (1,2)变换成
y = y y=2y 4 16 2
点M (1,1)，以M 为中点的圆的弦所在直线的斜率 k 1，根据变换公式，得直线 l的斜率
k y 2 2y
2
2．
x 1 x 1
【整体点评】（2）方法一：根据直线参数方程中 t的几何意义，可快速找到 sin , cos 的关
系，从而求出斜率；
方法二：中点问题考虑点差法，简单适用，是该题的最优解；
方法三：利用直线和椭圆方程联立，根据韦达定理求出斜率，是直线与椭圆位置关系问题的
通性通法；
方法四：利用伸缩变换，将直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系，再根据圆的
几何性质求解，最后回代即可解出．
21．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据相关系数 r的公式求出相关数据后，代入公式即可求得 r的
值，最后根据 r值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立 y 关于 t
的回归方程，然后预测．
试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
7 7
t 4， (ti t )2 28， (yi y)2 0.55，
i 1 i 1
，
.
因为 与 的相关系数近似为 0.99，说明 与 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模
型拟合 与 的关系.
7
(t t )(y y)
9.32 i i 2.89
（Ⅱ）由 y 1.331及（Ⅰ）得b i 1 7 0.103，7 (ti t )2 28
i 1
a y b t 1.331 0.103 4 0.92 .
所以， 关于 的回归方程为： .
将 2016 年对应的 代入回归方程得： .
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨.
【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．
【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图
直观判断；（2）将相关数据代入相关系数 r公式求出 r，然后根据 r的大小进行判断．求线
性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性．
1
22．（1） (
1 , 5)；（2） x x 2 ．2 2 2
【详解】（1）∵数 f（x）的定义域为（﹣2，2），函数 g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．
∴ ，∴ ＜x＜ ，
函数 g（x）的定义域（ ， ）．
（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式 g（x）≤0，
∴f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），
∴ ，∴ ＜x≤2，
故不等式 g（x）≤0 的解集是 （ ，2]．