姓名
3,8
准考证号
AA,(在此卷上答题无效)
,9v
绝密★启用前
二学期高二年级期中考试
8:取f(1
2022~2023学年第
理科数学
前即商门前平已红发方光(S
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
答进拼题时、话出每小题答案后用经笔把答能卡对应题目的答案标号涂照，如需攻
1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。用日答罪篷样时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
(8[).I
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
案日，0，S)年点激
用(0
1.已知复数之满足之(1十)=2，则z的虚部为
迁)圆解求()
A.i
B.i
C.-1
D.1
2已知集合A(2x2之0，B-),eA,则A门B=两附人贤C
A.(0,2)
B.[0,2)
前C.(1,4)09直：阳D.1,4)早9.年周
3.已知函数f(x)=2lnx十ax2-3x在x=2处取得极小值，则a的值为
A.-2
c
D.2
4,将函数y-s2x(x∈R)的图象上所有的点向左平移否个单位长度，再把所得图象上所有点的横
坐标缩短到原来的，倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
A.y=sim(z+吾)，x∈R
B.y-snx+S),x∈R
S1).SS
C.y=sim(4z+吾)a∈R
D.y-sim(4x+爱)fR
一()入凌函联与
5.函数y-lnz-号r2的图像大致为
家很(I一)八I一)点杏()八一猫来[一9当()
↑y
点同不个两武（下）
6.甲.乙、丙、丁4名学生参加数学克赛，在皮绩公布前人作出如下预测：甲说：乙第一；乙说：丁
第丙说：我不是第一丁说：乙第公布的成绩表明，4名学生的成绩互不相同，并且有且只
有1名学生预测错误，则预测错误的学生是
B.乙
C.丙
A.甲
D.丁
【高二理科数学试题·第1页（共4页）】
凌柱ABCA.B.C中，AB=BC=CC,ABBC,E为BC的中点，F为B,C的中店
面直线AF与C,E所成角的正弦值为
代01)，下
A号
B号
C.25
收地R古收D号
食内0O86△
8.抛物线y=x2一x与x轴围成的图形的面积为
:A火(ID
A吉
B
月面的O月A△
D.1
6,8v=。(8)
C.3
9.执行如图所示程序框图，输出的S的值是吕则判断框的条件可以是
开始
S=0,k=1
A.k≥9？
B.k>10
C.k>11
D.k>12
否
10.已知抛物线y=20x的焦点与双曲线号洁-1(a>0,6>0》的一个焦点
1
S=S+k(k+2)
重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为》，则该双曲线的浙近线
k=k+2
方程为
￡=2，=四且，.2比麻部，1
A.y=±3
By=±4
:发公凝的
输出S
2
结束
c.y=±
D.y=+5
11,将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同二条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使
用，那么不同的染色种数是
D.480
A.300
B.360
C.420
12.设a=lnv,6g,=则
D.cA.aB.bC.c(s1.el
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
个团，中始岗个三
○，，今4无半3y5≥0卧牌展，并工春期宏0为并某去学同含四T,丙，5，甲
人一资心至园岗
13.设x,y满足约束条件x≤2
,则之=一x十y的最小值为
y≤3
:老式据过城这言共张(）
14.已知向量a与b的夹角为30，a=1,b=√3，则1a-2b斤岗同直：灯5甲来(S
15.函数f(x)=f(5)sinx-cosx的最大值为
16.如图，正方形纸片ABCD的边长为5cm,在纸片上作正方形EFGH,剪去
阴影部分，再分别沿EFGH的四边将剩余部分折起.若A,B,C,D四点恰
好能重合于点P,得到正四棱锥-EFGH,则P-EFGH体积的最大值为
cm.
【高工理科数学试题·第2页（共4页）】理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B C D D A B A B A C A
1.D 2 2（1－i） － －解析：由 z(1＋i)＝2得 z＝ ＝ ＝1－i，∴ z ＝1＋i，∴ z 的虚部为 1.
1＋i 12－i2
2.B 解析：∵A＝{x|－12
3.C 解析： f x 2 2ax 3， x 0，由已知得 f 2 1 4a 3 0 a 1，解得 ，此时 f x x 3
x 2 x
x2 3x 2 x 1 x 2
，x 0，令 f (x) > 0得0 x 1或 x 2，令 f x 0得1 x 2，故 f x 在 1,2 单调x x
递减，在 2, 单调递增，故 f x 在 x 2处取得极小值，符合题意.
4.D 解析：将函数 y＝sin2x(x∈R) π的图象上所有的点向左平移 个单位长度，所得图象表示的函数是 y＝sin[2(x
6
π
＋ )]＝sin(2x π＋ )(x∈R)，再把 y＝sin(2x π＋ )(x∈R) 1图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到
6 3 3 2
π
的图象所表示的函数是 y＝sin(4x＋ )(x∈R)．
3
2
5.D y ln|x| 1解析：∵ ＝ － x2 1 1－x 1是偶函数，∴图像关于 y轴对称．又 x>0时，f′(x)＝ －x＝ ，∴f(x)≤f(1)＝－ <0，
2 x x 2
故选 D.
6.A 解析：若甲预测错误，则其余三人预测正确，即丁第一，乙第二，丙第三或第四，甲第四或第三，符合题
意；若乙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；若丙预
测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；若丁预测错误，则
其余三人预测正确，则甲和乙的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意.
7.B 解析：如图，在直棱柱 ABC A1B1C1中，连接 BF，则C1F / /BE,C1F BE，∴四
边形 BEC1F 为平行四边形，∴ BF / /C1E，∴ AFB即是异面直线 AF与C1E所成角或
其补角，由已知易得 AB 平面 BCC1B1，∴ AB BF，令 AB 2，则 BF 5, AF 3，
∴ sin AFB
AB 2
.
AF 3
8.A 解析：∵ y = x2 - x与 x轴围成的图形在 x轴下方，∴取该函数关于 x轴对称的函数 y = x - x 2 在[0,1]上的积
1
S (x x2 )dx 1 x2 1 x3 |1 1 1 1分 0 .0 2 3 2 3 6
9.B 解析：S 0，k 1；S 1
1 1
，k 3；S ，k 5，…，S
1 1 1 1
，k 9；
1 3 1 3 3 5 1 3 3 5 5 7 7 9
S 1 1 1 1
1 1 1 1 1 5
， k 11；结束循环，结合选项只有 B符合题意.1 3 9 11 2 3 3 5 9 11 11
1
10.A 2b
2 9 9a
解析：由已知可得 ＝ ，∴b2＝ ＝52－a2 3，解得 a＝4，b＝3，∴双曲线的渐近线方程为 y＝± x.
a 2 4 4
11.C 解析：如图，四棱锥P ABCD种，最少需要 3种颜色，即 AC， BD，
P 3各一种颜色，此时有A5种方法；当用 4种颜色时，在 AC， BD中选一组
1 4 5
使其颜色相同，此时有C2A5种方法；当用 5种颜色时，有A5种方法，所
3
以共有A5 C
1 4 5
2A5 A5 420种染色方法.
ln x 1
12.A x ln x解析：设 f x x 0 ，则 1 ln x ，当 x 0,e 时， f ' x 0，则 f x 为增函数；
x f x x x2 x2
1 1 2 1
当 x e, 时， f ' x 0，则 f x 为减函数．∴ f x f e ， a ln 2 ln 2 ln 2 ln 4 f 4 ，e 2 4 4
∵b
ln3
f 3 ， c 1 f e ，e 3 4，且 f x 在 e, 单调递减，∴ f 4 f 3 f e ，∴ a b c．
3 e
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） [
13. 3 14. 7 15. 2 16. 4 10
3
13. 3 解析：作出可行域可得当直线 z x y过点C 2, 1 时， z取最小值 3 .
14. 7 解析：|a－2b|＝ （a－2b）2＝ a2－4a·b＋4b2＝ 12－4×1× 3×cos30°＋4×（ 3）2＝ 7.
π
15.2 解析：f′(x)＝f′(π)cosx＋sinx π，f′( )＝f′(π)cosπ sinπ＋ ，∴f′(π)＝ 3，f(x)＝ 3sinx－cosx＝2sin(x )，
3 3 3 3 3 3 6
∴f(x)的最大值为 2.
16.4 10 解析：设正方形 ABCD的中心为点 O，则点 O也是正方
3
形 EFGH的中心，连接 AC分别交 EH，FG于点 M，N，易知 M，
N分别为 EH，FG的中点，设正方形 EFGH的边长为 2x，则 AO＝
5 2 OM x AM 5 2 x 5 2， ＝ ， ＝ － ， －x>x，∴02 2 2 4
P EFGH中，PO EFGH PO PM2 OM2 25⊥平面 ， ＝ － ＝ －5 2x，
2
1
∴VP－EFGH＝ PO·S
1 25
EFGH＝ × －5 2x·4x2
4 25
正方形 ＝ x4－5 2x5.
25 5 2
令 f(x)＝ x4－5 2x5，03 3 2 3 2 2 4
25x3(2－ 2x)，∴f(x)在(0， 2)递增，在( 2 5 2) 4 10， 递减，∴f(x)max＝f( 2)＝10，∴P EFGH体积的最大值为 cm3.
4 3
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17.解析：（1）由 a cosC c cos A b tan A结合正弦定理可得 sin AcosC cos AsinC sin B tan A，整理得
sin(A C) sin B sin B tan A，
∵ sin B 0，∴ tan A 1，
∵ A (0, π) A
π
，∴ .（5分）
4
2
（2）∵ a2 b2 c2 2bc cosA 2，∴5 2 c2 2 2c ，即 c2 2c 3 0，解得 c 3，
2
1 π 3
∴ ABC的面积为 3 2 sin .（10分）
2 4 2
a a q23 1 918. 3解析：（1）由已知可得 ，解得 q 3或 （舍）， a 1,∴a 3n 1 .（5分）
S3 a1 a2 a3 a1(1 q) 9 13 4
1 n
2 2n 1 2n 1（ ）由（1）可得a2n 3 ，则bn log3a2 n log33 2n 1，
1 2n 1 n
故Tn 1 3 5 2n 1 n
2．（12分）
2
19.解析：（1）由题意一个岗位安排了 2 2 3名志愿者，另外两个岗位各安排了 1名志愿者，所以共有C4 A3 36种
安排方法 （6分）
C12 A
2 1
（ ）甲乙被安排在同一岗位的概率 P 3 2 . (12分)
36 6
20．解析：(1)如图，过点 F作 AD的垂线，垂足为 M，连接 MB，MC.
由已知可得 AM＝MF＝1，MD＝2，BM＝ 2，CM＝ 5，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，FM 平面ADEF，
FM⊥AD，∴FM⊥平面 ABCD，
∵MB，MC 平面 ABCD，∴FM⊥MB，FM⊥MC.
∴BF＝ 3，CF＝ 6，∴BF2＋CF2＝BC2，∴BF⊥CF.（5分）（或建系证明）
(2)建立如图所示空间直角坐标系 Axyz，则 C(1，3，0)，E(0，2，1)，F(0，1，1)．
∴A→F＝(0，1，1) →，CE＝(－1，－1，1) →，EF＝(0，－1，0)．
n·E→F＝－y＝0
设平面 CEF的法向量为 n＝(x，y，z)，则
n·C→
.令 x＝1得 n＝(1，0，1)．
E＝－x－y＋z＝0
|A→F·n|
设直线 AF与平面 CEF所成角为θ，则 sinθ＝|cos → 1 1〈AF，n〉|＝ ＝ ＝ .
|A→F||n| 2× 2 2
π
∵θ∈[0， ] θ π，∴ ＝ ，即直线 AF π与平面 CEF所成角的大小为 .(12分)
2 6 6
21. c 6解析：（1）由已知得 c 2，由离心率 e 得a 6，∴b a2 c2 2，
a 3
2 2
∴椭圆 C x y的方程为 1 .（4分）
6 2
（2）由题可知直线 PQ斜率存在，设直线 PQ的方程为 y kx m，
x2 y2
设点 P x 1 2 2 21, y1 ，Q x2 , y2 ，联立 6 2 得 3k 1 x 6kmx 3m 6 0，
y kx m
3
Δ 6km
2
满足 0时，有 x1 x2 2 ， x1x
3m 6
2 ，3k 1 3k 2 1
y1 1 y2 1 0 kx1 m 1 kxAM BM k k 0 2
m 1
由 可得 MP MQ ，即 0x1 3 x2 3
，即 x 3 x 3 ，1 2
化简得 2kx1x2 m 1 3k x1 x2 2 3 m 1 0 ，
2
代入韦达定理可得3 3k 3k m 2 3 m 1 0 ，
∵点M 3, 1 不在直线 PQ上，∴ 3k m 1 0 ，∴3k 3 0 k 3，即 ，
3
3
∴直线 PQ的斜率为定值 .（12分）
3
(x 1) 1 1 x
22.解析：（1）当 a 1时， f (x) 2x x ， f ( 1) ， f (x) x x ， f ( 1) e 1，e 2 2 e
曲线 y f (x)在点 ( 1， f ( 1))
1 1
处的切线方程为 y (e 1)(x 1)，即 y (e 1)x e .（3分）
2 2
x
2 a 0 f (x) x(e a)（ ）显然 ，
ex
，
当 a 0时，由 f (x) 0得 x 0或 x lna，
若 a 1，则 f (x) 0, f (x) 在 R上单调递增，故 f (x)最多只有一个零点，不符合题意；
若 0 a 1，则 x lna时，f (x) 0，f (x)为增函数；lna x 0时，f (x) 0，f (x)为减函数；x 0时，f (x) 0，
f (x)为增函数，∴ f (x)极小 f 0 a 0，故 f (x)最多只有一个零点，不符合题意；
若 a 1，则 x 0时， f (x) 0， f (x)为增函数；0 x lna时， f (x) 0， f (x)为减函数；x lna时， f (x) 0，
f (x) 1 2为增函数，∴ f (x) f (x)极小 f lna (lna) lna 1 0，故 最多只有一个零点，不符合题意；2
若 a 0，则当 x 0时， f (x) 0， f (x)为减函数，x 0时， f (x) 0， f (x)为增函数，∴ f (x)min f (0) a 0．
a(x 1)
当 x 0时， x a(x 1), f (x) a(x 1)
1
x2 ,
e 2
x a2 2a a 0时,a(x 1) 1 x2=0， f ( a2 2a a) 0 ，
2
1
∵ f ( 1) 0， f (x)在 ( 1,0)和
2 (0, a
2 2a a)分别有 1 个零点，
当 a 0时， f (x)始终有两个零点 x1， x2 .（8分）
x x
不妨设 x1 0， x2 0， F (x) f (x) f ( x)，则 F (x) f (x) f ( x) x(
e a
x ) x(
e a x x
e e x
) ax(e e )，
当 x 0时， ex e x 0，由 a 0得 F (x) ax( ex e x ) 0恒成立， F (x)在 (0, )上是减函数，
∴ x 0时， F (x) F (0) f (0) f (0) 0 ，即 f (x) f ( x)，∴ f (x2 ) f ( x2 )．
由 F (x)为奇函数可得 F (x)在 R 上是减函数，
∵ x1， x2 是 f (x)的两个零点，∴ f (x1) f (x2 )， f (x1) f ( x2 )，∴ x1 x2 ，∴ x1 x2 0．（12分）
4