姓名
准考证号
(在此卷上答题无效)
绝密★启用前
2022~2023学年第二学期高
二年级期中考试
直切须对量调
文科数学
野代的
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1,答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
函)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
(8
1.已知集合A={xx3≤1}，B={xx十2>0}，则A∩B=
A.(-2,1]
B.[-2,1]
C.(0,1]
D.[0,1]
2.已知复数z满足z(1十i)=2,则z的虚部为
A.-i
B.i
C.-1
D.1
3,“m=0”是“直线3xT4y+mT0与圆(x一2)2+(y十1)2=4相切”的
A,充分不必要条件
新。L共：实登数（红
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.将函数y=s2x(x∈R)的图象上所有的点向左平移名个单位长度，再把所得图象上所有点的横
坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
Ay=sin(x+S),x∈R
的大景的M
B.y-sin(R
用州紧疗省
C.y=sin(4x+否)，z∈R
D.y-sin(x.R
5.函数x)=xn十兰的图象大致为
6.甲、乙、丙、丁4名学生参加数学竞赛，在成绩公布前，4人作出如下预测：甲说：乙第一；乙说：丁
第一：丙说：我不是第一丁说：乙第二·公布的成绩表明，4名学生的成绩互不相同，并且有且只
有1名学生预测错误，则预测错误的学生是
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【高二文科数学试题·第1页（共4页）】
7在直棱柱ABCA.B,C中，AB=BC=CC,ABBC,E为BC的中点，F为B,C的中点，则异
面直线AF与CE所成角的正弦值为家限家氏，果卖厚
A号
B号
D.
50共：思手一)
8设P,P2分别是双曲线C1(Q>0,b>0)的左，右焦点，P为双曲线C的右支上一点
∠FPF=2,PF=2a,则双曲线C的离心率为
:人来（「
面的门人△无，四
,(
A√2
B.√3
C.2
D.√5
9.执行如图所示程序框图，输出的S的值是品，则判断框的条件可以是
开始
A.k≥9？
S=0,k=1
B.k>10
阳设界T积须，心肾随没好阶落，期1《8数城条资》漂中休，面调
是
C.>11
育前合平及，“平等”平硬“骨果得)6谢得馅漫效货
否
年1
D.k>12
(人：0即)不和券丁拟器梦性期，冷新数人00
S=S+(k+2)
10.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙
k=k+2
子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指
出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西
输出S
方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题；
现有这样一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被5除余1且被7知
结束
除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列a,则此数列的项数为0堪从
A.56,五长入B.57的中
C.58氏T衣，脸阳米D.69晶出骤时台平
11.若点P是曲线y=1nx一x2上任意一点，则点P到直线：x+y只4=0距离的最小值为出
A号
d-5)ss
B.√2
C.2(+(D.22
12.已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为4√3的等边三角形，若三
棱锥PABC体积的最大值是32√3，则球O的表面积是
A.100元
B.160元
C.200元
D.320π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
4x+3y-5≥0
13.设x,y满足约束条件
x≤2
,则之=一x十y的最小值为
9A.点中G0y≤3
中A斜数1谢0
14.已知向量a与b的夹角为30°，a=1,b=√3，则1a一2b=
15.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2a,+1,则a6
16.已知点M0,4),点P在抛物线x=8y上运动，点Q在圆z+(y-2)2=1上运动，则P
PQ的
最小值为
【高二文科数学试题·第2页（共4页）】文科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D A D A A B D B C D A
1.A 3解析： A x∣x 1 x∣x 1 ,B {x∣x 2 0} {x∣x 2}， A B {x∣ 2 x 1} .
2.D 2 2（1－i） － －解析：由 z(1＋i)＝2 得 z＝ ＝ ＝1－i，∴ z ＝1＋i，∴ z 的虚部为 1.
1＋i 12－i2
3.A 解析：当m 0时，直线3x 4y m 0为3x 4y 0，则 (x 2)2 (y 1)2 4的圆心 (2, 1) 到直线的距离为
d | 3 2+4| =2 3x 4y m 0 (x 2)2 (y 1)2 4 | 3 2+4+m| ，故此时直线和圆相切；当直线 与圆 相切时，则 =2 ，
5 5
解得m 0或m 20，推不出一定是m 0，故m 0是直线3x 4y m 0与圆 (x 2)2 (y 1)2 4相切的充分
不必要条件.
4.D 解析：将函数 y＝sin2x(x∈R) π的图象上所有的点向左平移 个单位长度，所得图象表示的函数是 y＝sin[2(x
6
π π π 1
＋ )]＝sin(2x＋ )(x∈R)，再把 y＝sin(2x＋ )(x∈R)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到
6 3 3 2
的图象所表示的函数是 y＝sin(4x π＋ )(x∈R)．
3
5.A f(x) xln(1＋x) 1＋x解析： ＝ ，∴ >0，即－11－x 1－x
x ( 1 1) f( x) xln(1－x) xln(1＋x∈ － ， ， － ＝－ ＝ )＝f(x)，∴y＝f(x)是偶函数．又 f(1) 1＝ ln3>0，故选 A.
1＋x 1－x 2 2
6.A 解析：若甲预测错误，则其余三人预测正确，即丁第一，乙第二，丙第三或第四，甲第四或第三，符合题
意；若乙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；若丙预
测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；若丁预测错误，则
其余三人预测正确，则甲和乙的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意.
7.B 解析：如图，在直棱柱 ABC A1B1C1 中，连接 BF，则C1F / /BE,C1F BE，∴四
边形 BEC1F 为平行四边形，∴ BF / /C1E，∴ AFB即是异面直线 AF与C1E所成角或
其补角，由已知易得 AB 平面 BCC1B1，∴ AB BF，令 AB 2 ，则 BF 5, AF 3，
sin AFB AB 2∴ .
AF 3
π
8.D 解析：由已知及双曲线的定义可得 PF1 PF2 2a , F F 2c PF 4a1 2 ，∴ 1 .∵ F1PF2 ，∴2
c
(2a)2 (4a)2 (2c)2 ，即2 5a 2c，∴离心率e 5 .a
1
1 1 1
9.B 解析：假设先执行若干次循环： S 0， k 1； S ， k 3； S ， k 5 ，…，
1 3 1 3 3 5
S 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 5
k 9 S 1 ， ； ， k 11；结束循环，
1 3 3 5 5 7 7 9 1 3 9 11 2 3 3 5 9 11 11
结合选项只有 B 符合题意.
10.C 解析：∵能被 5 除余 1 且被 7 除余 1，即能被 35 除余 1 的数，∴ a1 1，a2 36，a3 71L，即 an 是以
1 为首项，35 为公差的等差数列，∴ an 35n 34 ，由题意得1 35n 34 2023，解得1 n 58， n N* ，∴此
数列的项数为 58 项.
11.D 解析：过点 P作曲线 y ln x x2 的切线，当切线与直线 l : x y 4 0 平行时，点 P到直线 l : x y 4 0 距
1 1
离最小.设切点为 P(x0 , y0)(x0 0) y
1
， 2x，∴切线斜率为 k 2x0 ，由题知 2x0 1x x ，解得
x0 1或x 0 0
1 |1 1 4 | x0 （舍），∴ P(1, 1) ，此时点 P到直线 l : x y 4 0 距离 d 2 2 .2 2
12.A 4 3解析：设 ABC外接圆的半径为 r，则 r 4，设球O的半径为 R，当三棱锥 P ABC的高最大时，
2sin60
1 3 2
体积取最大值，高的最大值h R2 42 R，∴ 4 3 R2 42 R 32 3 ，即 R2 423 4 R 8，解
得 R 5，故球O的表面积是4πR2 100π．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） [
13. 3 14. 7 15. 32 16. 4
13. 3 解析：作出可行域可得当直线 z x y过点C 2, 1 时， z取最小值 3 .
14. 7 解析：|a－2b|＝ （a－2b）2＝ a2－4a·b＋4b2＝ 12－4×1× 3×cos30°＋4×（ 3）2＝ 7.
15. 32 解析： Sn 2an 1, 令 n 1得S1 2a1 1, a1 1 ，∴当 n 2时，Sn 1 2an 1 1, 两式相减可得
an 2an 2an 1, an 2an 1，∴数列{an}是公比为 2 的等比数列， a6 2
5 32.
2
16.4 解析：设圆心为 F，则 F为抛物线 x2＝8y的焦点. P |PM|设 （x，y），则|PF|＝y＋2，要使 最小，则需|PQ|
|PQ|
2 2
最大，|PQ|max＝|PF|＋1＝y＋3，且|PM|＝ x2＋（y－4）2＝ y2 16
|PM| y ＋16
＋ ，∴ ＝ ，求导可得 y＝2 时取得最
|PQ| y＋3
小值 4.（或换元用基本不等式求最值）
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17.解析：（1）由 a cosC c cos A b tan A结合正弦定理可得 sin AcosC cos AsinC sin B tan A，整理得
sin(A C) sin B sin B tan A，
∵ sin B 0，∴ tan A 1，
2
∵ A (0, π)
π
，∴ A .（5 分）
4
（2）∵ a2 b2 c2 2bc cosA ，∴5 2 2 c2 2 2c ，即 c2 2c 3 0，解得 c 3，
2
1 π 3
∴ ABC的面积为 3 2 sin .（10 分）
2 4 2
18.解析：（1）2×2 列联表补充完整如下：
好评 差评 合计
男性 120 80 200
女性 90 110 200
合计 210 190 400
2 400 K 120 110 90 80
2
9.023 7.879，
210 190 200 200
所以有 99.5%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”.（5 分）
7
（2）采用分层抽样的方法从男性给出“好评”者中抽取的人数为120 4 人，记作 a，b，c，d；从女性给出“好
210
7
评”者中抽取的人数为90 3 人，记作 A，B，C，
210
所以从 7 人中抽取 2 人包含的基本事件有 ab，ac，ad，aA，aB，aC，bc，bd，bA，bB，bC，cd，cA，cB，cC，
dA，dB，dC，AB，AC，BC，共 21 个，其中包含一男一女的基本事件有 aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，
12 4
cC，dA，dB，dC，共 12 个，故所求概率 P ．（12 分）
21 7
19. 1解析：(1)在图 1 中，∵AB∥CD，AB＝BC＝AD＝ CD＝2，P 为 CD 中点，
2
∴四边形 ABCP 是菱形，且△DAP 是等边三角形，即图 2 中△SAP 是等边三角形．
连接 BP，则 BP＝AB＝AP，即△BAP 是等边三角形．
设 AP 中点为 E，连接 EB，ES，则 AP⊥ES，AP⊥EB，
∵ES∩EB＝E，∴AP⊥平面 SEB.
∵SB 平面 SEB，∴SB⊥AP.(6 分)
(2)由(1)得 SE＝BE＝ 3.
∵SB＝ 6，∴SE2＋BE2＝SB2，∴SE⊥BE.
∵SE⊥AP，AP∩BE＝E，∴SE⊥平面 ABCP，即 SE 为三棱锥 S PBC 的高．
在△SPB 中，SP＝PB＝2，SB 1 10 15＝ 6，∴S△SPB＝ × 6× ＝ ，2 2 2
设点 C 到平面 SPB 的距离为 d V 1 15 1 3 2 15，由 C SPB＝VS PBC得 × ×d＝ × ×4× 3，解得 d＝ ，3 2 3 4 5
∴点 C 到平面 SPB 2 15的距离为 .(12 分)
5
3
20. 1 c 2 e c 6解析：（ ）由已知得 ，由离心率 得a 6 ，∴b a2 c2 2 ，
a 3
C x
2 y2
∴椭圆 的方程为 1 .（4 分）
6 2
x2 y2
（2）设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )
1
，联立 6 2 可得 4x2 6mx 3m2 6 0 ，
y x m
∵直线 l : y x m与椭圆 E交于 A，B两点，∴ 36m2 16(3m2 6) 0 ，解得m2 8，
3m 3m 2 6
由韦达定理可得 x1 x2 ,x1x2 ，2 4
3m 2 2
由弦长公式可得 AB 2 4
3m 6 6
8 m2 ，
2 4 2
m
点O到直线 l的距离为 d ，
2
2 2
∴ S 1 1 2 6△OAB d | AB | | m | 8 m
2 3 m2 (8 3 m 8 m m2 ) 3, 当且仅当
2 2 2 2 4 4 2
m2 8 m2 ，即m 2时取等号，
∴ ABC面积的最大值为 3 ，此时直线 l的方程为 y x 2 .（12 分）
1 1 2ax
21.解析：（1） f x 2a .
x x
a 0 f x 1 2ax若 ，则 0，此时 f x 在 0, 上单调递增；
x
若 a 0，当 x 0,
1 1 1
时， f x
1 2ax 0 x , f x 1 2ax ；当 时， 0，此时 f x 0, 上单
2a x 2a x 2a
1
调递增，在 , 上单调递减.（4 分）
2a
ln x
（2） f (x) 的定义域为 (0, )，若 f (x) 0恒成立，则 ln x 2ax 0 恒成立，即 2a 恒成立，
x
ln x
令 g(x) ，只需 2a g(x) ，又 g (x) (ln x) x ln x x 1 ln xmax x x2
2 ，x
令 g (x) 0得 x e，当 x (0,e)时， g (x) 0， g(x)单调递增；当 x (e, ) 时， g (x) 0， g(x)单调递减；
∴ 2a g(x)max g(e)
1 a 1 ，解得 .（8 分）
e 2e
（3）要证明 20222023 20232022 ，只需证明 ln 20222023 ln 20232022 ，即 2023ln 2022 2022ln 2023，
ln 2022 ln 2023
即只需证明 ，
2022 2023
由（2）可知 g(x)
ln x
在 (e, )
ln 2022 ln 2023
单调递减，∴ g (2022) g (2023)，故 ，
x 2022 2023
∴ 20222023 20232022 .（12 分）
x＝1＋tcosα
22．解析：(1)直线 l的参数方程为 y 1 tsinα (t为参数)，＝ ＋
曲线 C的直角坐标方程为 x2＋y2＝4.(4 分)
4
x＝1＋tcosα
(2)将 代人 x2＋y2y 1 tsinα ＝4，并整理得 t
2＋2(cosα＋sinα)t－2＝0.
＝ ＋
设 A，B对应的参数分别为 t1，t2，则 t1＋t2＝－2(cosα＋sinα)．
∵M在圆 O的内部，∴t1与 t2 异号，
∴||AM|－|MB||＝|t1＋t2|＝2 2|sin(α
π
＋ )|.
4
π
∴当α＝ 时，||AM|－|MB||max＝2 2.(10 分)
4
23．解析：(1)当 a＝2 时，|2x－2|＋2|x＋1|≤5，
当 x≤－1 5 5时，2－2x－2(x＋1)≤5，解得 x≥－ ，此时－ ≤x≤－1；
4 4
当－1当 x≥1 时，2x－2＋2(x＋1)≤5，解得 x 5≤ ，此时 1 5≤x≤ ，
4 4
综上，不等式 f(x)≤5 的解集为[ 5 5－ ， ]．(5 分)
4 4
(2)|2x－a|＋|2x＋2|＝|a－2x|＋|2x＋2|≥|(a－2x)＋(2x＋2)|＝|a＋2|，
2a＋1≥0，
由题意可得|a＋2|≤2a＋1，即 a 2 2 2a 1 2，解得 a≥1，（ ＋ ） ≤（ ＋ ）
故 a的取值范围是[1，＋∞)．(10 分)
5
