2022-2023 学年度高二下半期考试
数学（理科）参考答案
第 I 卷(选择题，共 60 分)
一、选择题
1—5 BADBC 6—10 BDCAA 11—12 DC
第 II 卷(非选择题，共 90 分)
二、填空题
13.0 14.88 15. ( ,3] 16. 2+ 2 2
三、解答题
1
x = 2 + t2
17.【详解】（1）∵直线 l的参数方程为 （t为参数），
3y = t
2
∴消去 t可得直线 l的普通方程为: 3x y 2 3 = 0 .
∵曲线 C的极坐标方程为 sin2 4cos = 0 ，即 2 sin2 4 cos = 0，
又∵ cos = x ， sin = y ，∴曲线 C的直角坐标方程为 y2 = 4x .
1
x = 2 + t2
（2）将 2 2 （t为参数）代入 y = 4x ，得3t 8t 32 = 0，显然 0，
3y = t
2
即方程有两个不相等的实根，设点 A，B在直线 l的参数方程中对应的参数分别是 t ，1 t ， 2
则 8 ， 32 32t1 + t2 = t1t2 = ，∴ MA MB = t t = . 1 2
3 3 3
18．【答案】(1) a = 1； b = 1(2) 9
【详解】（1）由已知可得 f (0) = b =1．又 f (x) = 3x2 2x + a，所以 f (0) = a = 1．
（2）由（1）可知 f (x) = x3 x2 x +1， f (x) = 3x2 2x 1，
1
令
1 1
f (x) 0 ，解得 x 或 x 1，所以 f (x)在 2, 和 1,2 上单调递增，在 ,1 上单调递减． 3 3 3
又 f ( 2) = 9， f (1) = 0， f ( 2) f (1) 所以函数 y = f (x)在 2,2 上的最小值为 9．
1
19.【答案】(1) 70.5 (2)
10
【详解】（1）解：由频率分布直方图的数据，可得这 100 名学生得分的平均数：
x = (45 0.01+55 0.015+ 65 0.02+ 75 0.03+85 0.015+95 0.01) 10 = 70.5分.
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（2）解：在 80,90)和 90,100 两组中的人数分别为：100 （0.015 10）=15人和100 （0.01 10）=10 人，
所以在 80,90)分组中抽取的人数为
15
5 = 3人，记为 a,b,c ，
10+15
在 90,100 分组中抽取的人数为 2 人，记为1, 2 ，
所以这 5 人中随机抽取 2 人的情况有： = (ab) ,(ac) ,(bc) ,(a1) ,(a2) ,(b1) ,(b2) ,(c1) ,(c2) ,(12) ，共 10
种取法，
其中两人得分都在 90,100 的情况只有 (12) ，共有 1 种，
所以两人得分都在 1 90,100 的概率为 P = .
10
20．【答案】(1)证明见解析(2) 30
6
【详解】（1）证明： PD ⊥平面 ABCD, PD∥QA, QA⊥平面 ABCD．
BC 平面 ABCD, QA ⊥ BC ．
又 BC ⊥ AB, AB QA = A, AB,QA 平面QAB, BC ⊥平面QAB ．
（2）建立空间直角坐标系如图：以 DA为 x 轴， DC 为 y 轴，DP 为 z 轴， D 为原点，
则有 B (2,2,0) , P (0,0,2) ,Q (2,0,1) ,QB = (0,2, 1) , PQ = (2,0, 1)，
m QB = 0,
设平面 PBQ 的一个法向量为 m = (x, y, z )，则有
m PQ = 0,
2y z = 0,
得 令 z = 2，则 x =1, y =1,m = (1,1,2)，
2x z = 0,
易知平面 PCD的一个法向量为 n = (1,0,0)，
设平面 PBQ 与平面 PCD所成二面角的平面角为 ，
m n 1 6
则 cos = = = ,即平面 PBQ 与平面 PCD所成锐二面角的余弦值
6 ．
m n 1 6 6 6
3 3 3
21．【答案】(1) 1, ；(2) 2, , 2
.
2 2 2
【详解】（1）(1)设椭圆C 的半焦距为 c．因为△PF 的周长为 ， 1F2 4+ 2 3
所以 3 c 32a + 2c = 4+ 2 3 ，①因为椭圆C 的离心率为 ，所以 = ，②
2 a 2
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2
由①②解得 a = 2 ， c = 3 ．则b = a2 c2 =1．所以椭圆C 的方程为
x
+ y2 =1．
4
（2）显然 x = 0不满足题意，设直线 l 的方程为 y = kx + 2，设 A(x1, y1 )，B (x2 , y ， 2 )
x2
+ y
2 =1 3
4 (1+ 4k
2 )x2 +16kx +12 = 0， = (16k)2 4(4k 2 +1) 12 0，解得 k 2 ，①
4
y = kx + 2
16k 12
x1 + x2 = , x1x2 = ，则 y1 y2 = (kx1 + 2)(kx
2 ，
2 2 2
+ 2) = k x1x2 + 2k(x1 + x2 ) + 4
4k +1 4k +1
又 AOB 为锐角，AOB不共线，则 cos AOB 0 ，即OA OB 0， x1x2 + y y 0， 1 2
2 2
所以 x 2
12(k +1) 16k 2k 4(4 k ) ，
1x2 + y1y2 = y1y2 = (1+ k )x1x2 + 2k(x1 + x2 )+ 4 = + 4 = 0
4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1
解得 0 k 2 4 ，②由①②，解得
3 3
2 k 或 k 2，
2 2
所以实数 k的取值范围为 3 3( 2, ) ( ,2) .
2 2
22．【答案】（ 11） 1[ ,+ ) （2） a ；证明见解析；
e 2
【详解】(1) f (x)的定义域为 (0,+ ) .由 f (x) a，得
ln x
a 在 x (0,+ )恒成立，
x
转化为 ln x ln x 1 ln xa ( ) ，令 g(x) = ，则max g (x) = ，
x x x2
∴ ln x 在 单调递增，在 单调递减，∴ 的最大值为 1 ，∴ 1g(x) = (0,e) (e,+ ) g (x) g(e) = a .
x e e
∴ a的取值范围是
1
[ ,+ ) .
e
1
(2)设 g (x) = f (x)，则 g (x) = ln x +1 2ax ， g (x) = 2a ， x 0 .
x
①当 a<0时， g (x) 0 恒成立， g (x)在 (0,+ )单调递增，
又 g (1) =1 2a 0， g(e2a 1) = 2a 1+1 2ae2a 1 = 2a(1 e2a 1) 0 ，所以 g (x)存在唯一零点 x (0,1) . 1
当 x (0, x1 )时， f (x) = g (x) 0，当 x (x ,1)时， 1 f (x) = g (x) 0 .所以 f (x)存在唯一的极小值点
x0 = x . 1
1
②当 a = 0时， g (x) = ln x +1， g (x)在 (0,+ )单调递增， g( ) = 0，
e
所以 1g (x)在 (0,+ )有唯一零点 .
e
1 1
当 x (0, )时， f (x) = g (x) 0，当 x ( ,1) 时， f (x) = g (x) 0 .
e e
1
所以 f (x)存在唯一的极小值点 x = . 0
e
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③当 1 1a 0时，令 g (x) 0，得 x (0, ) ；令 g (x) 0，得 x ( ,+ )，
2a 2a
∴ 1 1g (x)在 (0, )单调递增，在 ( ,+ )单调递减，所以 g (x)的最大值为
1
g( ) = ln(2a)
2a 2a 2a
④当 1 时， 1 10 a g( ) 0， g (1) =1 2a 0， g( ) 0，
2 e 2a
1 2 1 2 1 1 1 1 1
g( ) = 2ln a +1 2(1 ) +1 = 1 0 (或用 g(ea ) = 2aea 0 )
a2 a a a a
由函数零点存在定理知： g (x)在区间 (0,1)， (1,+ )分别有一个零点 x ， 2 x3
当 x (0, x2 )时， f (x) = g (x) 0；当 x (x2 , x 时， 3 ) f (x) = g (x) 0；
所以 f (x)存在唯一的极小值点 x ，极大值点 . 0 = x2 x3
⑤当 1
1
a 时， g 0， f (x) = g(x) 0，所以 f (x)在 (0,+ )单调递减，无极值点.
2 2a
1
由①②④可知，a的取值范围为 , ，当 x (0, x )时，0 f (x) 0；
2
所以 f (x)在 (0, x )单调递减，0 (x ,1)单调递增.所以0 f (x0 ) f (1) = 0 .
由 f (x0 ) = ln x0 +1 2ax0 = 0，得 ln x0 = 2ax 1 . 0
所以 f (x 20 ) = x0 ln x0 ax0 + a = x0 (2ax
2
0 1) ax0 + a = ax
2 + a x 0 0
2 1 f (x ) (2a 1) = ax a x +1 = (x 1) a(x +1) 1 ，因为 x (0,1) ， a , ， 0 0 0 0 0 0
2
所以 ， 1x 1 0 a (x +1) 1 2 1= 0所以 f (x ) (2a 1) 0，即0 0 f (x0 ) 2a 1； 0
2
所以 2a 1 f (x . 0 ) 0
试卷第 4 页，共 4 页2022-2023 学年度高二下半期考试 数学（理科）
本试卷分选择和非选择题两部分。（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净
后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效
5.考试结束后，只将答题卡交回
第 I 卷(选择题，共 60 分)
一、单选题(本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.)
1 i
1．已知 i 为虚数单位，复数 z = ，则 z =（ ）
i
A．1 B． 2 C． 3 D．2
2．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相
同，则运动员乙成绩的方差为（ ）
A． 2 B．3
C．9 D．16
x2 y2
3．已知双曲线C : =1(a 0,b 0)的一条渐近线方程为2x y = 0，则双曲线C的离心率为
a2 b2
（ ）
A．2 B． 2 C． 3 D． 5
4．已知 m，n表示两条不同的直线， 表示平面．下列说法正确的是（ ）
A．若m ，n∥ ，则m∥ n B．若m ⊥ ，n ⊥ ，则m∥ n
C．若m ⊥ ，m ⊥ n，则n∥ D．若m ，m ⊥ n，则n ⊥
5．“ m = 4 ”是“直线 (3m 4)x+ 4y 2 = 0 与直线mx + 2y 2 = 0平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．执行该程序框图，若输入的 a，b分别为 35、28，则输出的 a=（ ）
A．1 B．7
C．14 D．28
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2
7. 函数 f (x) = (x 2x)ex 的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
x =1+ cos
8. 已知曲线C : ( 为参数).若直线 3x + y = 2 3 与曲线C 相交于不同的两点 A, B ，则
y = sin
AB 的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 1 D. 3
2 2
x2 y2
9．过椭圆C： + =1(a b 0)右焦点F 的直线 l： x y 2 = 0交C 于A ， B 两点， P 为 AB 的
a2 b2
1
中点，且OP 的斜率为 ，则椭圆C的方程为（ ）
2
2 2 x2x y y
2
A． + =1 B． + =1
8 4 9 5
x2 y2 x2 y2
C． + =1 D． + =1
7 3 10 6
10. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周脾算经》一书作序时，介
绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角
形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构
造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形
拼成的一个大等边三角形，设 DF = 2AF = 2 ，若在大等边三角形中随机取
一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )
4 2 13 9 3 13
A. B． C． D．
13 13 26 26
11．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为矩形， PA ⊥底面 ABCD，
PA = AB = 2， AD = 4 ，E为 PC的中点，则面 PCD与直线 BE所成角的
余弦值为（ ）
3
A． B． 2 30 C． 2 5 D． 105
5 15 15 15
12．已知函数 f (x)=lnx +1 ax 有两个零点 x , x ，且 x x ，则下列命题正确的个数是（ ） 1 2 1 2
2 1
① 0 a 1 ; ② x1 + x2 ; ③ x1 x2 1 ; ④ x2 x1 1 ;
a a
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
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第 II 卷(非选择题，共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡的相应位置.)
13. 已知函数 f (x) = sin x + cos x，则 f = __________.
4
14．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数 x（单位：万人）与天
府绿道周边商家经济收入 y（单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为
y =12.6x + 0.6，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：
x 2 3 3.5 4.5 7
y 26 38 43 60 a
则表中 a的值为___________.
15. 已知函数 f (x) = e
x + ax （3 a R），若对于任意的 x1，x2 [1，+ ）且 x1 x2 ，都有
x2 f (x1 ) x1 f (x2 ) a (x1 x2 )成立，则 a的取值范围是 _____________.
NF
2
16. 已知点 F 为抛物线 y = 8x 的焦点，M ( 2,0)，点 N 为抛物线上一动点，当 最小时，点 N
NM
恰好在以M ， F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为________．
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．(本小题满分 10 分) 选修 4—4：坐标系与参数方程
1
x = 2 + t
在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为
2
（t为参数）.以原点 O为极点，x轴的正
3y = t
2
2
半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 sin 4cos = 0 .
（Ⅰ）求直线 l的普通方程与曲线 C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线 l与曲线 C交于 A，B两点，设M (2,0)，求 MA MB 的值.
18．(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) = x3 x2 + ax +b ，若曲线 y = f (x)在 (0, f (0))处的切线方程为 y = x +1．
（Ⅰ）求 a，b的值；
（Ⅱ）求函数 y = f (x)在 2,2 上的最小值．
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19．(本小题满分 12 分)
某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中
随机抽取了 100 名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下 6
组： 40,50) , 50,60), 60,70), 90,100 ，统计结果如图所示：
（Ⅰ）试估计这 100 名学生得分的平均数（同一组中的数据
用该组区间中点值代表）；
（Ⅱ）现在按分层抽样的方法在 80,90)和 90,100 两组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2
人参加这次竞赛的交流会，求两人都在 90,100 的概率．
20．(本小题满分 12 分)
在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，四边形 ADPQ是梯形，
PD∥QA, PD ⊥平面 ABCD，且PD = 2QA = 2．
（Ⅰ）求证： BC ⊥平面QAB ；
（Ⅱ）求平面 PBQ 与平面 PCD所成锐二面角的余弦值．
21．(本小题满分 12 分)
x2 y2 3
已知椭圆 C： + =1(a b 02 2 )的离心率为 ，左、右焦点分别为F1，F2 ，P为 C的上顶a b 2
点，且△PF1F2 的周长为4+ 2 3 ．
（Ⅰ）求椭圆 C的方程；
（Ⅱ）设过定点M (0,2)的直线 l与椭圆 C交于不同的两点 A、B，且 AOB 为锐角（其中 O
为坐标原点），求直线 l的斜率 k的取值范围．
22．(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) = x ln x ax2 + a．
（Ⅰ）若 f (x) a，求 a的取值范围;
（Ⅱ）若 f (x)存在唯一的极小值点 x ，求0 a的取值范围，并证明 2a 1 f (x0 ) 0．
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