安徽省阜阳市颍州区汇文中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题（含解析）

汇文中学2022-2023学年高一下学期第二次月考 数学
一、单选题（8×5=40）
1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(　　)
A．6 B.5
C．1 D．－6
2．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为(　　)
A．－20 B．－2
C．4 D．6
3．已知a∈R，i为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．矩形　　　　　　　　 　B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
5．已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且＝＋，则(　　)
A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上 D．点P在射线AB上
6．设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝(　　)
A.－ B.＋
C.－ D.＋
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为(　　)
A．7.5　　　　　　　　　 　B．7
C．6 D．5
8．将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为(　　)
A．y＝sin　　　 　B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
二、多选题（5×4=20）
9．以下说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知是锐角，那么下列各值中，能取得的值是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于对称
C．函数在上递增 D．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
12.如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则下列选项中山的高度BC 错误的是(　　)
A．700 m B．640 m
C．600 m D．560 m
三、填空题（5×4=20）
13．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则|a＋2b|＝________.
14．已知复数z＝，其中a为整数，且z在复平面内对应的点在第四象限，则a的最大值为________．
15．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
16.已知A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，sin＝，则cos＝________.
四、解答题
17．（10分）
计算：(1)；
(2)；
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A.（12分）
(1)求角C的大小；
(2)若c＝3，△ABC的面积S＝，求△ABC的周长．
19．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.（12分）
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值．
20．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.（12分）
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
21.在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos A，sin A)，n＝(－sin A，cos A)，且|m＋n|＝2.（12分）
(1)求角A的大小；
(2)若b＝4，c＝a，求△ABC的面积．
22．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝.（12分）
(1)求b的值；
(2)若cos B＋sin B＝2，求△ABC面积的最大值．
数学答案
一、单选题（8×5=40） AACCDBDB
1．选A　∵向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(3,0)，则(2a＋b)·a＝6.故选A.
2．选A　因为(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，所以复数(z1－z2)i的实部为－20.
3．选C　∵＝＝－i为纯虚数，∴＝0且≠0，解得a＝1，故选C.
4．选C　由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．
5．选D　由＝＋，得－＝，∴＝·，∴点P在射线AB上，故选D.
6．选B　法一：设＝x＋y，由＝－4可得，＋＝－4－4，即－－3＝－4x－4y，则解得即＝＋，故选B.
法二：在△ABC中，＝－4，即－＝，则＝＋＝－＝－(＋)＝＋，故选B.
7.选D∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得b·＋a·＝c2，整理可得2c2＝2c3，解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.
8．选B　将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y＝sin的图象，因此变换后所得图象对应的函数解析式为y＝sin.
二、多选题（5×4=20） ACD AC AB ABD
9．
答案：ACD
【详解】
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD
10．
答案：AC
【分析】
由于，，，所以由正弦函数的性质可得，，从而可得答案
【详解】
解：因为，
又是锐角，所以，，
可得，，
可得，．
可得，，，．
故选：AC．
11．
答案：AB
【分析】
先对函数化简得，然后利用三角函数的图像和性质逐个分析判断即可
【详解】
解：函数.
对于：函数的最小正周期为，故正确；
对于：当时，，故正确；
对于：由于，所以，故函数在该区间内单调递减，故错误；
对于：函数的图象向右平移个单位，得到的图象，故错误；
故选：AB.
12.
选ABD　根据题意，可得在Rt△AMD中，
∠MAD＝45°，MD＝400(m)，
所以AM＝＝400(m)．
因为在△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，
∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，
由正弦定理，得AC＝＝＝400(m)，
在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400×＝600(m)．
三、填空题（5×4=20）
13．
答案：5
14．
因为z＝＝＝，
所以z在复平面内对应的点为，
所以解得－1＜a＜4，
又a为整数，所以a的最大值为3.
答案：3
15．
解析：f(x)＝3sin的周期T＝2π×＝4，
f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，
故|x1－x2|的最小值为＝2.
答案：2
16.
解析：因为A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，sin＝，
所以所以sin(A＋B)＝＝，cos＝－ ＝－，
可得cos＝cos＝－×＋×＝.
答案：
四、解答题
17．（10分）
解：(1)＝＝－1－3i.
(2)＝＝＝＝＋i.
18．
解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B－sin A)cos C＝sin Ccos A，　
即2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B>0，∴cos C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由(1)知，C＝，故S＝absin C＝absin＝，
解得ab＝.
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
又c＝3，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝32＋3×＝25，得a＋b＝5.
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋3＝8.
19．
解：(1)∵α，β∈，∴－<α－β<.
又∵tan(α－β)＝－<0，∴－<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.
∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
20．
解：由f(x)的最小正周期为π，得T＝＝π，
所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，有φ＝＋kπ(k∈Z)．
因为0<φ<，所以φ＝.
(2)因为f＝，
所以sin＝，
即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又因为0<φ<，所以φ＝，
即f(x)＝sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
21.
[解]　(1)∵m＋n＝(＋cos A－sin A，cos A＋sin A)，
∴|m＋n|＝
＝ .
∵|m＋n|＝2，∴sin＝0，
又0即A＝.
(2)∵c＝a，A＝，
∴＝＝，
∴sin C＝1，又0∴△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝×(4)2＝16.
22．
解：(1)由题意及正、余弦定理得＋＝，整理得＝，所以b＝.
(2)由题意得cos B＋sin B＝2sin＝2，
所以sin＝1，
因为B∈(0，π)，所以B＋＝，所以B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
所以3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，
即ac≤3，当且仅当a＝c＝时等号成立．
所以△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝ac≤，
当且仅当a＝c＝时等号成立．
故△ABC面积的最大值为.