广西钦州市钦北区2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

钦州市钦北区2022-2023学年高二下学期期中考试
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列中，，，则公差（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
2．设随机变量，则的值为（ ）
A．1.2 B．1.8 C．2.4 D．3.6
3．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知等差数列的公差，前项和为，，则（ ）
A．6 B． C． D．8
5．通过随机调查140名性别不同的社区居民是否喜欢看电视剧， 得到如下的列联表：
男 女 总计
喜欢 50 40 90
不喜欢 20 30 50
总计 70 70 140
由公式算得：
附：，其中．
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
B．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
C．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
D．有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关
6．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ）
A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6
7．下表给出变量x，y的5组数据，为选出4组数据使得线性相关程度最大则应去掉
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
x 1 2 3 4 5
y 2.0 2.5 3.1 4.1 3.5
A．第1组数据 B．第3组数据 C．第4组数据 D．第5组数据
8．已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知X的分布列为
X 0 1 2
P a
则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．2个球中至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为
11．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也是定值的是（ ）
A． B． C． D．
12．一袋中有5个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，还有3个同样大小的白球，编号为6，7，8，现从中任取3个球，则下列结论中正确的是（ ）
A．取出的最小号码服从超几何分布
B．取出的白球个数服从超几何分布
C．取出2个黑球的概率为
D．若取出一个黑球记1分，取出一个白球记-1分，则总得分最小的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．观测两相关变量得如下数据
x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
y 1 2 3 4 5 6 7
则两变量x，y间的回归直线必过点______．
14．甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出的概率是______．
15．已知列联表如下：
温度低于30℃ 温度高于30℃ 总计
高产量 15 m 15+m
低产量 5 15 20
总计 20 15+m 35+m
若，则______．（附：，其中）
16．在前项和为的等差数列中，，，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．白黄瓜是一种比较常见的餐桌蔬菜，和普通的黄瓜不同，这种黄瓜的外观更加好看，颜色偏白，口感更好，所以在市面上拥有较高的价格．某农户一亩地种植白黄瓜，在所收成的黄瓜中，随机抽取并测量100条白黄瓜的长度（单位：厘米）和重量（单位：克），得到如下数据表：
单个黄瓜重量 单个黄瓜长
20 6 4
11 20 10
9 5 15
（1）根据所给的数据．完成下面的列联表；
单个黄瓜重量 单个黄瓜长 合计
合计
（2）根据（1）中的列联表，判断是否有的把握认为单个黄瓜重量与黄瓜长有关．附：，其中．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18．从有3个红球和4个黑球的盒子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回．求第2次摸到红球的概率．
19．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：当时，．
20．桃子是夏季最为常见的一种水果，它也是我国三大原生水果之一，并且地位很高，自古以来就有着“桃养人杏伤人”的说法．桃子在我国种植有数千年的历史了，并且种类也非常丰富．经一年的统计（加上桃子损耗），某农户种植桃子每千克投入的肥料费用（单位：元）与利润（单位：元）如下表所示：
x 2 4 6 8 10
y 1 1
（1）已知x与y线性相关，求y关于x的线性回归方程；
（2）在（1）的条件下，如果该农户预计明年该品种桃子每千克投入的肥料费用为5元，产量为1200千克，请估计该农户种植桃子的利润．
附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，．
21．某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了200位顾客购物的相关数据如下表：
一次购物款（单位：元）
顾客人数 20 a 50 60
（1）求的值；
（2）为了增加商场销售额度，对一次购物不低于300元的顾客每人发放一个纪念品．现有5人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望．
22．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值；
（2）为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望．
钦州市钦北区2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题
1．D
．
2．C
．故答案为．
3．A
，．
4．C
．
二、多选题
5．C
由，，故有的把握认为“居民是否喜欢看电视剧”与性别有关．
6．B
由正态分布的图象和性质得．故答案为B．
7．D
画出散点图如图所示，则应去掉第5组数据．
8．D
．
9．ABD
由分布列的性质可知，即，∴，故A正确；
，故 B 正确；
，故C不正确；
，故D正确．
10．ABC
A项，因为从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，所以2个球都是红球的概率为，故正确；
B项，2个球中恰有1个红球的概率为，故正确；
C项，至少有1个红球的概率为，故正确；
D项，2个球不都是红球的概率为，故错误．
11．AC
由，可知为定值，，也为定值．
12．BC
对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故A错误；
对于B，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故B正确；
对于C，取出2个黑球的概率为，故C正确；
对于D，若取出一个黑球记1分，取出一个白球记-1分，则取出三个白球的总得分最小，
∴总得分最大的概率为，故D不正确．故选BC．
13．（2，4）
由，，则两变量，间的回归直线必过点（2，4）．
14．
设“甲解出这道题目”为事件A，“乙解出这道题目”为事件B，则，，则这道题被解出的概率为．
15．5
由，解得．
16．27
由，有，又由，有．
17．解：（1）完成列联表如下：
单个黄瓜重量 单个黄瓜长 合计
20 10 30
20 50 70
合计 40 60 100
（2），
故能有的把握认为单个黄瓜重量与黄瓜长有关．
18．解：用表示第一次摸到红球，表示第二次摸到红球，表示第一次摸到黑球，表示第二次摸到黑球．
则
．
19．解：（1）设等差数列的公差为d
由题意有，解得．
所以，故数列的通项公式为；
（2）由（1）有，
所以，故当时，．
20．解：（1）由，
，
，
有，，
故关于的线性回归方程为；
（2）当时，，
明年一年，该农户种植桃子的利润为（元）．
21．解：（1）由题意有，
解得，故的值为30；
（2）由（1）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率，
故5人购物获得纪念品的数量服从二项分配，
则，
，
，
，
，
．
则的分布列为：
0 1 2 3 4 5
P
的数学期望为．
22．解：（1）由频率分布直方图得：
，解得；
（2）由频率分布直方图得：
这1000名学生中日平均阅读时间在，两组内的学生人数之比为，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在内的学生中抽取（人），
在日平均阅读时间在内的学生中抽取4人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
．