【全国百强校】（教师原创）上海交大附中2014-2015学年高一上学期数学精品教学案（教案样例+情景资源+题库资源）：1-5-1 充分条件、必要条件一


教学目标: 1．经历充分条件和必要条件概念的形成过程，体会与理解充分条件、必要条件的意义；掌握有关的逻辑知识，逐步养成合理与严密的逻辑推理习惯；
2．能在简单的问题情境中判断条件的充分性和必要性。
教学重点：理解充分条件、必要条件的概念；在问题情景中判断条件的充分性与必要性。
教学难点：掌握充分条件、必要条件的判断。
教学过程：
情景引入
问题1：写出命题“若，则”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断原命题、逆命题、否命题与逆否命题是否是真命题？
（原命题：若，则.真命题； 逆命题：若，则.假命题；
否命题：若，则.假命题；逆否命题：若，则.真命题.）
问题2：请同学用推断符号“(”“?”写出上述命题。
（( ；( ；? ；?.）
说明：命题“若，则”为真，表示如果成立，那么也一定成立，将它表示为； 命题“若，则”为假，表示如果成立，那么不一定成立，可以将它表示为；
概念形成
命题 (中，是条件，是结论，成立，充分保证了结论成立，我们说条件是结论成立的充分条件；由于原命题与逆否命题等价，所以如果条件不成立，那么结论也必不成立，即条件是结论成立必须具备的，即条件是结论成立的必要条件。
定义：一般地，用、分别表示两个命题，如果命题成立，可以推出命题也成立，即，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件。
（3）充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行”， 即“有之必然”；
必要条件的含义用通俗的语言来说是指“缺它不行” ，即“无之必不然”。
概念应用
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，解答题，容易，逻辑思维能力
【题目】以下“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？
（1） 若，则；
（2） 若，则．
【解答】（1），（2）中，均是的充分条件.
说明：通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有 知识（命题真假的判断）的应用过程。

【题目】判断下列问题中，是的充分条件吗？
（1）: :；
（2）:为无理数 :为无理数；
（3）:同位角相等 : 两直线平行.
【解答】 （1）不是的充分条件；
（2）不是的充分条件；
（3）是的充分条件
说明：（1）若有，称不是的充分条件，称不是的必要条件。
（2）概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础 上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念。
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，填空题，中，逻辑思维能力
【题目】用“充分非必要条件”或“必要非充分条件”填空：
（1）四边形的对角线相等是四边形为矩形的________；
（2）是为正数的______________．
【解答】 （1）必要非充分条件；
（2）充分非必要条件.

【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，解答题，中，逻辑思维能力
【题目】已知四边形是凸四边形。那么“”是“四边形是矩形”的什么条件？为什么？
【解答】 “”是“四边形是矩形”的必要非充分条件.
说明：从充分性和必要性两方面来认识问题。
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，填空题，难，逻辑思维能力
【题目】填空（写出一个满足题意的即可）
（1）“”的一个充分非必要条件是 ；
（2）“”的一个必要非充分条件是 ．
【解答】 （1）（答案不唯一）；（2）（答案不唯一）.
说明：（1）例5的问题的问法和前四个例题有无不同，通过例5学习，培养学生的观察能力；
（2）从条件的判断、填空到开放的填写条件加深学生对充分条件与必要条件的认识。
课堂反馈
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，填空题，容易，逻辑思维能力
【题目】填空题
（1）的 条件；
（2）的 条件．
【解答】 （1）充分非必要条件条件；（2）必要非充分条件.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，填空题，中，逻辑思维能力
【题目】填空（写出一个满足题意的即可）
（1）写出的一个必要不充分条件 。
（2）写出>0的一个充分不必要条件 。
【解答】 （1）（答案不唯一）；（2）（答案不唯一）.
课堂小结
（1）“”这一个推出关系中包含两层含义：成为的充分条件，同时也是的必要条件。
（2）判别步骤：（ⅰ）找出和。
（ⅱ）观察和的真假。
（ⅲ）根据定义下结论。
（3）判别技巧：（ⅰ）可先简化命题。
（ⅱ）否定一个命题只要举出一个反例即可。
（ⅲ）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
作业布置
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，填空题，易，逻辑思维能力
【题目】填空题
“”是“”的______________条件。
（2） “” 的_______________条件是“或”。
（3）写出“”的一个充分非必要条件是________________。
【解答】 （1）充分非必要；（2）必要非充分；（3）（答案不唯一）.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，解答题，难，逻辑思维能力
【题目】解答下列问题
（1）写出“”的一个必要非充分条件，并说明理由。
（2）如果是实数，试判断“”是“”的什么条件，并说明理由。
（3）已知，求证：成立的充分条件是。
【解答】 （1）（答案不唯一）。这是因为由不能推出，反之，由可以推出. ；（2）充分非必要条件。当成立时，同号，所以也成立；反之成立时，或或同号，不能推出；（3）证明：由得，，两边平方得。所以，成立的充分条件是。
【情景资源】
情景1：
1. 创设情境
事例1：当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向你的老师介绍你的妈妈说：
“这是我的妈妈”。你想一想这个时候你的妈妈会补充说你是她的孩子吗?
事例2：播放歌曲《没有共产党就没有新中国》，让学生说出歌名,分析其中的逻辑关系。
2．由命题引出推出关系
判断下列命题的真假：
（1）若则 （2）若则 （3）两个全等三角形的面积相等
3．引出课题
对于命题“若则”，有时是真命题有时是假命题，如何判断其真假呢？
如果能推出那么是真命题，也就是说如果成立就一定有成立。换句话说只
要有成立就能充分地保证成立。这时，我们称是的充分条件。
情景2：
1．创设情境，激发兴趣
事例1：“做一件衬衫，需用布料，到布店去买，问营业员应该买多少？他说买3米足
够了。”这样，就产生了“3米布料”与“做一件衬衫够不够”的关系。
事例2：“一人病重，呼吸困难，急诊住院接氧气。”就产生了“氧气”与“活命与否”
的关系。
2．分析实例，引出课题
事例1中，事件：有3米布料，事件：够做一件衬衫。由于“有3米布料”能
够充分保证“够做一件衬衫”，因此可记作：，那么叫做的充分条件。
事例2中，事件：输氧气，事件：人活了。由于“人活了”说明在“输氧气”，
因此可记作：，那么叫做的必要条件。
【题目资源】
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，填空题，易，逻辑思维能力

【题目】“是整数”是“是实数”的______________条件。
【解答】充分非必要条件.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，填空题，易，逻辑思维能力
【题目】“”是“”的_______________条件。
【解答】充分非必要条件.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，填空题，易，逻辑思维能力
【题目】“是2的倍数”是“是6的倍数”的 条件。
【解答】必要非充分条件.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，填空题，易，逻辑思维能力
【题目】“”是“的面积=的面积”的 条件。
【解答】充分非必要条件.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，选择题，易，逻辑思维能力
【题目】设A、B均为非空集合，那么“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．既充分又必要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，选择题，易，逻辑思维能力
【题目】若集合，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．既充分又必要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】B.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，填空题，中，逻辑思维能力
【题目】“”的一个必要条件是 。
【解答】（答案不唯一）.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，填空题，中，逻辑思维能力
【题目】写出“”的一个充分条件是 。
【解答】（答案不唯一）.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，填空题，中，逻辑思维能力
【题目】“”是“”的 条件。
【解答】必要非充分条件.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，解答题，中，逻辑思维能力
【题目】判断“”是“”的什么条件？并说明理由。
【解答】必要非充分条件.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，解答题，中，逻辑思维能力
【题目】“整数满足”是“整数满足”的什么条件？并 说明理由。
【解答】充分非必要条件.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，选择题，中，逻辑思维能力
【题目】设集合，那么“或”是
“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．既充分又必要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】B.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，选择题，中，逻辑思维能力
【题目】已知命题：，命题：，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．既充分又必要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】C.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，选择题，中，逻辑思维能力
【题目】（09年上海）“”是“实系数一元二次方程没有实 根”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．既充分又必要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】B.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，选择题，难，逻辑思维能力
【题目】“或”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．既充分又必要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】B.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，解答题，难，逻辑思维能力
【题目】设：是的充分非必要条件，问：是的什么条件？说明理由。
【解答】 又
是的必要非充分条件.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，解答题，难，逻辑思维能力
【题目】如果是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件。
问：，分别是的什么条件？说明理由。
【解答】

，分别是的充分条件又是必要条件.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，解答题，难，逻辑思维能力
【题目】判断“”是“”的什么条件？说明理由
【解答】若，那么成立。
即
若，
取满足但不满足
故
因此“”是“”的充分非必要条件。.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，解答题，难，逻辑思维能力
【题目】已知：二次函数。
求证：“”是“对都有”的充分非必要条件。
【解答】证明：
当时，
对都有 充分性成立。
又当时，而不满足
必要性不成立。
综上所述：“”是“对都有”的充分非必要条件.
【属性】高一（上），集合与命题，充分条件必要条件，解答题，难，逻辑思维能力
【题目】若，，
试证明：“”是“”的一个充分非必要条件。
【解答】证明：若，则。
。
即
故“”是“”的一个充分条件。
反之，如果，取则，此时仍成立，
故“”不是“”的必要条件。
综上所述：“”是“”的一个充分非必要条件。.