【全国百强校】（教师原创）上海交大附中2014-2015学年高一上学期数学精品教学案（教案样例+情景资源+题库资源）：1-5-2 充分条件、必要条件二

教学目标：（1）正确理解充要条件的概念，能在简单的情景中判断结论成立的充分性与必要性，基本掌握判断充要条件的方法；　　 （2）通过充要条件的学习与理解，体会命题等价转化的思想方法；
（3）进一步培养简单逻辑推理的思维能力，逐步养成严谨的学习态度。
教学重点：正确理解充要条件的意义以及充要条件判断的方法。
教学难点：正确区分充要条件以及两个命题等价关系的判断。
教学过程：
情景引入
1．什么是充分条件？什么是必要条件？
（通过概念的复习，为新知学习作必要的认知准备）
2．指出下列各组命题中，“”及“”是否成立。
（1）： ：（
（2）：实数 ：方程有两个不相等的实根
（3）：三角形三边相等 ：三角形三个角相等
（（1），；（2）， ；（3）“”且“”）
说明：通过问题学习，一方面复习充分条件与必要条件的有关概念，同时引出在命题关系中，有一类关系既是充分的又是必要的，就是本节课一起研究的充分必要条件。
充要条件定义：
一般地，如果既有，又有，即有；
这时，既是的充分条件，又是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
说明：判断是的什么条件时，不仅要考察是否成立，即“若则”形式命题是否正确，还得考察是否成立，即“若则”形式命题是否正确。
【题目】： 指出下列各命题中，是的什么条件：
（1）： ：
（2）： ：
（3）： ：
（4）： ：
（5）： ：
【解答】：（1）必要非充分条件；（2）充分非必要条件；（3）必要非充分条件；
（4）充分非必要条件；（5）充要条件

【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，中，逻辑思维能力
【题目】：请举例说明：（1）是的充分而不必要条件；
（2）是的必要而不充分条件；
（3）是的既不充分也不必要条件；
（4）是的充要条件。
【解答】：（1）： ，：；（2）：，：；
（3）： ，：； （4）：，：；
（答案不唯一）
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，填空题，易，逻辑思维能力
【题目】：从 “充分不必要条件” “必要不充分条件”“充要条件”
“既不充分也不必要条件”中选出适当的一个填空：
（1）“”是“”的
（2）“”是“”的
（3）“”是“”的
（4）“四边相等”是“四边形是正方形”的
【解答】：（1）充分不必要条件；（2）必要不充分条件；
（3）必要不充分条件；（ 4）必要不充分条件
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，辨析题，中，逻辑思维能力
【题目】：判断下列命题的真假：
（1）“”是“”的充分条件
（2）“”是“”的必要条件
（3）“”是“”的充要条件
（4）“”是“”的充分条件
【解答】：（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题。
说明：（1）通过以上四例的学习，帮助学生掌握正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件的方法。
（2）举反例是说明或的重要方法。
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，难，逻辑思维能力
【题目】：已知实系数一元二次方程。“” 是“方程有两个相等的实数根”的什么条件？为什么？
【解答】：我们把方程变形为。

所以“”是“方程有两个相等的实数根” 的充分条件；
反过来， 如果方程有两个相等的实数根
，那么由方程根与系数的关系得于是
，即。
所以，“”是“方程有两个相等的实数根”的必要条件；
综上所述，“”是“方程有两个相等的实数根”的充要 条件。
说明：通过例题学习，让学生初步学会充要条件的证明方法。
课堂反馈
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，辨析题，中，逻辑思维能力
【题目】：下列各题中，甲是乙的什么条件？说明理由。
(1)甲：， 乙：
(2)甲：， 乙：
(3)甲：，， 乙：是方程的两根
(4)甲：两边和夹角对应相等 乙：三角形全等

【解答】：（1）必要非充分条件；（2）充分非必要条件；
（3）充要条件； （4）充要条件
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，中，逻辑思维能力
【题目】：设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B
的充分条件．试问：
(1)D是C的什么条件？
(2)A是B的什么条件？
【解答】：（1）充要条件；（2）充分条件
课堂小结
（1）充要条件：若且，则称是的充要条件。
（2） 判断是的什么条件，不仅要考察是否成立，还要考察 是否成立。
（3）若 且，则是的充分而不必要条件。
若 且，则是的必要而不充分条件。
若 且，则是的充要条件。
若 且，则是的既不充分也不必要条件。
作业布置
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，填空题，易，逻辑思维能力
【题目】：“”是“方程有唯一解”的__________条件。
【解答】：充要条件
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，填空题，易，逻辑思维能力
【题目】：一次函数的图象只过二、三、四象限的充要条件是_________
【解答】：
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，填空题，中，逻辑思维能力
【题目】：关于的实系数一元二次方程有一个正根和一个零根的充 要条件是_________________。
【解答】：

【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，中，逻辑思维能力
【题目】：命题“且”是命题“”的什么条件？
【解答】：充要条件
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，中，逻辑思维能力
【题目】：设，，求：的充要条件。
【解答】：
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，中，逻辑思维能力
【题目】：求“集合中至多只有一个元素”的一个 充要条件。
【解答】：或
【情景资源】
情景1：　
问题： 已知：整数是2的倍数；：整数是偶数。　　 请判断： 是的充分条件吗？是的必要条件吗？　　分析：要判断是否是的充分条件，就要看能否推出，要判断是 否是的必要条件，就要看能否推出。问题中，故是的充分条件，又，故是的必要条件。　　 此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。　 情景2：
1．问题1：一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，有哪四类？
（充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件）
本节课将继续研究命题中既充分又必要的条件。
2．问题2：请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件？
（1）若是无理数，则是无理数；
(2) 若一元二次方程有两个不等的实根，则判别式。
分析：命题（1）中因：是无理数(是无理数，所以“是无理数”是“是无理数”的充分条件；又因：是无理数(是无理数，所以“是无理数”又是“ 是无理数”的必要条件。因此“是无理数”是“是无理数”既充分又必要的条件。命题（2）一元二次方程有两个不等的实根既是的充分条件，又是必要条件。
【题目资源】
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，填空题，易，逻辑思维能力
【题目】：“四边形是菱形”是“四边形对角线互相垂直”的 条件。
【解答】：充分非必要
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，填空题，易，逻辑思维能力
【题目】：“”是“函数的图象过原点”的 条件。
【解答】：充要
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，填空题，易，逻辑思维能力
【题目】：“”是“”的 条件。
【解答】：必要非充分
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，填空题，易，逻辑思维能力
【题目】：抛物线与轴没有交点的充要条件是
【解答】：
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，选择题，易，逻辑思维能力
【题目】：“”是“一元二次方程有实数解”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解答】：A
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，选择题，易，逻辑思维能力
【题目】：“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解答】：C
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，选择题，易，逻辑思维能力
【题目】：二次函数的值恒为正值的充要条件是（ ）
A． B．
C．， D．，
【解答】：C
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，选择题，易，逻辑思维能力
【题目】：“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解答】：C
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，填空题，中，逻辑思维能力
【题目】：设，则成立的充要条件是
【解答】：
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，选择题，中，逻辑思维能力
【题目】：“”是“且”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解答】：B
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，选择题，中，逻辑思维能力
【题目】：已知：，：，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解答】：D
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，选择题，中，逻辑思维能力
【题目】：下面说法正确的有（ ）个
（1）“中至少有一个小于零”是“”的必要非充分条件。
（2）“”是“且”的充要条件。
（3）“”是“或”的充分非必要条件。
. . . .
【解答】：
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，中，逻辑思维能力
【题目】：求：“方程有负数根”的一个充要条件。
【解答】：
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，中，逻辑思维能力
【题目】：写出函数与交于两点的横坐标均为负值
的充要条件。
【解答】：
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，难，分析问题、解决问题能力
【题目】：求：当时，不等式恒成立的充要条件。
【解答】：解:令 则
所以即为所求。
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，难，分析问题、解决问题能力
【题目】：求：关于的实系数二次方程有两个不相等的正实根 的充要条件。
【解答】：解：设是方程两个不相等的正根
则
所以即为所求。
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，难，逻辑思维能力
【题目】：求证：关于的实系数二次方程有一个根是1的 充要条件是。
【解答】：证明：（必要性）
若关于的实系数二次方程有一个根是1。
则将1代入方程知：。 故必要性成立。
（充分性）
若 则，代入即求得
所以命题成立。
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，难，分析问题、解决问题能力
【题目】：求:关于的方程至少有一个实根的充要条件。
【解答】：解：1.当时, , 方程有一个实根。
2.当时, 方程至少有一个实根

且
综上所述:即为所求。
【属性】：高一（上），集合与命题，充要条件，解答题，难，分析问题、解决问题能力
【题目】：（2010辽宁）已知，则满足关于的方程的充要条件是（ ）
. 存在,使成立；
. 存在,使成立；
. 对任意,成立；
. 对任意,成立.
【解答】：解：由于，令函数，
此时函数图象的开口向上,当时,函数取得最小值。
而满足关于的方程，那么，
所以。
因此对任意,都有。
即对任意,都有。
故选。