【备考2023】山东省潍坊市中考数学模拟试卷2（含解析）

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【备考2023】山东省潍坊市中考数学模拟试卷2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分。每小题四个选项中只有一项正确）
1．下列四个几何体中，主视图为三角形的是（　　）
A． B． C． D．
2．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108cm，则小凡的身高约为（　　）
A．155cm B．165cm C．175cm D．185cm
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．关于x的二次函数y＝﹣x2+2x﹣m（m≠0）与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式不成立的是（　　）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．＞1
C．0＜＜1 D．x1﹣x3＝x4﹣x2
5．如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b与点C，若∠2＝27°，则∠1的度数为（　　）
A．53° B．63° C．73° D．27°
6．如图所示的是一辆汽车行驶的速度（千米/时）与时间（分）之间的变化图，下列说法正确的是（　　）
A．时间是因变量，速度是自变量
B．汽车在1～3分钟时，匀速运动
C．汽车最快的速度是30千米/时
D．汽车在3～8分钟静止不动
7．“五一”假期，小萌一家计划自驾车去某地踏青，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程120km，线路二全程144km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上时速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一少40分钟，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题，满分9分，每小题3分）
（多选）9．为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的80%，15%和5%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位：m3），绘制了统计表．
用水量（xm3） 频数（万户）
30≤x＜60 0.25
60≤x＜90 0.75
90≤x＜120 1.5
120≤x＜150 1.0
150≤x＜180 0.5
180≤x＜210 0.4
210≤x＜240 0.25
240≤x＜270 0.15
270≤x＜300 0.15
300≤x≤330 0.05
如表所示，下面四个推断合理的是（　　）
A．年用水量少于180m3的该市居民家庭按第一档水价交费
B．年用水量超过180m3但不超过240m3的该市居民家庭按第二档水价交费
C．年用水量超过240m3的该市居民家庭按第三档水价交费
D．该市居民家庭年用水量的中位数在120﹣150之间
（多选）10．下列语句及写成式子不正确的是（　　）
A．9是81的算术平方根，即
B．a2的平方根是
C．1的立方根是±1
D．与数轴上的点一一对应的是实数
（多选）11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E是△ABC的内心，OE⊥EB，延长BE交⊙O于点F，连接CF，AF．则下列结论正确的是（　　）
A．EA＝EB B．∠EAB+∠EBA＝45°
C．△AEF是等腰直角三角形 D．若OE＝1，则S△ABE＝2
三．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
12．已知方程组，只要把两个方程的两边 　 　，就可以消去 　 　．
13．小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 　 　．
14．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（3，2），B（2，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为 　 　．
15．如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为 　 　．
四．解答题（共7小题，满分72分）
16．（5分）要在如图所示的一个机器零件（尺寸单位：mm）表面涂上防锈漆，请你帮助计算一下这个零件的表面积．
17．（11分）计算：
（1）2cos30°﹣3tan30°+．
（2）|﹣2|+2sin30°﹣+（tan45°）﹣1
18．（11分）2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测．
【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率．
样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表：
样本学生成绩 平均数 方差 中位数 众数
甲校 50 66 66 66 78 80 81 82 83 94 74.6 141.04 a 66
乙校 64 65 69 74 76 76 76 81 82 83 74.6 40.84 76 b
表中a＝　 　；b＝　 　．
请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩．
【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成频数分布直方图，如图所示．
A组：0＜x≤20；B组：20＜x≤40；C组：40＜x≤60．
请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）．
【监测反思】
①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性；
②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？
19．（12分）如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线交AE于点F．BD与AE有什么样的位置关系？请说明理由．
20．（10分）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如表所示．
销售量p（件） p＝50﹣x
销售单价q（元/件） 当1≤x≤20时，q＝30+x当21≤x≤40时，q＝20+
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当CF＝2，∠E＝30°时，求图中阴影部分的面积．
22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；
（3）将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．【分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
解：A．圆锥的主视图是三角形，因此选项A符合题意；
B．球的主视图是圆，因此选项B不符合题意；
C．圆柱的主视图是长方形，因此选项C不符合题意；
D．正方体的主视图是正方形，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握正方体、圆柱、圆锥、球体的主视图的形状是正确判断的前提．
2．【分析】设小凡的头顶至肚脐的长度为xcm，则小凡的身高为（x+108）cm，由题意得：＝，求出x≈0.618×108＝66.744（cm），即可求解．
解：设小凡的头顶至肚脐的长度为xcm，则小凡的身高为（x+108）cm，
由题意得：＝，
∴x≈0.618×108＝66.744（cm），
∴x+108≈175（cm），
即小凡的身高约为175cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金分割比值约为0.618是解题的关键．
3．【分析】先求每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
解：，
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＜﹣2，
在数轴上表示为：，
∴不等式组无解，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
4．【分析】由x2﹣2x+m﹣1＝0可得﹣x2+2x﹣m+1＝0，则y＝﹣x2+2x﹣m+1图象是由y＝﹣x2+2x﹣m向上平移1个单位所得，作出图象，通过抛物线与x轴的交点位置求解．
解：由x2﹣2x+m﹣1＝0可得﹣x2+2x﹣m+1＝0，
∴x3，x4为抛物线y＝﹣x2+2x﹣m+1与x轴的交点横坐标，
∵y＝﹣x2+2x﹣m+1图象是由y＝﹣x2+2x﹣m向上平移1个单位所得，
如图，
∴x3＜x1＜x2＜x4，选项A正确，
由抛物线的对称性可得x4﹣x2＝x1﹣x3，选项D正确，
∵y＝﹣x2+2x﹣m，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴0＜x2＜x4，
∴0＜＜1，选项C正确．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，将方程问题转化为图象交点的问题．
5．【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝∠2，再根据三角形内角和定理求出即可．
解：∵直线a//b，∠2＝27°，
∴∠ACB＝∠2＝27°，
∵AC⊥BA，
∴∠BAC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝63°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和定理．
6．【分析】观察图象，结合题意，明确横轴与纵轴的意义，依次分析选项可得答案．
解：速度是因变量，时间是自变量，故选项A不合题意；
汽车在1～3分钟时，速度在增加，故选项B不合题意；
汽车最快速度是30千米/时，故选项C符合题意；
汽车在3～8分钟，匀速运动，故选项D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图形，解决本题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义．
7．【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少40分钟，列方程即可．
解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，
由题意得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
8．【分析】先用t的代数式表示出两个扇形的半径，根据扇形的弧长等于底面圆的周长求出两个圆锥底面圆的半径，最后列出两个圆锥底面积之和关于t的函数关系式，根据关系式即可判断出符合题意的函数图形．
解：∵AB＝10，AC＝BD＝1，
∴CD＝10﹣1﹣1＝8，
∵PC＝t，
∴AP＝t+1，PB＝8﹣t+1＝9﹣t，
设围成的两个圆锥底面圆半径分别为r和R则：
2πr＝；．
解得：r＝，R＝，
∴两个圆锥的底面面积之和为S＝
＝
＝，
根据函数关系式可以发现该函数图象是一个开口向上的二次函数．
故选：D．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到扇形、圆锥有关知识，解决此类问题关键是：弄清楚题意思列出函数关系式．
二．多选题（共3小题，满分9分，每小题3分）
9．【分析】由统计表中的频数可知约有4万户，约为样本的80%，可判断选项A；由，可判断选项B；由年用水量超过240m3的用户所占比例可知还有一部分按第二档交费，可判断选项C；由中位数的定义可判断中位数不一定在120﹣150之间，可判断选项D．
解：∵从统计表可知年用水量少于180m3的用户共有0.25+0.75+1.5+1+0.5＝4（万户），5×80%＝4（万户），
∴选项A符合题意；
∵年用水量超过180m3但小于270m3的用户共有0.4+0.25＝0.65（万户），，
∴年用水量超过180m3但不超过240m3的用户一定在第二档中，选项B符合题意；
∵年用水量超过240m3的用户所占比例为100%﹣80%﹣13%＝7%＞5%，
∴年用水量超过240m3的用户中还有一部分按第二档交费，选项C不符合题意；
∵中位数应为第25000户和第25001户的平均数，
第25000户的用水量在90≤x＜120之间，第25001户的用水量在120≤x＜150之间，
∴两者的平均数不一定在120﹣150之间，选项D不符合题意；
故选：AB．
【点评】本题考查了统计表的有关知识，掌握频数和中位数的含义是解决问题的关键．
10．【分析】根据平方根、算术平方根、立方根以及数轴的特点，分别对每一项进行分析即可．
解：A、9是81的算术1的立方根是平方根，即＝9；
B、a2的平方根是±a；
C、1的立方根是1；
D、与数轴上的点一一对应的数是实数；
写成式子不正确的是ABC；
故选：ABC．
【点评】此题考查了平方根、算术平方根、立方根以及实数与数轴，熟练掌握有关定义与性质是解题的关键．
11．【分析】根据圆周角定理得到∠AFB＝∠ACB＝90°，求得∠CAB+∠ABC＝90°，根据角平分线定义得到∠EAB＝CAB，∠ABE＝ABC，根据外角的性质得到∠AEF＝∠EAB+∠ABE＝45°，得到△AEF是等腰直角三角形，故选项B，C正确，推出AE＞BE，故A选项错误；根据三角形的面积公式得到S△ABE＝S△ABF＝×＝2，故D选项正确．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵E是△ABC的内心，
∴AE平分∠CAB，BE平分∠ABC，
∴∠EAB＝CAB，∠ABE＝ABC，
∴∠EAB+∠ABE＝90°＝45°，
∴∠AEF＝∠EAB+∠ABE＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，故选项B，C正确，
∵AF＝EF，
∵OE⊥EB，
∴BE＝FE，
∵AE＞EF，
∴AE＞BE，故A选项错误；
∵AO＝BO，EF＝BE，OE＝1，
∴AF＝2OE＝2，
∴BF＝4，
∴S△ABE＝S△ABF＝×＝2，故D选项正确，
故选：BCD．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，圆周角定理，三角形中位线定理，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键．
三．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
12．【分析】把两个方程的两边相减，就可以消去x．
解：已知方程组，只要把两个方程的两边相减，就可以消去x．
故答案为：相减，x．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题关键是观察未知数的系数特点选择合适的消元方法．
13．【分析】由第①次折叠知△AD'B'是等腰直角三角形，由第②次折叠知，AB＝AB'，从而解决问题．
解：由第②次折叠知，AB＝AB'，
由第①次折叠知，∠B'AB＝45°，
∴△AD'B'是等腰直角三角形，
∴AB'＝AD'，
∴AB与宽AD的比值为，
故答案为：，
【点评】本题主要考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
14．【分析】根据位似变换的性质解答即可．
解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，A（3，2），
∴点C的坐标为（3×（﹣），2×（﹣）），即（﹣1，﹣），
故答案为：（﹣1，﹣）．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
15．【分析】过B'作B'D⊥y轴于D，连接OB，OB'，根据边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，得∠BOB'＝75°，∠BOC＝45°，OB＝OB'＝2，即知∠B'OD＝30°，可得B'（﹣，），又再沿y轴方向向上平移1个单位长度，故B''（﹣，+1）．
解：过B'作B'D⊥y轴于D，连接OB，OB'，如图：
∵边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，
∴∠BOB'＝75°，∠BOC＝45°，OB＝OB'＝2，
∴∠B'OD＝30°，
∴B'D＝OB'＝，OD＝B'D＝，
∴B'（﹣，），
∵再沿y轴方向向上平移1个单位长度，
∴B''（﹣，+1），
故答案为：（﹣，+1）．
【点评】本题考查正方形的旋转和平移变换，解题的关键是掌握旋转、平移变换的性质及正方形的性质．
四．解答题（共7小题，满分72分）
16．【分析】由图知，底面直径为80，圆柱高为100，圆锥高为30，由勾股定理求得圆锥的母线长后，分别计算圆柱的底面面积，圆柱侧面面积，圆锥的侧面面积后求得全面积．
解：由勾股定理得，圆锥母线长L＝＝50，
∴S表面积＝S圆柱侧+S圆锥侧+S圆柱底
＝2πrh+πrL+πr2
＝8000π+2000π+1600π
＝11600π≈3.64×104（mm2）．
答：这个零件的表面积应为3.64×104mm2．
【点评】本题利用了勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．注意圆锥表面积＝底面积+侧面积＝π×底面半径2+底面周长×母线长÷2的应用．
17．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值和零指数幂及整数指数幂的定义解答；
（2）根据特殊角的三角函数值和负整数指数幂及整数指数幂的定义与绝对值的性质解答．
解：（1）原式＝＝0；
（2）|﹣2|+2sin30°﹣+（tan45°）﹣1，
＝2+2×﹣3+1，
＝2+1﹣3+1，
＝1．
【点评】此题考查了整数指数幂、绝对值、负整数指数幂的运算，解题的关键是对特殊值的记忆及绝对值性质的理解．
18．【分析】【学科测试】根据中位数和众数的概念分析求解，然后结合平均数，中位数，众数，方差的意义进行分析评判；
【问卷调查】根据平均数的计算公式分析计算；
【监测反思】①根据表格中的数据和频数分布直方图分析语文测试成绩与课外阅读量的相关性；②统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小．
解：【学科测试】
学科测试：设3套不同的试卷分别为1、2、3，列表如下：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
一共有9种等可能情况，而满足题意的有三种情况，
∴小亮、小莹作答相同试卷的概率为；
将甲校样本学生成绩从小到大排序为：50，66，66，66，78，80，81，82，83，94，
位于第5个和第6个的数据分别是78和80，
∴a＝＝79，
在乙校样本学生成绩中出现次数最多的是76，
∴b＝76，
故答案为：79，76，
由题意，甲乙两校平均数相同，乙校方差小于甲校，
∴乙校成绩更加稳定；
【问卷调查】由题意，甲校学生阅读课外书的平均数量为＝32（本），
乙校学生阅读课外书的平均数量为＝30（本）；
【监测反思】
①甲校样本学生阅读课外书的平均数量为32本，乙校样本学生阅读课外书的平均数量为30本；
从语文测试成绩来看：甲乙平均数一样大，乙校样本学生成绩比较稳定，甲校的中位数比乙校高，但从众数来看乙校成绩要好一些；
从课外阅读量来看：虽然甲校学生阅读课外书的平均数较大，但整体来看，三个组的人数差别较大，没有乙校的平稳；
综上来说，课外阅读量越大，语文成绩就会好一些，所以要尽可能的增加课外阅读量；
②甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平，因为W市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评估全校2000 多人的成绩．
【点评】本题考查了频数分布直方图和数据统计表，统计调查，解题的关键在于能结合频数分布直方图和数据统计表分析学生的成绩．
19．【分析】先利用“HL”证明△BDC≌△AEC得出∠CBD＝∠CAE，从而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE．
解：BD⊥AE，理由如下：
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°．
又BC＝AC，BD＝AE，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．
∴∠CBD＝∠CAE．
又∴∠CAE+∠E＝90°．
∴∠EBF+∠E＝90°．
∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE．
∴BD⊥AE．
【点评】主要考查全等三角形的判定方法与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
20．【分析】（1）在每个x的取值范围内，令q＝35，分别解出x的值即可；
（2）利用利润＝售价﹣成本，分别求出在1≤x≤20和21≤x≤40时，y与x的函数关系式；
（3）当1≤x≤20时，y＝﹣x2+15x+500＝﹣（x﹣15）2+612.5，求出一个最大值y1，当21≤x≤40时，求出一个最大值y2，然后比较两者的大小．
解：（1）当1≤x≤20时，令30+x＝35，得x＝10，
当21≤x≤40时，令20+＝35，得x＝35，经检验得x＝35是原方程的解且符合题意
即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．
（2）当1≤x≤20时，y＝（30+x﹣20）（50﹣x）＝﹣x2+15x+500，
当21≤x≤40时，y＝（20+﹣20）（50﹣x）＝﹣525，
即y＝，
（3）当1≤x≤20时，y＝﹣x2+15x+500＝﹣（x﹣15）2+612.5，
∵﹣＜0，
∴当x＝15时，y有最大值y1，且y1＝612.5，
当21≤x≤40时，∵26250＞0，
∴随x的增大而减小，
当x＝21时，最大，
于是，x＝21时，y＝﹣525有最大值y2，且y2＝﹣525＝725，
∵y1＜y2，
∴这40天中第21天时该网店获得利润最大，最大利润为725元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．
21．【分析】（1）连接AD，OD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠ODA+∠ODB＝90°，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAC＝2∠BAD，从而可得∠BAD＝∠BDE，然后利用等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠ODA，从而可得∠ODA＝∠BDE，进而可得∠ODE＝90°，即可解答；
（2）过点D作DM⊥AB，垂足为M，利用（1）的结论可得∠DOE＝60°，BD＝DC，从而可得△ODB是等边三角形，OD是△BAC的中位线，然后在Rt△CFD中，利用锐角三角函数的定义可求出CD的长，从而求出OB，OD，BD的长，进而在Rt△ODM中，利用锐角三角函数的定义求出DM的长，最后根据阴影部分的面积＝扇形DOB的面积﹣△ODB的面积，进行计算即可解答．
（1）证明：连接AD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ODA+∠ODB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BAC＝2∠BDE，
∴∠BAD＝∠BDE，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠BDE，
∴∠BDE+∠ODB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥AB，垂足为M，
∵∠ODE＝90°，∠E＝30°，
∴∠DOE＝90°﹣∠E＝60°，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，OD＝BD＝OB，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵OA＝OB，
∴OD是△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠AFE＝∠ODE＝90°，
∴∠CFD＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴CD＝＝＝4，
∴BD＝CD＝4，
∴OD＝BD＝OB＝4，
∴DM＝OD sin60°＝4×＝2，
∴阴影部分的面积＝扇形DOB的面积﹣△ODB的面积
＝﹣OB DM
＝π﹣×4×2
＝π﹣4，
∴阴影部分的面积为π﹣4．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，切线的判定与性质，等腰三角形的性质，扇形面积的计算，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．【分析】（1）分别令x＝0，y＝0即可求得B点、C点坐标；
（2）设出点P坐标（m，），表示出点E、F坐标后，EF的长可表示EF＝，得到关于m的二次函数表达式求最值即可；
（3）分两种种情况：BC为菱形的边，BC为菱形对角线分别求解即可．
解：（1）令x＝0，则＝2，解得点C坐标为（0，2），
令y＝0，即，解得：x＝4或﹣1，
∴点B坐标为（4，0）．
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，代入点B、点C坐标，得：
，解得：．
∴直线BC解析式为y＝x+2．
设P坐标为（m，），则E坐标为（m，m+2），其中0≤m≤4．
设点F横坐标为xF，纵坐标yF＝，
令 xF+2＝，解得：xF＝m2﹣3m．
∴PE＝﹣（m+2）＝，PF＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m．
∴EF＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
∵，则当m＝2时，EF有最大值，此时点P坐标为（2，3）．
（3）存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形．
点Q坐标为（﹣2，6）或（﹣2，﹣2）或（6，4）或（6，﹣4），理由如下：
∵OA＝1，OC＝2，
∴AC＝．
又∵，
∴抛物线沿着射线AC方向平移个单位，实际上等同于将该抛物线向右移动个单位，向上移动1个单位．
∵原抛物线对称轴方程为x＝，
∴新抛物线对称轴方程为x＝+＝2．
设点N坐标为（2，n）、点Q坐标为（a，b）．
当BC为菱形的边时：
①以点B为圆心，BC为半径画圆交对称轴x＝2于点N1、N2.如图1．
此时，BC＝BN1＝BN2＝＝2．
∴，即，解得：MN1＝4．
故点N1坐标为（2，4），同理可得点N2坐标为（2，﹣4）．
由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：
，
即，解得：；
或，解得：．
∴点Q1坐标为（﹣2，6），Q2（﹣2，﹣2）．
②以点C为圆心，CB为半径画圆交对称轴x＝2于点N3、N4，作N3P⊥y轴于点P，如图2．
此时CB＝CN3＝CN4＝，PN3＝2，PC＝＝＝4，
故点N3坐标为（2，6），同理可得N4坐标为（2，﹣2）．
由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：
，
即，解得：；
或，解得：．
∴点Q3坐标为（6，4），Q4（6，﹣4）．
当BC为菱形的对角线时，则NQ为另一对角线，BC垂直平分NQ，
此时BC中点坐标为（2，1），又N（2，n）且NC＝NB，
则N点必与BC中点重合，
∴此时不存在点Q，则不能构成菱形．
综上所述，点Q坐标为（﹣2，6）或（﹣2，﹣2）或（6，4）或（6，﹣4）．
【点评】本题以二次函数为背景考查了待定系数法求解析式、勾股定理、菱形的判定与性质、中点坐标公式、二次函数性质、一次函数性质等知识，理解题意，学会用分类讨论的思想方法思考问题是关键
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