【全国百强校】东北师大附中高中数学必修一导学案：222 对数函数及其性质

东北师范大学附属中学
学科：数学 年级：高一 编稿老师：邢昌振
　　　审稿老师：王艳平

[同步教学信息]
2．2．2 对数函数及其性质
【教材阅读提示】函数源于实际生活．我们在研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，
得到的细胞案的个数y是分裂次数x的函数指数函数，即y=2x． 我们现在要思考的是：
（1）如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数，从而到的函数如何表示，它和指数函数有什么关系？
（2）此函数有哪些基本性质 ？
【基础知识精讲】
（一）教学知识点
知识目标：1.对数函数的概念、对数函数的单调性；
2.对数函数的图象和性质；
3.对数形式的复合函数的单调性；
4.同底数对数、不同底对数的大小的比较．
能力目标：1.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质；
2.掌握同底对数、不同底对数的大小的比较方法；
3.掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法；
情感、态度、价值观：1.用联系的观点分析问题；
2.认识事物之间的相互转化；
教学重点：掌握对数函数的图象和性质．
教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用．
（二）知识框架图
（三）知识点精讲
1．函数的图象及其性质：
a＞1
0＜a＜1
图
象
性
质
（1）定义域（0，+∞）；
（2）值域R；
（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0；
（4）在（0，+∞）上是增函数
（4）在（0，+∞）上是减函数
图象特征
函数性质
（1）这些图象都在y轴右侧
（1）定义域是（0，+∞）
（2）函数图象都经过点（1，0）
（2）1的对数是零
（3）图象（Ⅰ）在（1，0）右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0；图象（Ⅱ）正好相反．
（3）a＞1时，若x＞1，则logax＞0；
若0＜x＜1时，logax＜0；
0＜a＜1时，若x＞1，则logax＜0；
若0＜x＜1时，logax＞0；
（4）自左向右看，图象（Ⅰ）逐渐上升；图象（Ⅱ）逐渐下降．
（4）当底数a＞1时，是增函数；当底数0＜a＜1时，是减函数．
对数函数的定义域、值域分别为相应的指数函数的值域和定义域，它们的图象关于直线y=x对称；
（1，0）为所有对数函数图象的交汇点；
和指数函数的单调性一样，当a＞1时，y=logax在（0，+∞）上是增函数，当0＜a＜1时，y=logax在（0，+∞）上是减函数．
【应用举例】
【例 1】求下列函数的定义域：
y=logax2； （2）y=loga（4－x）； （3）y=loga（9－x2）;
（4）; .
解：（1）∵x2＞0，∴x≠0，∴定义域是｛x|x∈R且x≠0｝；
（2）∵4－x＞0，∴x＜4，∴定义域是｛x|x＜4(；
（3）∵9－x2＞0，∴－3＜x＜3，∴定义域是｛x|－3＜x＜3(；
（4），∴定义域是｛x|0＜x≤1(；
（5）∵log5x≠0，∴log5x≠log51，∴x≠1，∴定义域为｛x|x≠1｝．
求函数定义域方法小结：
分母不能为零；
偶次方根的被开方数大于或等于零；
对数的真数必须大于零；
指数函数、对数函数的底数要求大于零且不等于1．
【例 2】比较下列各组数中两个值的大小：
（4）log76，log67 ； （5）log3(，log20．8．
解：（1）考察对数函数y=log2x，
∵2＞1，∴y=log2x在（0，+∞）上是增函数，
∴log23．4＜log28．5．
（2）考察对数函数y=log0．3x，
∵0．3＜1，∴y=log0．3x在（0，+∞）上是减函数，
∴．
（3）由于两个对数的底数a大小不一定，而a的大小直接影响函数的单调性，因此要对底数进行讨论：
当a＞1时，y=logax在（0，+∞）上是增函数，∴；
当0＜a＜1时，y=logax在（0，+∞）上是减函数，∴．
（4）∵log76＞log66=1，log67＜log77=1，∴log76＞log67．
（5）∵log3(＞log31=0，log20．8＜log21=0，∴log3(＞log20．8．
小结：
1．当比较的对数值是底数相同的情况时，只需考虑相应对数函数的单调性，利用函数的单调性来判断大小；当比较的数值是底数不相同的情况时，常常需要引入中间值（例如0或1）来间接比较它们的大小；
2．对于logab的正负性，可直接利用下列性质来判断：
若a＞1，b＞1，或0＜a＜1，0＜b＜1时，logab＞0；
若a＞1，0＜b＜1或b＞1，0＜a＜1时，logab＜0．
【例3】证明函数上是增函数；并判断
上是增函数还是减函数？
分析：此题目的是在于让学生熟悉函数单调性证明的通法，同时熟悉利用对数函数的单调性比较同底数对数大小的方法．
证明：

∴函数上是增函数；
同理可证函数上是减函数．
【自我检测】
【同步训练初级】
1．四个函数分别为①；②；③；④. 其图象关于原点对称的是 （ ）
　A．②和③　　　　　B．①和②　　　　C．②和④　　 D．①和②、③和④
2．已知函数的定义域为F，函数的定义域为G，那么 （ ）　A．　　　 B． F=G C． F G　　 D．FG
3．将log0。70．8，log1．10．9，1．10。9按照从小到大的顺序排列.
4．比较下列各组数的大小关系：
；
.
5．已知全集I＝R，，则＝ （ ）　A．　　　　　　　　 　B．
C． 　　　　　　　　　　　　 D．
【同步训练高级】
6．若，则a的取值范围是 （ ）
　A．　　　　　　　　　　　　　　B．
C．　　　　　　　　　　　　　　D．
7．求下列函数的定义域：
(1)．
8．已知=loga（2－ax）在[0，1]上是减函数，求a的取值范围.
参考答案
1．D
2．D
3．解：∵log1．10．9＜log1．11=0，
log0。70．8＞log0。71=0，又log0。70．8＜log0。70．7=1，由指数函数的单调性可知
1．10。9＞1．10=1， ∴log0。70．8＜1．10。9.
∴ 从小到大的排列是：log1．10．9＜log0。70．8＜1．10。9.
4．
5．B
6．B
7．（1）（－3，－2）∪(－2，1(；
（2）．
8．

∴a＞1，