银川市名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学(文科)试卷
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．0
3．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．设集合，，则
A． B． C．NM D．
6．已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．2
8．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
9．若-1为奇函数，则（ ）
A． B．2 C． D．
10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
11．有下列几个命题，其中正确的共有（ ）
①函数在上单调递增；
②函数在上是减函数；
③函数的单调区间是
④已知在上是增函数，若，则有；
⑤已知函数是奇函数，则.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
12．已知函数的定义域为，若函数为奇函数，且，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的单调递增区间是________
14．已知，则此函数的值域是______
15．若函数的定义域为，则函数的定义域为______．
16．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．
三、解答题:(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)
已知集合，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．(本小题满分12分)
在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为O和，与曲线的交点为，求的面积.
19．(本小题满分12分)
已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数，若对任意，都存在，使得成立，求实数a的取值范围．
20．(本小题满分12分)
已知为上的偶函数，当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)若，求的取值范围.
21．(本小题满分12分)
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
(1)求曲线和曲线的直角坐标方程;
(2)若曲线和曲线交于、两点，且点，求的值.
22．(本小题满分12分)
已知函数，其中为实数．
（1）若函数为定义域上的单调函数，求的取值范围．
（2）若，满足不等式成立的正整数解有且仅有一个，求的取值范围．高二期中数学(文科)参考答案
1．B
【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；
③空集是任意集合的子集，故，正确；
④空集没有任何元素，故，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
2．D
【分析】根据分段函数的对应法则，即可得到结果.
【详解】∵，
∴
∴，
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数的应用，考查学生对法则的理解，属于基础题.
3．C
【分析】判断当时，的取值范围，从而判断时，的取值范围应包含，由此列出不等式，求得答案.
【详解】由题意知当时，，
由于函数的值域为，
故时，的取值范围应包含，
故此时，且，故，
故选：C.
4．A
【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.
【详解】命题“，”的否定为“，”，该命题为真命题，即，解得.
故选：A
5．B
6．C
【分析】利用换元法求解即可.
【详解】因为，，
令，则，，
所以，，
故，，
故选：C
7．A
【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解.
【详解】由题意
根据指数式与对数式的转化可得
由换底公式可得
由对数运算化简可得
故选:A
【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.
8．C
【分析】根据函数是定义在上的偶函数，比较的大小，再由在上单调递增判断.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
所以
因为，
所以,
又因为在上单调递增，
所以,
即，
故选：C
9．C
【分析】利用奇函数的定义分类讨论求解即可
【详解】因为函数为奇函数，
所以的定义域关于原点对称.
若，则的定义域
不关于原点对称，
所以的定义域为且，
从而，解得.
所以-1，定义域为.
令，
得.
经检验，为奇函数，
故选：C.
10．C
【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出的值域，结合已知定义即可求解．
【详解】因为
又，
所以，
所以
所以，
则的值域．
故选：C．
11．C
【分析】对于①，根据二次函数的性质，可知函数在上单调；对于②，在和上均为减函数，但在并集上并不是减函数；对于③，首先要求函数的定义域，才可研究函数单调性；对于④，通过函数的单调性，，可得出答案；对于⑤，根据函数奇偶性即可求出函数的解析式.
【详解】由在上递增知，函数在上是增函数，故①正确；
在，上均是减函数，但在上不是减函数，如，但，故②错误；
在上无意义，从而在上不是单调函数，故③错误；
由得，又在上递增，所以，同理，，所以，故④正确；
设，则，，因为为奇函数，所以，故⑤正确.
故选：C
12．A
【分析】根据奇函数的性质得到，由条件结合函数的对称性和周期性的定义得到函数的周期为，且，，即可求解.
【详解】因为函数的定义域为，且函数为奇函数，
则，即函数关于点对称，
所以有①，
又②，所以函数关于直线对称，
则由②得：，，
所以，则
又由①和②得：，得，
所以，即，
所以函数的周期为，
则，
所以，
故选：A.
【点睛】结论点睛：函数的定义域为，对，
（1）存在常数，使得，则函数图象关于点对称.
（2）存在常数使得，则函数图象关于直线对称.
13．
【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定单调增区间.
【详解】
当时，单调递减，而也单调递减，所以单调递增，
故答案为：
【点睛】本题考查复合函数单调性、对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．
【分析】令,由x的范围求得的范围,再由二次函数求值域.
【详解】解:令,
,,
则原函数化为,.
,．
原函数的值域为
故答案为:
【点睛】本题考查利用换元法求函数的值域,属于基础题.
15．
【分析】根据抽象函数的定义域及开偶数次方根号里的数大于等于零，分母不等于零求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，即函数的定义域为，
由函数，
得，解得，
即函数的定义域为.
故答案为：.
16．
【分析】根据给定条件，确定，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.
【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，
于是，解得，
所以实数a的值为.
故答案为：
17．(1) (2)
【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围；
（2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围．
【详解】（1）由，得
①若，即时，，符合题意；
②若，即时，需或，解得．
综上，实数的取值范围为．
（2）由已知是的真子集，知两个端不同时取等号，解得．
由实数的取值范围为．
18．（1） （2）
【分析】（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线的极坐标方程；
（2）分别联立与的极坐标方程、与的极坐标方程，得到、两点的极坐标，即可求出的长，再计算出到直线的距离，由此即可得到的面积．
【详解】解：（1），
其普通方程为，化为极坐标方程为
（2）联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为
联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为，所以，又点到直线的距离，
故的面积.
【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题．
19．(1)； (2).
【分析】（1）化函数为分段函数，再分段解不等式作答.
（2）求出函数、的值域，再借助集合的包含关系求解作答.
【详解】（1）依题意，函数，则不等式化为：
或或，解得或或，则，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）知，当时，，当时，，当时，，
因此函数的值域为，
，，当且仅当时取等号，
因此函数的值域为，
因为对任意，都存在，使得成立，则有，
即，解得，
所以实数a的取值范围是.
20．(1) (2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求得答案；
（2）判断函数的单调性，将不等式转化为，结合函数的单调性奇偶性，即可求得答案.
【详解】（1）为上的偶函数，当时，,
故当时，，故.
（2）当时，为增函数，，
令，则，
当时，为减函数，
故，即，
为上的偶函数，故，
故，
即的取值范围为.
21．(1)， (2)
【分析】（1）利用消参法可得的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的转化公式可得的直角坐标方程；
（2）利用直线参数方程的几何意义直接计算.
【详解】（1）由的参数方程为（为参数），
消参可得，即；
又的极坐标方程为，即，，
所以，
即
（2）由（1）的，即
将的参数方程转化为标准参数方程（为参数）
代入得，即，
，，
又由的参数方程可知过点，
所以.
22．（1） （2）
【分析】（1）分析当时的单调性，可得的单调性，由二次函数的单调性，可得的范围；
（2）分别讨论当，当时，当时，当，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．
【详解】（1）由题意，当时，为减函数，
当时，，
若时，也为减函数，且，
此时函数为定义域上的减函数，满足条件；
若时，在上单调递增，则不满足条件．
综上所述，．
（2）由函数的解析式，可得，
当时，，不满足条件；
当时，为定义域上的减函数，仅有成立，满足条件；
当时，在上，仅有，
对于上，的最大值为，
不存在满足，满足条件；
当时，在上，不存在整数满足，
对于上，，
不存在满足，不满足条件；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．
答案第4页，共15页
