上海市上海财大附属北郊高中2023届高三上学期9月开学考试数学试题
一、填空题
1．（2022高三上·上海开学考）已知集合，则 .
【答案】{x｜2＜x＜3}
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以{x｜2＜x＜3} ，
故答案为： {x｜2＜x＜3} .
【分析】利用集合的交集运算求解.
2．（2022高三上·金山模拟）函数的定义域是
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为函数，
所以，
解得，
所以函数的定义域是。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合对数型函数的定义域求解方法，进而求出函数 的定义域 。
3．（2019高三上·吴中月考）若复数z满足 （i为虚数单位），则 .
【答案】2
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 .
.
故答案为：2
【分析】首先将复数化简为复数的代数形式，再计算模长即可.
4．（2022高三上·上海开学考） 的展开式中的系数为 .（结果用数值表示）.
【答案】160
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 解： 的系数为 ，故答案为：160.
【分析】直接由通项公式直接代入计算即可.
5．（2022高三上·上海开学考）已知，则的值为 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解： ，故答案为： .
【分析】直接代入二倍角的余弦公式计算即可.
6．（2022高三上·金山模拟）设P为直线上的一点，且位于第一象限，若点P到双曲线的两条渐近线的距离之积为27，则点P的坐标为
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设，双曲线的两条渐近线为，即，
则点P到双曲线的两条渐近线的距离之积为，解得：，
所以点P的坐标为。
故答案为：。
【分析】设，再利用双曲线渐近线求解方法，进而求出双曲线的两条渐近线，再利用点到直线的距离公式得出点P到双曲线的两条渐近线的距离之积，再结合已知条件得出点P的横坐标，再利用代入法得出点P的纵坐标，从而求出点P的坐标。、
7．（2022高三上·金山模拟）已知，，且，则的最小值为
【答案】25
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为25。
故答案为：25。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
8．（2022高三上·宝山模拟）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】对称轴方程为，
在区间上是增函数，所以.
故答案为：.
【分析】 由已知结合二次函数的性质，结合已知区间与对称轴的位置关系，即可求解出实数的取值范围 .
9．（2022高三上·上海开学考）已知数列的用项和为，且满足，则 .
【答案】n2
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故数列 为等差数列，故
【分析】根据等差数列的通项公式，求出公差d，结合等差数列的前n项和公式即可求出Sn。
10．（2022高三上·上海开学考）袋中有一个白球和个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进个白球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】取了N次都没有取到黑球的概率为
【分析】根据古典概型求出相应的概率，结合相互独立事件概率的计算，即可求出相应的概率。
11．（2022高三上·宝山模拟）已知定义在上的函数满足，当时，，则方程有 个根.
【答案】10
【知识点】函数的图象；函数的周期性
【解析】【解答】由可知，函数周期为，
作出函数与，
由图象可知，与有10个交点，
所以方程有10个根.
故答案为：10
【分析】先求出函数的周期，利用已知的解析式，作出函数与的图象，由图象即可得到方程根的个数.
12．（2022高三上·上海开学考）在平面直角坐标系中，已知是上的两个不同的动点，满足，且恒成立，则的数最小值是 .
【答案】49
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】因为 ，所以 垂直平分 ，设 与 交于点 ，
其中点 .
设 ，则 ，
所以 .
因为 恒成立，只需求出 的最大值即可，
在 中，由余弦定理得
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 的最小值为49.
【分析】根据平面向量的数量积运算，结合余弦定理及二次函数的最值，即可求出a的最小值。
二、选择题
13．（2022高三上·上海开学考）已知a、b∈R，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不允分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【解答】当 时，满足 ，不满是 ；
当 时，满是 ，不满是 ：
故为既不充分也不必要条件，故选D.
【分析】根据不等式的性质，即可确定充分必要性。
14．（2022高三上·上海开学考）下列函数中，以为周期在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角函数的单调性；正弦函数的周期性；余弦函数的周期性
【解析】【解答】因为 的周期为 ，故排除D，且在区间 上单调递增，
故选A.
【分析】根据正余弦函数的周期性，确定每个函数的最小正周期，结合单调性，逐一判断即可。
15．（2022高三上·上海开学考）如图，在棱长为1的正方体，中，P O R分别是棱的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】如图，连接 ，并分别取它们的十点 ，
连接 ，
则 且 ，
连接 ，得 ，因为 平面 ，又 平面 ，
则 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
同理可得 ，又 ，则 平面 ，
所以 平面 平面 平面 ，
则三棱柱 为直三棱柱，
由正方体的棱长为1，得 ，
故 .故选C.
【分析】根据线面垂直的判定定理，确定三棱柱 为直三棱柱，结合棱柱体积的计算，即可求出相应直棱柱的体积。
16．（2022高三上·上海开学考）设，定义运算“”利“”如下：.若正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，
当 时， ，故选项 错误；
当 时， ，故选项 错误；
因为 ，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故选项 正确；
故选D.
【分析】根据两种运算的定义，结合基本不等式，比较大小，逐一进行判断即可。
三、解答题
17．（2022高三上·上海开学考）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截而是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.
（1）求此圆锥的表面积；
（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小.
【答案】（1）解：由 ，得 .
又 ，故
即此圆锥的表面积为 .
（2）解：法一：取 的中点 ，连接 .因点 为母线 的巾点，
故 .
所以 为异面直线 与 所成的角.
存Rt 中， ，故 .
H点 为半圆坬 的中点，得 ，
在 中， .
由 底面 得 底面 ，
在 中， ，
故
即异面直线 与 所成角的大小为 .
法二：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系，由题意得 ，
则 ，
，
设异面直线 与 所成角的大小为 ，
则 ，
所以异面直线 与 所成角的大小为 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】（1）求出圆锥的侧面积和底面积，相加即可得到圆锥的表面积；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应直线的方向向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出异面直线所成的角。
18．（2022高三上·上海开学考）甲 乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独：②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知，若，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖.
（1）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；
（2）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏：这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望.
【答案】（1）解：基本事件的总数为 个，记事件A为“甲乙两人一次竞猜成功”，
若 ，则共有6种竞猜成功；
若 时，b分别有2个值，
而 或5时， 只有一种取值.
由古典概型的概率计算公式得 .
设随机变量 表示在3次竞猜中竞猜成功的次数，
则甲乙两人获奖的概率
（2）解：由题意得从6人中选取4人共有 种选法，
双胞胎的对数 的取值为 .
则 ，
随机变量 的分布列为 ，
期望为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）求出基本事件总数和符合条件的基本事件数，结合古典概型求概率的公式，即可求出相应的概率；
（2）写出随机变量的可能取值，求出相应的概率，列出分布列，即可求出数学期望。
19．（2022高三上·上海开学考）已知函数.
（1）设是的反函数，若，求的值：
（2）足否存在常数，使得函数为奇函数.若存在，求的值，并证明此时在上单调递增；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为函数 ，所以 .
（2）解：由题意得 .
法一：因为 为奇函数，所以 ，
即 ，
整理得 ，故 .
法二：因为 是定义域为 的奇函数，故 ，即 ，
解得 .
此时 ，定义域为 关寸原点对称，
且
故当 时， 为奇函数.
任取 ，则
因为 ，所以 且 ，
故 ，即函数 在 上单调递增.
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；反函数
【解析】【分析】（1）根据指数函数和与其同底的对数函数互为反函数，写出相应的反函数，代入即可求出相应式子的值；
（2）根据 为奇函数，所以 ，代入解方程，即可求出m的值，再利用定义证明函数的单调性即可。
20．（2022高三上·上海开学考）已知为椭圆内一定点，为直线上一动点，直线与椭圆交于两点（点位于两点之间），为坐标原点.
（1）当直线的倾斜角为吋，求直线的斜率：
（2）当的面积为时，求点的横坐标；
（3）设，试问是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：当直线 的倾斜角为 时，其斜率 ，
直线 的方程为 .
联立 ，解得 ，即 .从而 ，
即直线 的斜率为
（2）解：由题意，设直线 的方程为 .
联立 ，消去 ，整理得 .
设 ，则
由 ，得 ，
解得
故直线 的方程为 .
令 ，得点 的横坐标为±4.
（3）解：法一：①当直线 与 轴重合忖， ，
故 .
②当直线 不与 轴重合时，设直线 的方程为 .
设 ，由（2）得
从而
即
综上， 定值1.
法二：已知直线 的斜率存在，设 线 的方程为 ，
山 得 ，
设 ，
所以
因为 ，
所以 ，
则 .
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据直线 的倾斜角为 ，得到斜率为1，利用点斜式，写出直线PQ的方程，联立解方程组求出Q的坐标，即可得到OQ的斜率；
（2）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系，结合弦长公式及点到直线的距离公式，求出直线的斜率，即可得到直线方程；
（3）设出直线方程，与椭圆方程联立，表示出相应的参数，代入相减求值即可。
21．（2022高三上·宝山模拟）已知函数，无穷数列满足，.
（1）若，写出数列的通项公式（不必证明）；
（2）若，且，，成等比数列，求的值；问是否为等比数列，并说明理由；
（3）证明：，，，，成等差数列的充要条件是.
【答案】（1）因为，所以，
所以；
（2）因为
当时，由，
所以，
所以，即为等比数列；
当时，由舍，
所以，
因为，
所以数列不是等比数列；
综上，当时，是等比数列，当时，不是等比数列；
（3）充分性：当时，由(2)知，此时为等差数列；
必要性：当时， ，所以，
所以，数列为递增数列，
易知，存在，此时，与矛盾，舍去；
当时，由，所以，
所以，，即为等差数列；
当时，由与不符，舍去；
综上，，，，，成等差数列的充要条件是 .
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比关系的确定
【解析】【分析】(1)代入 ，得到奇、偶项的值，从而得到数列的通项公式；
(2)由 ，分 和 两种情况分别求出a1的值，再求出a2，a3，a4判断数列 是否为等比数列；
(3)证明充分性和必要性即可。
1 / 1上海市上海财大附属北郊高中2023届高三上学期9月开学考试数学试题
一、填空题
1．（2022高三上·上海开学考）已知集合，则 .
2．（2022高三上·金山模拟）函数的定义域是
3．（2019高三上·吴中月考）若复数z满足 （i为虚数单位），则 .
4．（2022高三上·上海开学考） 的展开式中的系数为 .（结果用数值表示）.
5．（2022高三上·上海开学考）已知，则的值为 .
6．（2022高三上·金山模拟）设P为直线上的一点，且位于第一象限，若点P到双曲线的两条渐近线的距离之积为27，则点P的坐标为
7．（2022高三上·金山模拟）已知，，且，则的最小值为
8．（2022高三上·宝山模拟）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 .
9．（2022高三上·上海开学考）已知数列的用项和为，且满足，则 .
10．（2022高三上·上海开学考）袋中有一个白球和个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进个白球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是 .
11．（2022高三上·宝山模拟）已知定义在上的函数满足，当时，，则方程有 个根.
12．（2022高三上·上海开学考）在平面直角坐标系中，已知是上的两个不同的动点，满足，且恒成立，则的数最小值是 .
二、选择题
13．（2022高三上·上海开学考）已知a、b∈R，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不允分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2022高三上·上海开学考）下列函数中，以为周期在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022高三上·上海开学考）如图，在棱长为1的正方体，中，P O R分别是棱的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022高三上·上海开学考）设，定义运算“”利“”如下：.若正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题
17．（2022高三上·上海开学考）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截而是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.
（1）求此圆锥的表面积；
（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小.
18．（2022高三上·上海开学考）甲 乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独：②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知，若，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖.
（1）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；
（2）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏：这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望.
19．（2022高三上·上海开学考）已知函数.
（1）设是的反函数，若，求的值：
（2）足否存在常数，使得函数为奇函数.若存在，求的值，并证明此时在上单调递增；若不存在，请说明理由.
20．（2022高三上·上海开学考）已知为椭圆内一定点，为直线上一动点，直线与椭圆交于两点（点位于两点之间），为坐标原点.
（1）当直线的倾斜角为吋，求直线的斜率：
（2）当的面积为时，求点的横坐标；
（3）设，试问是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由.
21．（2022高三上·宝山模拟）已知函数，无穷数列满足，.
（1）若，写出数列的通项公式（不必证明）；
（2）若，且，，成等比数列，求的值；问是否为等比数列，并说明理由；
（3）证明：，，，，成等差数列的充要条件是.
答案解析部分
1．【答案】{x｜2＜x＜3}
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以{x｜2＜x＜3} ，
故答案为： {x｜2＜x＜3} .
【分析】利用集合的交集运算求解.
2．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】因为函数，
所以，
解得，
所以函数的定义域是。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合对数型函数的定义域求解方法，进而求出函数 的定义域 。
3．【答案】2
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】 .
.
故答案为：2
【分析】首先将复数化简为复数的代数形式，再计算模长即可.
4．【答案】160
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 解： 的系数为 ，故答案为：160.
【分析】直接由通项公式直接代入计算即可.
5．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解： ，故答案为： .
【分析】直接代入二倍角的余弦公式计算即可.
6．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设，双曲线的两条渐近线为，即，
则点P到双曲线的两条渐近线的距离之积为，解得：，
所以点P的坐标为。
故答案为：。
【分析】设，再利用双曲线渐近线求解方法，进而求出双曲线的两条渐近线，再利用点到直线的距离公式得出点P到双曲线的两条渐近线的距离之积，再结合已知条件得出点P的横坐标，再利用代入法得出点P的纵坐标，从而求出点P的坐标。、
7．【答案】25
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为25。
故答案为：25。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
8．【答案】
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】对称轴方程为，
在区间上是增函数，所以.
故答案为：.
【分析】 由已知结合二次函数的性质，结合已知区间与对称轴的位置关系，即可求解出实数的取值范围 .
9．【答案】n2
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故数列 为等差数列，故
【分析】根据等差数列的通项公式，求出公差d，结合等差数列的前n项和公式即可求出Sn。
10．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】取了N次都没有取到黑球的概率为
【分析】根据古典概型求出相应的概率，结合相互独立事件概率的计算，即可求出相应的概率。
11．【答案】10
【知识点】函数的图象；函数的周期性
【解析】【解答】由可知，函数周期为，
作出函数与，
由图象可知，与有10个交点，
所以方程有10个根.
故答案为：10
【分析】先求出函数的周期，利用已知的解析式，作出函数与的图象，由图象即可得到方程根的个数.
12．【答案】49
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】因为 ，所以 垂直平分 ，设 与 交于点 ，
其中点 .
设 ，则 ，
所以 .
因为 恒成立，只需求出 的最大值即可，
在 中，由余弦定理得
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 的最小值为49.
【分析】根据平面向量的数量积运算，结合余弦定理及二次函数的最值，即可求出a的最小值。
13．【答案】D
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【解答】当 时，满足 ，不满是 ；
当 时，满是 ，不满是 ：
故为既不充分也不必要条件，故选D.
【分析】根据不等式的性质，即可确定充分必要性。
14．【答案】A
【知识点】三角函数的单调性；正弦函数的周期性；余弦函数的周期性
【解析】【解答】因为 的周期为 ，故排除D，且在区间 上单调递增，
故选A.
【分析】根据正余弦函数的周期性，确定每个函数的最小正周期，结合单调性，逐一判断即可。
15．【答案】C
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】如图，连接 ，并分别取它们的十点 ，
连接 ，
则 且 ，
连接 ，得 ，因为 平面 ，又 平面 ，
则 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
同理可得 ，又 ，则 平面 ，
所以 平面 平面 平面 ，
则三棱柱 为直三棱柱，
由正方体的棱长为1，得 ，
故 .故选C.
【分析】根据线面垂直的判定定理，确定三棱柱 为直三棱柱，结合棱柱体积的计算，即可求出相应直棱柱的体积。
16．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 ，
当 时， ，故选项 错误；
当 时， ，故选项 错误；
因为 ，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故选项 正确；
故选D.
【分析】根据两种运算的定义，结合基本不等式，比较大小，逐一进行判断即可。
17．【答案】（1）解：由 ，得 .
又 ，故
即此圆锥的表面积为 .
（2）解：法一：取 的中点 ，连接 .因点 为母线 的巾点，
故 .
所以 为异面直线 与 所成的角.
存Rt 中， ，故 .
H点 为半圆坬 的中点，得 ，
在 中， .
由 底面 得 底面 ，
在 中， ，
故
即异面直线 与 所成角的大小为 .
法二：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系，由题意得 ，
则 ，
，
设异面直线 与 所成角的大小为 ，
则 ，
所以异面直线 与 所成角的大小为 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；异面直线及其所成的角
【解析】【分析】（1）求出圆锥的侧面积和底面积，相加即可得到圆锥的表面积；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应直线的方向向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出异面直线所成的角。
18．【答案】（1）解：基本事件的总数为 个，记事件A为“甲乙两人一次竞猜成功”，
若 ，则共有6种竞猜成功；
若 时，b分别有2个值，
而 或5时， 只有一种取值.
由古典概型的概率计算公式得 .
设随机变量 表示在3次竞猜中竞猜成功的次数，
则甲乙两人获奖的概率
（2）解：由题意得从6人中选取4人共有 种选法，
双胞胎的对数 的取值为 .
则 ，
随机变量 的分布列为 ，
期望为
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）求出基本事件总数和符合条件的基本事件数，结合古典概型求概率的公式，即可求出相应的概率；
（2）写出随机变量的可能取值，求出相应的概率，列出分布列，即可求出数学期望。
19．【答案】（1）解：因为函数 ，所以 .
（2）解：由题意得 .
法一：因为 为奇函数，所以 ，
即 ，
整理得 ，故 .
法二：因为 是定义域为 的奇函数，故 ，即 ，
解得 .
此时 ，定义域为 关寸原点对称，
且
故当 时， 为奇函数.
任取 ，则
因为 ，所以 且 ，
故 ，即函数 在 上单调递增.
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；反函数
【解析】【分析】（1）根据指数函数和与其同底的对数函数互为反函数，写出相应的反函数，代入即可求出相应式子的值；
（2）根据 为奇函数，所以 ，代入解方程，即可求出m的值，再利用定义证明函数的单调性即可。
20．【答案】（1）解：当直线 的倾斜角为 时，其斜率 ，
直线 的方程为 .
联立 ，解得 ，即 .从而 ，
即直线 的斜率为
（2）解：由题意，设直线 的方程为 .
联立 ，消去 ，整理得 .
设 ，则
由 ，得 ，
解得
故直线 的方程为 .
令 ，得点 的横坐标为±4.
（3）解：法一：①当直线 与 轴重合忖， ，
故 .
②当直线 不与 轴重合时，设直线 的方程为 .
设 ，由（2）得
从而
即
综上， 定值1.
法二：已知直线 的斜率存在，设 线 的方程为 ，
山 得 ，
设 ，
所以
因为 ，
所以 ，
则 .
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据直线 的倾斜角为 ，得到斜率为1，利用点斜式，写出直线PQ的方程，联立解方程组求出Q的坐标，即可得到OQ的斜率；
（2）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系，结合弦长公式及点到直线的距离公式，求出直线的斜率，即可得到直线方程；
（3）设出直线方程，与椭圆方程联立，表示出相应的参数，代入相减求值即可。
21．【答案】（1）因为，所以，
所以；
（2）因为
当时，由，
所以，
所以，即为等比数列；
当时，由舍，
所以，
因为，
所以数列不是等比数列；
综上，当时，是等比数列，当时，不是等比数列；
（3）充分性：当时，由(2)知，此时为等差数列；
必要性：当时， ，所以，
所以，数列为递增数列，
易知，存在，此时，与矛盾，舍去；
当时，由，所以，
所以，，即为等差数列；
当时，由与不符，舍去；
综上，，，，，成等差数列的充要条件是 .
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比关系的确定
【解析】【分析】(1)代入 ，得到奇、偶项的值，从而得到数列的通项公式；
(2)由 ，分 和 两种情况分别求出a1的值，再求出a2，a3，a4判断数列 是否为等比数列；
(3)证明充分性和必要性即可。
1 / 1
