2022-2023 学年第二学期高二期中考试数学
参考答案
1.A 2.C 3.C 4.D 5.D 6.C 7.D 8.B 9.BC 10.ACD 11.ABC 12.ACD
1
13. 150 14. 55 15. 72 16. 1p(1 p)
6.【详解】由题意，分两类：第一类，当 4人完成的工作数是 3，1，1，1时，首先将 6项工
C3C1C1C1
作分成 4 组，一组 3 项，另外三组各 1 项，共有 6 3 2 13 种不同方式，再分配给 4 个人共A3
C3C1C1 16 3 2C1 4
3 A4 480种不同方式；第二类，当 4 人完成的工作数是 2，2，1，1 时，首先将 6A3
C2 2 1 1
项工作分成 4组，两组 2 项，另外两组各 1 项，共有 6
C4C2C1 种不同方式，再分配给 4 个
A2A22 2
C26C
2C1C14 2 1 4人共 2 2 A4 1080种不同方式；综上，共有 1560种不同安排方式.A2 A2
t 1
7【. 详解】令1 2x t，则 x ，由 x5 2x 1 7 a 20 a1 1 2x a2 1 2x a12 1 2x2
12
可得 t 2
7 t 1 5
a a t a t 2 a t12 ，
32 0 1 2 12
令 f t t 2
7 t 1 5
a a 2 12
32 0 1
t a2t a12t
对于 A 7选项， t 2 的最高次项 t7的系数为1， t 1 5 的最高次项 t5的系数为1，
12 f 1 a a
a 1 B a f 1 0 C 0 1
a2 a12 0
故 12 ；对于 选项， i ；对于 选项， ，32 i 0 f 1 a0 a1 a2 a12 3
7
6 f 1 f
a
1 37 12
所以， 2i ；对于 D选项，2 2 2
i ai f 2 0 .
i 0 i 0
0.2 0.4 0.2
8. 2【详解】由已知 a b 2 2 e 2π ，π e πe
又 e2 2.72 7.29 2 π，所以， a b 0，所以 a b .
令 f x 2x πsinx x 0, π ，
6
，则 f x 2 π cosx .
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令 g x 2 π cos x π ，则 g x πsin x 0在 0, 上恒成立， 6
g x 2 π cos x 0, π 所以 在 上单调递增，所以， f x 2 π cosx
在 0,
π
上单调递增. 6 6
f π 2 πcos π 2 3π 0 f x 0 π 又 ，所以， 在 0, 上恒成立，
6 6 2 6
所以， f x 2x πsinx 0, π 在 上单调递减. 6
又 f 0 0 0 0.1 π， ，所以有 f 0.1 0.2 πsin 0.1 0，即0.2 πsin 0.1，整理可得
6
0.2
sin 0.1，所以 a c . 综上所述，b a c
π
9.【详解】对于 A， x2 12.981 6.635，小概率值 0.010的独立性检验，可以在犯错误的
概率不超过 1%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关””；
对于 B，m 18 72,m 54；
对于 C，x2 12.981 7.879，根据小概率值 0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不
超过 0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”；
对于 D， n 78 36 42
x 3 4 6 7 5, y 2.5 3 4 5.910.【详解】 3.85，
4 4
3.85 0.7 5 a,a 3.85 0.7 5 0.35，所以 y 0.7x 0.35，
所以变量 x与 y正相关，y与 x的相关系数 r 0，a 0.35，产量为 8吨时预测所需材料约
为0.7 8 0.35 5.95吨.
11.【详解】记第一次抽到第 i号球的事件分别为 Ai i 1,2,3 ,则有
P A1
1 1
，P A2 P A ，2 3 4
对于 A，在第一次抽到 2号球的条件下，将 2号球放入 2号盒子内，因此第二次抽到 1号球
1
的概率为 P ，故 A选项正确；
2
对于B，记第二次在第 i号盒子内抽到3号球的事件分别为 Bi i 1,2,3 ,而 A1，A2，A3两两互斥，
和为 ， P B1 | A1
1
，P B2 | A
1 1
2 ，P B3 | A3 ，即第二次抽到 3号球的事件为 B，4 4 6
3 3
P B P (AB ) P (A )P (B |A ) 1 1 1 1 1 1 11 i i i i i ，
i 1 i 1 2 4 4 4 4 6 48
故 B选项正确；
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对于 C，记第二次在第 i号盒子内抽到 3号球的事件分别为Ci i 1,2,3 ,而 A1，A2，A3两两互斥，
1 1 1
和为 ， P C1 | A1 ，P C2 | A2 ，P C3 | A3 ，4 4 6
记第二次抽到 3号球的事件为C，
3 3
P C P(AiCi ) 1 1 1 1 1 1 11 P(Ai )P(Ci | A i ) ,
i 1 i 1 2 4 4 4 4 6 48
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同，
1 1 1 1
P A1 P C1 |A 1 2 4 6 P A PP A |C
C |A 3
1 1 11 = ，P A |C
2 2 2 4 4
P C 11 2 2 P C 11
= ，
11
48 48
1 1
P A P C |A
P A3 |C
3 3 3 23 4 6 = ，P C 11 11
48
即如果第二次抽到的是 3号球，则它来自 1号盒子的概率最大，故 C选项正确；
C2C22
对于 D，把 5个不同的小球分成 3组的不同分组方法数是 C 5 35 A2
种，将每一种分组方
2
3
法分成的小球放在 3个盒子中有 A3 种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是
C2C2C2 5 3
3
5 2 A3 150A 种，故 D选项错误 2
x 2 e x , x 0
12. 【解析】对 AB：f x x 1 1 x
ex
, x 0
故得到函数 y f x 图象如图所示；
对 D：不等式 f x a x 1 在 1, 恰有两个
f 1 a 1 1
整数解，如图，必为 x 0，x 1，故
f 2 a 2 1
a 3 2 解得 2 , ，故 D对； e e
对 C：如图为函数 y f x 的图象，则
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f x
2 2
a f x 0 f x 0 或 f x a，因为方程 f x a f x 0有 3
个不相等的实数根，所以只需 f x a a 1 有两个不等实根，故 2 ,
4
，故 C正确.
e e
13.【详解】由题意，考试的成绩 X服从正态分布 N (120, 2 )． 考试的成绩 X的正态密度
曲线关于 X 120对称， P(100 X 120) 0.495，
P(100 X 140) 2 0.495 0.99 ， P(X 140) P(X 100) 1 (1 0.99) 0.005，
2
该市成绩在 140分以上的人数为 0.005 30000 150．
14.【详解】不定方程 x y z 9的非负整数解的个数 将9个相同小球放入三个盒子，允
许有空盒的放法种数. 现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将12个相同小球
放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在12个小球中形成的空位（不包含两端）中插
入两块板即可，因此，不定方程 x y z 9的非负整数解的个数为
C 211 55 .
15.【解析】如图，假设 5个区域分别为 1，2，3，4，5，分 2种情
况讨论：①当选用 3种颜色的花卉时，2，4同色且 3，5同色，共有
3 3
种植方案C4 A3 24（种），②当 4种不同颜色的花卉全选时，即 2，
4或 3 1 4，5用同一种颜色，共有种植方案C2 A4 48（种）， 则不同
的种植方案共有 24 48 72（种）.
1
16. k 1【详解】因为 P Y k p 1 p ,k 1, 2,3, ， E(Y ) p ．
1
∴若 P Y k p 1 p k 1 ,k 2,3, ，则 E(Y ) pp ．那么
E Z 2 p 1 p 2 1 p p 3p 1 p 2 3 1 p p2 kp 1 p k 1 k 1 p pk 1
1
p 2 1 p p 3 1 p p2 k 1 p pk 1
p ．
A 2 p 3p 2 kp k 1 pA 2p2 3p3 k 1 pk 1设 k ． k kpk ．
p 1 p k 1
∴ 1 p A 2 p p 2 p 3 p k 1 kp k p kp kk ．1 p
p 1 p 1
∴ k 时， 1 p Ak p 1 p．∴
E(Z ) p p 1
p 1 p p(1 p) ．
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n k
1 k n kx 1 1
3n 5k
17.（1）因为 展开式的通项公式为T =C
k 6
2 3 x k 1 n
x C x ，
2 3 x 2k
n
k 0,1, 2 ,n 1 1 1，所以 a C0 1,a C1 n,a 1 C2
n n 1
1 20 n 2 21 n 2 3 22 n
,
8
n n 1
依题意得 2 1 n 1 ，即 n n 1 8(n 1)，由已知 n 2，所以 n 8，
2 8
8
1
所以 x 的展开式有 9项，二项式系数最大的项为第 5项，
2 3 x
1 2 35 2
所以T C4x3 x35 4 8 .2 8
1 24 5k 24 5k
（2）由T k 6k (k 0,1,2,3,4,5,6,7,8) 1 k C8x 为有理项知， 为整数，得 k 0，6，2 6
1 24 6
所以展开式中所有有理项为T C0 6 41 0 8x x 和T
1 6 6 7
2 7
6 C8x .2 16x
18【. 详解（】1）根据年轻人标准结合图 1可得年轻人占比为 80%，则年轻人人数为 100 80%=80，
则非年轻人为 20人，
5
根据图 2表格得健身达人所占比 60%，所以其人数为 100 60%=60，根据其中年轻人占比 ，
6
5
所以健身达人中年轻人人数为60 50，则非年轻人为 10人；
6
健身爱好者人数为 100-60=40，再通过总共年轻人合计为 80人，则健身爱好者中年轻人人数
为 80-50=30，
根据非年轻人总共为 20人，则健身爱好者中非年轻人人数为 20-10=10，
所以列联表为
年轻人 非年轻人 合计
健身达人 50 10 60
健身爱好者 30 10 40
合计 80 20 100
2 100 50 10 30 10
2
K 1.042 3.841所以没有 95%的把握认为“健身达人”与年龄有关．
80 20 60 40
1 12 （ ）由（1）知，既是年轻人又是健身达人的概率为 2 ，则随机变量 X满足二项分布 X ~ B 4, ， 2
4
X 0,1, 2,3, 4 P X 0 C0 1 1 1 P X 1 C1 1
1 3
， 4 ， 4 1
1
1
，
2 16 2 2 4
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2 2 3 1 4
P X 2 C2 1 1 34 1 ， P(X 3)
1 1
C3 1 1 1 14 ， P(X 4) C
4
4
2 2 8 2 2 4 2 6 1
故 X的分布列：
X 0 1 2 3 4
1 1 1
P 1 3
16 4 8 4 16
则 X 的数学期望为 E X 4 1 2．
2
1 1 1
19.【详解】（1 3 2）当m 1时， f (x) x x x ，所以 f (1) 0，点 (1, f (1))为切点，
3 2 6
f (x) x2 x 1 f (1) 1，函数在点 (1,0)处的切线方程为： y x 1，即 x y 1 0；
（2）∵ f (x) x2 mx 1，
∴若选①：函数 f (x)在区间 (m,m 1)上是单调减函数，则有：
f (x) 0在区间 (m,m 1)上恒成立，即 x2 mx 1 0在 (m,m 1)上恒成立，
f (m) m2 m2 1 0 2
∴ ，解得f (m ≤m≤0
；
1) (m 1)
2 m(m 1) 1 0 2
1 1
若选②：函数 f (x)
在 , 2
上存在减区间，则有 f (x) 0 在区间 , 2 上有解，
2 2
1 1
即得m
1
x 1 在区间 , 2 上有解，此时令 g(x) x，显然 g(x)在区间 , 2 上单调递减，x 2 x 2
所以 g(x)
1 3
g
3
，故有m
2 2 2
；
若选③：函数在区间 (m, )上存在极小值，则函数 f (x)的极小值点应落在 (m, )内.
f (x) x2 mx 1 0 x m m
2 4 x m m
2 4
令 ，求得 1 ， 2 ，2 2
此时可得， f (x)在 , x1 ， x2 , 上单调递增；在 x1, x2 上单调递减；
2
x x f (x) m m 4所以 2是函数 的极小值点，即得 m m 2 4 3m ，
2
当m 0时，不等式恒成立，当m 0时，m2 4 9m2，解之可得0 m 2 ，所以m 2 .
2 2
7 7
20.(1)对于模型①，因为 y 2 1444 2 2，故对应的 (yi y) yi 7 y 2 1750，
i 1 i 1
第 6 页 共 8 页
R2 79.13故对应的相关指数 1 1 0.955，1750
2 20.2
对于模型②，同理对应的相关指数 R2 1 0.988，故模型②拟合效果更好．1750
(2)当 x 13时，
x 21 22 23 24 25 23,y 68.5 68 67.5 66 65后五组的 67 ，
5 5
由最小二乘法可得a 67 ( 0.7) 23 83.1，
所以当 x 13时，确定 y与 x满足的线性回归直线方程为 y 0.7x 83.1
故当投入 20亿元时，预测公司的收益约为： 0.7 20 83.1 69.1（亿元）．
21.解：(1)由频率分布直方图的性质得：(0.004 + 0.022 + 0.030 + 0.028 + m + 0.004) × 10 =
1，解得 m = 0.012
(2)由 70,80 , 80,90 ， 90,100 三组数据频率比为 0.28: 0.12: 0.04 = 7: 3: 1，
所以从 70,80 , 80,90 ， 90,100 三组中分别抽取 7人，3人，1人，
则ξ的所有可能取值为 0，1，2，3，
3 2 1 1 2 3
P(ξ = 0) = C8 = 56 C C 28 C C 8 C3 ，P(ξ = 1) = 8 33 = ，P(ξ = 2) = 8 33 = ，P(ξ = 3) = 33 =
1
，
C11 165 C11 55 C11 55 C11 165
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 56
28 8 1
165 55 55 165
则期望 E(ξ) = 0 × 56 + 1 × 28 + 2 × 8 + 3 × 1 = 9；
165 55 55 165 11
(3)B等级的概率为(0.028 + 0.012) × 10 = 0.4，则 B等级有 40人，
所以 P(η = k) = Ck100(0.4)k(0.6)100 k, k = 0,1,2, , 40，
Ck100(0.4)k(0.6)100 k Ck+1(0.4)k+1(0.6)99 k所以 100
Ck k
,
100(0.4) (0.6)100 k Ck 1100 (0.4)k 1(0.6)101 k
100! × 0.6 100! × 0.4
k!(100 k)! (k+1)!(99 k)!
即 100! ,× 0.4 100! × 0.6
k!(100 k)! (k 1)!(101 k)!
解得 39.4 k 40.4，所以当 k = 40时，P(η = k)有最大值．
22.【解析】（1） g x 定义域为 0, ，
g x x ln x bx 1 0 b ln x 1有两个零点， 关于 的方程 有两个相异正根，即 有两个
x
h x ln x 1相异正根，令 x 0 ln x， h x 2 ，令 h x 0， x 1x x
x 0,1 1 1,
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h x 0
h x 单调递增 极大值 单调递减
所以 h x h 1 1，当 x 0时， h x ，当 x 时， hmax x 0，
所以0 b 1，所以 1 b 0
（2） a 1, x 0，所以 xeax xex 原命题等价于 xex lnx bx 1对一切 x 0, 恒成立，
lnx 1
b ex 对一切 x 0, 恒成立，
x x
2 x
F x lnx 1 ex (x 0) b F (x) , F x ex lnx x e lnx令 ， min x x x2 x2
令 h x x2ex lnx, x 0, ， 则 h x 2xex x2ex 1 0, h x 在 0, 上单增，
x
1
2
又 h 1 e 0,h 1 ee 1 e0 1 0，
e
x 1 0
2 x
,1 使 h x0 0，即 x e 0 lnx 0①，
e 0 0
当 x 0, x0 时， h x 0，即 F x 在 0, x0 递减
当 x x0 , 时， h x 0，即 F x 在 x0 , 递增，
F (x) x lnx 10 0min F x0 e x0 x0
ln 12 x
由①知 x 00e lnx0 ， x0e
x lnx 10 0 ln 1 ln 1 e x0 ，
x0 x x
0 0 x
0
1
x函数 x xe 在 0, 单调递增， x0 ln x lnx ,x 即 0 00
F (x)min e
lnx x 1 1 10 0 1 1, b 1,
x0 x0 x0 x0
实数b的取值范围为 ,1 .
第 8 页 共 8 页青岛市名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
A.0.2
B.0.48
C.0.72
6.8
本试卷共8页，22题.全卷满分150分。考试用时120分钟，
6,某个比奏安排4名志愿者完成6项工作，每人至少完成一项，每项工作由代人光成，则不
注意醇项：
同的安排方式有多少种（()）
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号签填写在答题卡和试卷指定位置上
A,7200种
B.4800种
C.1560种
D.080种
2,回答选择题时，遮出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
7.已知x(2x-1)'=a。+a（1+2x.412++a(1+2x,则下列计算正确的是()
需要改动，用橡皮擦干净后，再适涂其他答案标号、回答非远择翻时将答案写在答题卡
上，写在本试卷上的无效：
A.a.=2
B.二a
C.之a*3
D.22a,=0
f10
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分、共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
8.已知a=02b=s≈2.71，c=sin0.1,则
一项是符合题目要求的
A.a
B.b
D.c1.已知345=45，则x答于（)
二、多项选择题：“本题共4小题，每小题5分，共20分：·在每小题给出的选项中，有多项符
A.6
B.13
C.6或13
D.12
合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
2.对两个变量少和x进行回归分析，得到一组样本数据：（任八），（)，，(5y),
9为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如
下的2×2列联表（个别数据暂用字母表示）：
则下列说法中不正确的是()
幸福感强
幸福感弱
总计
A.用样本相关系数，的绝对值来刻画样本数据之间线性相关的程度，越接近1，说明样本
阅读量多
m山
18
72
数据的线性相关程度越强
阅读量少
36
n
8
B。由样本数据得到的回归方程户=x+à必过样本点的中心（无，习
总计
90
60
150
C.用决定系数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明榄型的拟合效果越好
计算得：x2≈12.981，参照下表：
D.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
a
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
3.随机变量5的分布列如图，且a,b,c成等差数列，则P吲=)=()
对于下面的选项，正确的为（)
B月
C.3
D.不确定
A.根据小概率值a=0.010的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱悉关”
4.2-1除以7的余数是（)
B.m=54
A.0
B.1
C.2
D.3
C.根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为
缅
高二数学第2页，共8页