第十七章：勾股定理练习题（含解析）2021-2022学年新疆地区八年级下学期人教版数学期末试题选编

第十七章：勾股定理
一、单选题
1．（2022春·新疆克拉玛依·八年级统考期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．64
2．（2022春·新疆阿克苏·八年级统考期末）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝5，BD＝4，DC＝2，则AC=（ ）
A．13 B． C． D．5
3．（2022春·新疆塔城·八年级统考期末）如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．若把这根芦苇拉向水池一边，顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．6 B．5 C．13 D．12
4．（2022春·新疆巴音郭楞·八年级统考期末）由线段a，b，c可以组成直角三角形的是（　　）
A．a＝5，b＝8，c＝7 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝24，b＝7，c＝25 D．a＝5，b＝5，c＝6
二、填空题
5．（2022春·新疆阿克苏·八年级统考期末）如图，等腰中，，，于，且．则__________．
6．（2022春·新疆昌吉·八年级统考期末） 学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为______．
7．（2022春·新疆克拉玛依·八年级统考期末）如图，正方体的盒子的棱长为，的中点为，一只蚂蚁从点沿正方体的表面爬到点蚂蚁爬行的最短距离是______．
8．（2022春·新疆巴音郭楞·八年级统考期末）如图所示：分别以直角三角形三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，若，，则的长为__________．
9．（2022春·新疆塔城·八年级统考期末）如图，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是_______．
10．（2022春·新疆省直辖县级单位·八年级统考期末）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距______________海里．
三、解答题
11．（2022春·新疆阿克苏·八年级统考期末）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
12．（2022春·新疆昌吉·八年级统考期末）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号)
13．（2022春·新疆乌鲁木齐·八年级校统考期末）如图，在四边形中，，，，且．求：
(1)的度数；
(2)四边形的面积（结果保留根号）．
14．（2022春·新疆塔城·八年级统考期末）如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到，使梯子的底端到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至，那么的长是多少？
15．（2022春·新疆乌鲁木齐·八年级统考期末）甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行．2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距40海里，问乙船的速度是每小时多少海里？
16．（2022春·新疆喀什·八年级统考期末）如图，在边长为1的正方形网格中，观察图像，回答下列问题：
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若与全等，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
17．（2022春·新疆喀什·八年级统考期末）如图，有一块形如四边形ABCD的土地，测得，，，，且，求这块土地的面积．
18．（2022春·新疆巴音郭楞·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝5，BD＝4，CD＝．
（1）求AD的长．
（2）求△ABC的周长．
参考答案：
1．D
【分析】设直角三角形的三边长分别为a、b、c，由题意得，代入得到，计算求出答案即可．
【详解】如图，设直角三角形的三边长分别为a、b、c，
由题意得，
，
∴，
∴字母A所代表的正方形的面积是，
故选：D．
【点睛】此题考查了以弦图为背景的证明，熟记勾股定理的计算公式、理解三个正方形的面积关系是解题的关键．
2．B
【分析】在中，由勾股定理可求得，则在中，由勾股定理可求得．
【详解】解：，
，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练运用勾股定理求直角三角形的边长是解题的关键．
3．C
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，芦苇与水池边的原距离为水池边的一半，即为尺，如图，
根据勾股定理得：，
解得：，
芦苇的长度为：（尺，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
4．C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】52+72≠82，故不是直角三角形，故选项A错误；
22+32≠42，故不是直角三角形，故选项B错误；
72+242=252，故是直角三角形，故选项C正确；
52+52≠62，故不是直角三角形，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．/
【分析】在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD，再设AD=x，则AB=AC=AD+CD=6+x，最后在Rt△ABD中由勾股定理求出x即可求解．
【详解】解：在Rt△BCD中，由勾股定理可知，
设AD=x，则AB=AC=AD+CD=x+6，
在Rt△ABD中，由勾股定理可知AB =AD +BD ，代入数据：
(x+6) =x +8 ，解得x=，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，本题的关键是设AD=x，进而将AB用x的代数式表示，在Rt△ABD中使用勾股定理求出x求解．
6．96
【分析】由，则为直角三角形，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴
，
故答案是：96．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，本题的关键是确定，然后利用面积公式即可求解．
7．
【分析】根据题意，先将正方体展开，再根据两点之间线段最短求解．
【详解】解：将正方体展开，连接、，
根据两点之间线段最短，
，
．
如图，
，
，
最短距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
8．4．
【分析】先设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S2的值．
【详解】解：设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∴S1=a2=25，S2=b2，S3=c2=9，
∵△ABC是直角三角形，
∴c2+b2=a2，即S3+S2=S1，
∴S2=S1-S3=25-9=16，
∴BC=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用及正方形的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．
9．/36平方米
【分析】连接AC，根据勾股定理，求得AC，再根据勾股定理的逆定理，判断 是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和
【详解】解：连接AC，如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°．
∵AB=3米，BC=4米，
∴AC==5米．
∵CD=12米，DA=13米，
∴，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD为直角三角形，
∴草坪的面积等于．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．构造直角三角形是解题关键．
10．20
【分析】根据题意画出图形，根据题目中AB、AC的夹角可知它为直角三角形，然后根据勾股定理解答．
【详解】如图，
∵由图可知AC=16×1=16（海里），
AB=12×1=12（海里），
在Rt△ABC中，BC=＝20（海里）．
故它们相距20海里．
故答案为：20
【点睛】本题考查的是勾股定理，正确的掌握方位角的概念，从题意中得出△ABC为直角三角形是关键．
11．(1)这个梯子的顶端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】（1）AC=25米，BC=7米，根据勾股定理即可求得的长；
（2）由题意得： =20米，根据勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，
（米）
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得： =20米，
（米）
则：=15-7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
12．船向岸边移动了(12－)米
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，
∴AB＝＝12(米)，
由题意，得CD＝13－0.5×10＝8(米)，
∴AD＝＝＝ (米)，
∴BD＝AB－AD＝(12－)米，
答：船向岸边移动了(12－)米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合的思想的应用．
13．(1)
(2)
【详解】解：（1）∵，且，
∴，，
而，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
（2）∵，
而，
，
∴．
14．BB’的长是米
【分析】利用勾股定理求出AB，OB'的长，可得BB'＝(7 )米．
【详解】由题意可知：∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
，米
在Rt中，由勾股定理得
米，∴=米．
答：的长是米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15．乙船的速度是16海里/时．
【分析】根据已知判定∠CAB为直角，根据路程公式求得AC的长．再根据勾股定理求得AB的长，从而根据公式求得其速度．
【详解】解：∵甲的速度是12海里/时，时间是2小时，
∴AC=24海里．
∵∠EAC=35°，∠FAB=55°，
∴∠CAB=90°．
∵BC=40海里，
∴海里．
∵乙船也用2小时，
∴乙船的速度是16海里/时．
16．(1)直角三角形
(2)，，
【分析】（1）设网格的小正方形的边长为1，求出的长即可判断；
（2）根据与全等，找到符合条件的点，即可写出点的坐标．
【详解】（1）解：是直角三角形．
设网格的小正方形的边长为1，
由图可得：，
，，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：当与全等时 ，所有满足条件的点如图所示，
则点的坐标为，，．
【点睛】本题主要考查勾股定理，三角形全等的判定，掌握勾股定理以及全等的判定是解题的关键．
17．
【分析】连接BD，将四边形分为两个三角形，分别算出面积相加即可求出答案．
【详解】解：连接BD．
∵，，，
∴是直角三角形，
在中，由勾股定理得．
∵，
即，
∴是直角三角形，．
∴
（）．
答：这块四边形ABCD土地的面积为．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，三角形面积，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
18．（1）3；（2）9+3．
【分析】（1）根据勾股定理求出AD；
（2）根据勾股定理求出AC，计算即可．
【详解】（1）在Rt△ABD中，AD＝=＝3；
（2）在Rt△ACD中，AC＝=＝2，
则△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5+4++2＝9+3．
【点睛】本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．