2022-2023学年第二学期期中质量检测
高二年级 数学参考答案
单项选择题 1.C 2.A 3.B 4.A 5.D 6.A 7.D 8.C
多项选择题 9.CD 10.BCD 11.ACD 12.ABD
填空题 13.（-） 14. 15. 16.（-）
解：由题可知：= 即
该二项式展开的通项为==
令=0得r=6 常数项为=672 ...................... 5
令得： ①
令得： ②
①+②得： 即
令 得：
127 ...................... 10
18.(1)-1 ...................... 4
(2) ...................... 6
= ......................9
又， ......................10
要使恒成立，只需要
......................11
的最小正整数为2 ......................12
19.解：根据题意，圆的方程为：，其圆心为，半径为，
当直线的斜率不存在时，其方程为，
此时直线与圆的交点为，，，符合题意； ....................... 2
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为，
综上，直线的方程为或；.......................6
如图，为圆的切线，连接，，则，
所以为直角三角形，即 ................... 8
设，由知，，
因为，所以，
化简得点的轨迹方程为 .......................1 2
20解：（1）取的中点，连，, 易得且
异面直线和所成角即为
设 则 , ,
为等边三角形，即= 2 .....................3
利用勾股定理证明 ，利用线面垂直的判定定理得证 .....................5
在四棱锥中，已知底面，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，．
由（1）知：是平面的一个法向量，且=（2，-2,0） .....................6
由，设，
则，解得，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得， .....................9
二面角的余弦值为，
，
解得或不合题意 .....................12
解：解：双曲线的焦点到渐近线渐近线的距离为
又，则，
解得，，
则双曲线的方程为： .....................5
证明：当直线斜率不存在时，易知此时，
直线：，不妨设，，； .....................6
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
与双曲线的方程联立，可得，
直线与双曲线的右支相切，可得，
故，
设直线与轴交于，则，
，........9
又双曲线的渐近线方程为，
联立，可得，
同理可得，
则．
综上，即有面积为定值． ........12
22.解：
当时，恒成立，此时函数在内单调递增 ....................2
当时，令得 ,
此时在区间上单调递增，在区间上单调递减....................5
函数有两个不同的零点且，
两式相除得，
若证不等式恒成立，即证，
即证在上恒成立 .....................7
令，
，令，则， .....................8
时，，在上单调递减，
，在为单调递增函数，
，满足条件． .....................10
时，当时，，在上为单调递增函数，
，在上为单调递减函数．
，
不满足条件，舍去．
综上，正实数的取值范围． .....................12湖北省部分省级示范高中
2022-2023学年第二学期期中质量检测
高二年级 数学试题
考试时间：2023 年 4 月
一、单项选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1.已知函数 ( ) = 2 + cosx，则 (0) + ′(0) =
A. -1 B. 0 C. 1 D. 3
2.命题“ = 2”是命题“直线 2 + 2 + 4 = 0 与直线 + 2 + 2 = 0 平行”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设数列{ }是由正数组成的等比数列， 为其前 项和，已知 a2a4 1,S3 7 ，则 S5
15 31 33 17
A. B. C. D.
2 4 4 2
4.2023年 4月 12日湖北省运会在宜昌奥体中心开幕，在观看湖北省运会的同时，也有很多游客
慕名来宜昌旅游，甲乙两名游客准备分别从三峡大坝、三峡人家、三峡大瀑布和清江画廊四个 5A
景区中随机选择一个游玩，记事件 :甲和乙至少一人选择三峡大坝景区，事件 :甲和乙选择的景
点不同，则 ( | ) =
6 1 3 1
A. B. C. D.
7 7 4 4
5.已知函数 ( ) = 2 在区间(2，3)上为单调递增函数，则实数 的取值范围是
A．(0，1) B.[1， + ∞) C．[2， +∞) D．( ∞，1]
6.设计师需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯共 15 只，以不同的点亮方式增加舞台效果．设
计者按每次点亮时，恰有 6 只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须点亮的要求进行
设计，不同点亮方式的种数是
A．28 B. 84 C．180 D．360
7.椭圆的中心在坐标原点， 1, 2, 1, 2分别为椭圆的左、右、上、下顶点， 2为其右焦点，直
线 1 2与直线 2 2交于点 ，若∠ 1P 2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为
1
A.（ 5 1 1） B.（ ，1） C.（1 5 1） D.（ 5 1， ）
2 2
， 0，
2 2 2
高二年级数学试卷 共 4页第 1页
8.已知 是棱长为 4的正方体内切球的一条直径，点 在正方体表面上运动，则 的取值
范围为
A. [1，4] B. [0，12] C. [0，8] D. [1，6]
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是
符合题目要求的，全部答对得 5 分，部分答对得 2 分，答错不得分）
9.已知函数 ( ) = 3 + 2，则
A. 函数 ( )在 R上单调递增 B. ( )有三个零点
C. ( )有两个极值点 D. 直线 = 2 是曲线 = ( )的切线
10.直线 过抛物线 : x2 = 4 的焦点 ，且与 交于 A(x1, y1),B(x2, y2)两点，则下列说法正确的是
A. 抛物线 的焦点坐标为(1，0) B. 的最小值为 4
C. 对任意的直线 ， 1 2 = 1 D. 以 为直径的圆与抛物线 的准线相切
11.如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 是正方形，且 = = 2， ，
分别为 ， 的中点，则
A. ⊥平面
B. 四棱锥 的外接球的表面积为 48
C. 与平面 所成角的正弦值为 6
6
D. 点 到平面 的距离为4 11
11
12.在数学课堂上，老师引导学生构造新数列.在数列的相邻两项之间插入此两项的和形成新的数
列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列 1，2 进行构造，第一次得到数列
1，3，2；第二次得到数列 1，4，3，5，2；...；第 （ ∈ ）次得到数列 1， 1， 2， 3，...，
，2,记 = 1 + 1 + 2 + 3 + . . . + + 2，数列{ }的前 项和为 ，则
A. 3 2 3 +13 = 42 B. + 1 = 2 C. = ( + 3 ) D. = (3 + 2 3)2 4
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分）
13.已知实数 ， 满足 2 = 1，则直线 3 + = 0 必过定点 ．
14.甲袋中有 3个白球、3个红球，乙袋中有 4个白球、2个红球，从两个袋中任选一袋，从中任
取一球，则取到的球是白球的概率为 ．
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15.已知 为数列 的前 项和， > 0， 2 + 2 = 4 ．则数列 的通项公式为 ．
16.若实数 的取值使函数 ( )在定义域上有两个极值点，则叫做函数 ( )具有“凹凸趋向性”，
已知 ′( )是函数 ( )的导数，且 ′( ) =
2
，当函数 ( )具有“凹凸趋向性”时，则
的取值范围为 ．
四、解答题（本题共 6 道小题，共 70 分.解答应写出文字说明和演算步骤）
17.（本小题 10 分）
(1) 1已知二项式(2 + ) 展开后的第 3 项和第 8 项的二项式系数相等，求展开式的常数项；
(2)已知x8 = 0 + 1( + 1) + … + ( + 1)77 + 8( + 1)8，求 2 + 4 + 6 + 8的值．
18.（本小题 12 分）
已知数列{ }为递增的等差数列，其中 3 = 5 且 1， 2， 5成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 =
1
,记数列{ }
的前 n 项和为 ，求使得 < 恒成立的 的最小正整数．( +1)( +1+1) 5
19.（本小题 12 分）
已知圆 : 2 + 2 + 2 4 + 3 = 0．
(1)若直线 过点( 2，0)且被圆 截得的弦长为 2，求直线 的方程；
(2)从圆 外一点 向圆 引一条切线，切点为 ， 为坐标原点，满足| | = | |，求点 的轨迹
方程．
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20.（本小题 12 分）
如图，在四棱锥 中，已知 ⊥底面 ， ⊥ ， // ， = = 2， = 2 ，
异面直线 和 所成角等于 60°．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)在棱 上存在一点 满足 = ，使得二面角 的余弦
值为 3，求实数 的值．
3
21.（本小题 12 分）
2 2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的焦距为 2 5，且双曲线的焦点到渐近线的距离为 ． 4
(1)求双曲线 的方程；
(2)点 ( 0， 0)是双曲线 右支上的动点,设直线 是双曲线 在点 处的切线，且 分别交两条渐近
线 1， 2于 、 两点， 为坐标原点，证明：△ 面积为定值，并求出该定值．
22.（本小题 12 分）
已知函数 = + 1 2 ， ∈ ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设函数 有两个不同的零点 1, 2，且 1 < 2．若不等式 1 + 2 > 0 恒成立，求正实数
的取值范围．
高二年级数学试卷 共 4页第 4页
