第1章 全等三角形全章学案

《全等三角形》
课前准备：硬纸板 三角尺 剪刀
学习目标 1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。
2.掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质，并运用这一性质解决有关的问题。
3.会用符号表示全等三角形及他们的对应元素，培养学生的符号意识。
重点、难点：对全等三角形性质的理解及运用21教育网
学法指导：正确找出两个全等性三角形的对应元素的方法和规律（见综合能力训练）。
学习过程 课前自主预习课本P25—P27内容，独立完成课后练习1、2.
一、回顾旧知，拓通准备
1．判断下列三组图形是否是全等形：
第一组：两个形状不同的三角形； 第二组：两面大小不等的中国国旗；
第三组：形状相同且大小相等的正六边形
2.如何理解两个图形是全等形？猜想什么是全等三角形？
二、概念解析，探索新知
通过预习课本内容，回答下列问题：
1. 叫做全等三角形。
2.如图1若⊿ABC与⊿EDF全等，记作 其中 叫做对应顶点， 叫做对应边， 叫做对应角。（说明： 应写在对应位置上.）
3.全等三角形的 相等 ， 相等。
三、应用新知，培养能力
（3）根据全等三角形的性质，写出例1中全等三角形的对应边，对应角
（4）根据全等三角形的性质，求出对应线段的长度、对应角的度数
四、反思小结，体验收获 本节课学习了哪些知识？你有哪些收获？你有哪些疑惑？
五、当堂检测题 1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；
②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；
④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为：
2.如图△ABC与△DBC能够完全重合，则△ABC与△DBC是____________，
表示为△ABC____△DBC．
3.如图所示，沿直线对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌ ，AB的对应边是 ，BC的对应边是 ，∠BCA的对应角是 ．
4.已知，，，则 ，，和的度数分别为 ， ， ．
5.已知△ABC≌△DEF,∠A=52°,∠B=67°BC=15cm则∠F=____,FE=__cm.
6.如图，若⊿ABD≌⊿EBC，且AB=3，BC=5，则DE的长为（ ）.
（A）2 （B）3 （C）4 （D）以上答案都不正确
7.如图，B、D、C、E在一条直线上，且△ABC≌△FDE，
（1）指出对应顶点、对应边和对应角；
对应顶点：
对应边：
对应角：
（2）在此图形中，你还能得到哪些结论？阐述你的理由.
（3）教师拖动三角形的一个顶点，学生观察图形的变化情况，引导学生得出结论：两个三角形形状虽然改变了，但它们全等的关系仍旧保持不变.得出结论后，教师继续引导学生观察对应边、对应角的变化，并得出结论：21世纪教育网版权所有
（4）教师将△FDE平移，改变两个全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的位置关系，让学生观察对应边、对应角的变化，并引导学生思考在图形的运动变换过程中还有哪些关系保持着不变的性质.
布置作业，巩固提高
1.必做：完成课本A组的题目1----4题目，
2.选做：有余力的同学完成B组的1—2题。
怎样判定三角形全等（第1课时）
课前准备：直尺、圆规、半圆仪
学习目标：（1）熟记角边角公理、角角边推论的内容；
（2）能应用角边角公理及其推论证明两个三角形全等；
（3）通过观察几何图形，提高识图能力。
重点：学会运用角边角公理及其推论证明两个三角形全等。
难点：ASA公理和AAS推论的综合运用。预习案（课前20分钟完成）
学法指导： 1、用15分钟左右的时间，阅读课本P28----29 基础知识。了解全等三角形的判定方法一及推论。
2、完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测及我的疑惑栏目。
一、旧知回顾：怎样的两个三角形叫做全等三角形？
二、教材助读：
（1）、已知△ABC，其中∠A=400，∠B=500,BC=3cm。在纸上画出这个三角形。
（2）、剪下你画出的三角形，与其他同学剪得的三角形进行比较，这些三角形能重合吗？
（3）、改变∠A、∠B的大小（∠A+∠B＜1800）或改变线段BC的长短，按统一条件与同学做一次，所剪下的三角形还能重合吗？
（4）、通过上面的实验，能得到什么结论？与同学交流。
判定方法1： 。
三、预习自测：
(1) 一定是全等三角形的是( )
A.面积相等的三角形 B.周长相等的三角形
C.形状相同的三角形 D.能够完全重合的两个三角形
(2)下列说法中正确的是( )
A.全等三角形的边相等 B.全等三角形的角相等
C.全等三角形的高相等 D.全等三角形等角的对边相等
(3)图13-1-1所示，图中两三角形能完全重合，下面写法中正确的是( )
A.△ABE≌△AFB B.△ABE≌△ABF C.△ABE≌△FBA D.△ABE≌△FAB
(4)图13-1-2所示，△ABC≌△CDA，且AB=CD，下列结论中错误的是( )
A.∠1=∠2 B.AC=CA C.∠D=∠B D.AC=BC
图13-1-1 图13-1-2
四、我的疑惑：——请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。
课内探究（课上45分钟）
一、学始于疑 ——我思考，我收获！
　有一位同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是　　（　　）
A．带①去　　B．带②去　　C．带③去　　 D．带①和②去
　　　　　
请同学用2分钟时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑问开始下面的探究学习。
二、质疑探究——质疑解疑、合作探究
探究一：通过P28实验与探究你得到的结论是
判定1： （角边角判定）
应用格式：
强调：①格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论.②在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的（如公共边，公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）
所以找条件归结成两句话：已知中找，图形中看.
探究二：改变公理1的条件：有两角和其中一角的对边对应相等这样两个三角形是否全等呢？
如图，已知∠FAB=∠EAB，∠F=∠E △ABF与△ABE全等吗？为什么？
推论： （角角边判定）
（注意区别“对应边和对边”）
合作交流：已知：如图，∠1 =∠2 ,∠3 =∠4,△ABD与△CDB全等吗？为什么？
解：全等，理由如下：
在△ABD与△CDB中，
∵ ， ，
∴△ABD≌△CDB
三、当堂检测—有效训练、反馈矫正
1.右图中两个三角形的关系是( )
A.不全等 B.它们的周长不相等 C.全等 D.不确定
2.在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，∠A=∠A1，若要证△ABC≌△A1B1C1，还需要 ( ) A.∠B=∠B1 B.∠C=∠C1 C.AC=A1C1 D.以上全对
3.图13-2-2所示，知∠BDC=∠ACD，∠ADB=∠BCA，求证：△ADC≌△BCD.
图13-2-2
四、达标检测：
1、如图所示，∠1=∠2，∠C=∠E，AB=AD 求证：BC=DE
2、如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，∠CBE=∠BCD
求证：CD=BE，BD=CE
怎样判定三角形全等（第2课时）
学习目标：1、通过经历、探索，理解掌握全等三角形的判定方法2（SAS）
2、能熟练利用判定方法2(SAS )解决问题
重点及难点：全等三角形的判定方法2（SAS）及其应用。
课前预习案（课前20分钟自习完成）
一、学法指导：1、用15分钟左右的时间，阅读探究课本P30----32 内容的基础知识。了解全等形三角形的判定方法2
2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测及我的疑惑栏目。
二、教材助读：课本P30问题1、2、3、4
在“角边角”“角角边”中都是通过两个三角形的三对元素对应相等来判定三角形全等的。除此之外，在两个三角形中，三对元素对应相等的情况还有哪几种？
三、预习自测：
1、如图1，已知AB∥DC，AD∥BC，BE=DF，图中全等三角形有 .
A.3对 B. 4对 C.5对 D.6对
　　　　　
2、如图2，已知∠A=∠B，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AD=BC，AE=1㎝求BF.
3、如图3，已知M是△ABC的边BC上一点，BE∥CF。BE=CF.求证：AM是BC边上的中线.
课内探究（课上45分钟）
一、学始于疑 ——我思考，我收获！
如图线段AB是一个池塘的长度，现在想测量这个池塘的长度，在水上测量不方便，你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗？想想看。
请同学用2分钟时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑问开始下面的探究学习。
二、质疑探究——质疑解疑、合作探究
1、分组实验探究
(1)各组按下列要求在你准备的硬纸片上画出一个△ABC
BC ∠C AC
1组、 4组7 8厘米 300 10厘米
2组、 5组8 8厘米 450 10厘米
3组、6组9 7厘米 600 9厘米
（3）、剪下你画出的三角形，与其他同学剪得的三角形进行比较，这些三角形能重合吗？
（4）、通过上面的实验，能得到什么结论？与同学交流。
判定方法2： 。
（5）、认真阅读课本31页的例2，用规范的解答格式，写出解答过程。
2.合作交流：
（1）、判定方法2 如果一个三角形的两条边及其夹角与另一个三角形的两条边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等.
可以简单地用“边角边”或“SAS”来表示.
用符号语言表达为：
在△ABC与△A′B′C′中: ∵ AB=A′B′∠B=∠B′ BC= B′C′
∴ △ABC≌△A′B′C′（SAS）
（2）、知识应用与能力的形成（情境揭秘）
例1：（课本31页的例2）如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,小亮设计了一个方案：可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连结AC并延长到D,使CD=CA.连结BC并延长到E,使EC=CB,连结DE,量出DE的长,就是A、B的距离.你认为他的方案对吗、为什么？
解析：本题是SAS方法在实际问题中的应用，先判断三角形全等，再由三角形全等的基本性质得出对应边相等。
例2：（解释教材P31中的实验与探究）
结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等
解析：两边和其中一边的对角对应相等是不能判断两个三角形全等的。也就不能把它作为判定方法。（可要注意奥）
三、当堂检测—有效训练、反馈矫正
1、在下列图中找出全等三角形，
（2）.已知:如图,∠1=∠2，BD=CD,，△ADB和△ADC全等吗？为什么？
四、达标检测：
1、如图OA=OC,OB=OD,若AB=8cm，则CD=
2、如图，D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠ADE=∠AED，△ABD和△AEC全等吗？
3、已知：AB=CD，AB//CD，AD和BC相等吗？为什么
AD和BC平行吗？为什么
4、如图，若，AC=AD，∠1=∠2，
则 △ABC和△AED全等吗？
怎样判定三角形全等（第3课时）
学习目标：1、通过经历、探索，理解掌握全等三角形的判定方法3（SSS）
2、能熟练利用判定方法3(SSS )解决问题
3、通过类比，综合运用四个判定方法和全等三角形的性质来解决问题
重点重点难点：全等三角形的判定方法3（SSS）及其应用
课前预习案（课前20分钟自习完成）
学法指导：1.用15分钟左右的时间，阅读探究课本P22—P23的基础知识。了解全等形与相似形的概念及特征。
2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测及我的疑惑栏目。
一、教材助读：学习课本第32页“实验与探究”的内容，探索三角形全等的“边边边”判别方法正确。
（1）按要求完成课本32页（1）。
（2）对比小组内图形观察你们得到的三角形的大小和形状有什么关系
写出来：形状： 大小：
（3）由此我们得到判定三角形全等的判别方法3，即： 这个判别方法可以简单的用“ ”或“ ”来表示。
二、我的疑惑：
——请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。
课内探究（课上45分钟）
一、学始于疑 ——我思考，我收获
工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：
①分别在BA和CA上取；
②在BC上取；
③量出DE的长a米，FG的长b米．
如果，则说明∠B和∠C是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？
请同学用2分钟时间认真思考这些问题，并结合预习中自己的疑问开始下面的探究学习。
二、质疑探究——质疑解疑、合作探究
学习课本32—33页例3和例4会利用“边边边”证三角形全等
（1）（画出图形，合上课本独立做一遍例3和例4，注意：用数学语言表示）
（2）学习33页“广角镜”知道三角形的稳定性及四边形的不稳定性。
举出生活中的例子：
（a）利用三角形的稳定性： （至少2个）
（b）利用四边形的不稳定性： （至少2个）
合作交流：
判定方法3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等.可以简单地用“边边边”或“SSS”来表示.用符号语言表达为：
在△ABC与△ A′B′C′中:
∵AB=A′B′,AC=A′C′,BC= B′C′
∴△ABC≌△ A′B′C′（SSS）
（2）例1（课本例3）：如图，AD= CB, BA=DC.，那么∠1 =∠2吗？为什么
例2：（课本例4）已知：如图：AB=FD , BC=DE , AE=FC．
AC和FE相等吗？△ABC和△FDE 全等吗？为什么？
情境揭秘：工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，
但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：
①分别在BA和CA上取；
②在BC上取；
③量出DE的长a米，FG的长b米．
如果，则说明∠B和∠C是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？
三、当堂检测—有效训练、反馈矫正
1、要判定两个三角形全等，要有 个元素对应相等，其中至少有 个元素是 。
2、在生活中，我们经常会看见在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ）
（A）稳定性 （B）灵活性 （C）对称性 （D）全等性
3、下列说法正确的是（ ） A.周长相等的两个三角形全等
B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等 D.三边对应相等的两个三角形全等
4、如图，若AB＝DE，BE＝CF，要证△ABF≌△DEC，需补充条件_______
或_______.
5、如图，AB=DC，AD=BC，E.F是DB上两点且BE=DF，则图中的全等三角形有 对，分别是：
6、如图, ∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线,为什么
四、达标检测：
1、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，你认为AE和DE.相等吗？为什么？
2、如图，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，请说明AC与BD互相平分
3、（变式训练）已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，BE∥DF。 BE和DF相等吗？
课前自主学习：巩固所学
已知：如图，在△AEC和△ADB中，AE=AD，∠CEB=∠BDC,试判断DC与EB关系,并说明理由.
自主预习
先认真学习教材p13、14页的内容，并思考回答下列问题：
1、三角形全等的判定方法4是什么？__________________________ ,
简记为______或_____
如图用符号语言可表达为：
∵____________、____________、___________
∴__________≌___________( )
2、例5中用什么方法证明了三角形全等？其中图中出现了什么现象帮助我们凑够全等的三个条件？证明三角形全等有什么作用？
例5．如图，AD= CB, BA=DC.，那么∠1 =∠2吗？为什么 尝试写证明：
3.例6中三个条件中哪个条件是两个三角形全等的直接条件？哪个条件是间接条件？对于这种间接条件如何处理成直接条件？
例6．已知：如图：AB=FD , BC=DE , AE=FC．AC和FE相等吗？△ABC和△FDE 全等吗？为什么？尝试写证明：
课中合作学习 1.小组汇报预习成果
2. 合作探究 合作探究一、已知：如图，AB=DE,AC=DF,要说明△ABC≌△DEF，还需增加一个什么条件？你能想到几种方法，和同学们讨论有没有其他方法了？
合作探究二、三角形全等的判定方法有哪几种？它们有什么共同特点？
合作探究三、两个三角形的边或角当中的某三对元素对应相等共有哪些情形？它们都能判定全等吗？其中哪些能？哪些不能？判定两个三角形全等的条件中什么元素离不了？它能起什么作用？
合作探究四、
问题：已知：如图, AB=DC，AD=BC,求证：∠A=∠C　
3.巩固训练：（1）.已知：如图,AB=DC，AC=DF，点C是BF的中点,求证:△ABC≌△DCF
（2）.已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD=FB（如图），要用“边边边”证明△ABC ≌△ FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
（3）.已知：如图,△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连结点A与BC中点D的支架.求证:AD⊥BC
4. 达标检测
1.在生活中，我们经常会看见在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ）
（A）稳定性 （B）灵活性 （C）对称性 （D）全等性
2．列说法正确的是（ ） A.周长相等的两个三角形全等
B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等 D.三边对应相等的两个三角形全等
3.已知：AB=AD,，BC=CD 求证：AC平分∠BAD
4. 如图，已知：AB=DE，AC=DF，, BE=CF。求证：⑴∠A=∠D； ⑵AC∥DF
6、如图, ∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合,过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线,为什么
八年级上册第一章1.3《尺规作图2》导学案
学习目标 1、经历探索与实践的过程，会利用基本作图完成已知两边及夹角和已知三边作三角形.
2、通过作图，培养学生的动手操作能力、逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.
3、通过作图训练学生的作图语言.
学习过程：
一、自主预习课本P21——P22内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流（课前完成）
二、实验与探究 1、思考：已知三角形的哪几个元素就可以作出这个三角形？与同学交流。
2、利用你学过的基本作图，已知三边分别为a，b，c，如何作三角形？
已知：:线段a,b,c a
求作:△ABC,使BC＝a,AC＝b,AB＝c b
c
3、图1-29是以B，C为圆心，c，b为半径作弧在B，C所在直线的上方相交的情况，是否可能在BC的下方相交？如果可能，所得到的三角形与△ABC全等吗？为什么？
4、利用你学过的基本作图，已知两边及其夹角，例如已知a，c和∠α，如何作△ABC，使∠B=∠α，AB=c，BC=a呢？与同学交流。
a
c α
5、在上面的作图步骤中，分别用到了哪些基本作图？
挑战自我
已知三条线段a，b，c，作△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b时，对a，b，c三条线段的大小有没有限制？如果有，a，b，c的大小应当满足什么条件？
三、巩固练习
利用尺规作图：
已知线段a，求作边长等于a的等边三角形。
a
已知线段a，∠α，求作△ABC，使∠A=∠α,AB=AC=a
a
α
四、学习小结：（回顾一下这一节所学的，你学会了吗？）
五、达标检测
1、已知线段a，b，求作：△ABC，使AB=AC=a，BC=b。
a
b
2.已知线段a、b，求作：△ABC，使AB=2a,BC=b,AC=a.(保留作图痕迹，不写作法) a
b
3、已知：∠1和线段a，求作：△ABC，使∠A=∠1,AB=AC=2a.
第一章 全等三角形复习学案
学习目标：1.会说全等形的定义及性质， 全等三角形的定义及性质。
2.会说判定两个三角形全等的四个判定方法，并能简单运用这些方法判定两个三角形全等。
3.经历观察、推理、交流等活动，发展空间观念、有条理的思考和语言表达能力。
重点：两个三角形全等的判定。
难点：探索两个三角形全等的判定方法及找对应角、对应边。
学法指导：用学案组织学生进行学习，以导学为方式，以学生的自主性、探究性、合作性学习为主体，师生共同合作完成教学目标。
学习过程： 自复案
一：读课本第4页至第15页，解决以下几个问题：
1、什么是全等形，有什么性质？全等三角形呢？
2、判定两个三角形全等需要几对元素分别相等？有哪几个方法判定两个三角形全等？
3、判定两个三角形全等时要注意哪些隐含条件的运用？
4、满足三角分别相等或两边及其中一边的对角分别相等的两三角形全等吗？请举例说明。
二、自测题：
1．如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”需要添加条件 ；根据“ASA”需要添加条件 ；根据“AAS”需要添加条件 ；
2．如图（3），若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD= . 说说理由.
3.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，则∠C= ,BE= 说说理由.
第1页
4．已知ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，问BM=ME吗？说明理由。
5．已知∠1=∠2，BC=AD，问⊿ABC≌⊿BAD吗？
6．已知AB=AC， ∠1=∠2，AD=AE，问⊿ABD≌⊿ACE.说明理由。
7.如图5,AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别为C、D,AD=BC,
问(1)AE=BE吗 请说明你的理由.
8．已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由
探究案
例题精讲：例1如图，，，为上一点，，，交延长线于点。求证：。
例2如图，在中，，的平分线交于点，且，，则点到的距离等于多少？
、
例3、如图，为等边三角形，点分别在上，且，与交于点。求的度数。
达标测试
选择：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )
A.两直角边对应相等 B.一锐角对应相等 C.两锐角对应相等 D.斜边相等
2. 根据下列条件，能画出唯一的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，
3. 如图3，已知，，增加下列条件：①；②；③；④。其中能使的条件有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4.某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是　　 （　　）
A．带①去　　　B．带②去　　C．带③去　　D．带①和②去
填空：5、如第1图， ，请你添加一个条件： ，使
6.如图，已知AB＝CD，∠1＝∠2，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件
7.如图，点在同一条直线上，//，//，且，若
，则=
第6题图 第7题图
解答题：
8、如图，在中，，。为延长线上一点，点在上，，连接和。求证：。
9.如图，梯形中，∥,是中点，直线交延长线与，求证：△ABE≌.
10.如图，在中，，平分,=8,=5，那么点到直线的距离是多少？
11.如图，在等腰中，，，平分交于，于，若，则的周长是多少？
12.如图4,AC⊥BC,ED⊥BD，BE⊥BC垂足分别为C、D、B,AB=BE.试探究BE与AC+AD之间的关系.
能力提升 1、 如图：△ ABC是等腰三角板，过点 C 在△ ABC 外作直线 MN ， AM ⊥ MN 于 M ， BN ⊥ MN 于 N 。（ 1 ）求证： MN=AM+BN 。
2. 已知：如图， AB=DC ，AD=BC ， O 是 BD 中点 ， 过 O 的直线分别与 DA 、 BC 的延长线交于 E 、 F ．求证： OE=OF
第1章 全等三角形检测题 （时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 在△中，∠∠，若与△全等的一个三角形中有一个角为95°，那么95°的角在△中的对应角是（ ）
A. ∠ B. ∠ C.∠D D. ∠∠
2. 下列说法正确的是（ ）
A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等
3.下列说法正确的个数为( )
①形状相同的两个三角形是全等三角形；②在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；③全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线 分别相等.
A.3 B.2 C.1 D.0
4.如图所示，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（　　）
A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE
5.在△ABC和△中,AB=,∠B=∠,补充条件后仍不一定能保证
△ABC≌△,则补充的这个条件是( )
A．BC= B．∠A=∠ C．AC= D．∠C=∠
6.如图所示，分别表示△ABC的三边长，则下面与△一定全等的三角形是（　　）
A B C D
7.已知：如图所示，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（　　）
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A=∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1=∠2
8.如图所示，两条笔直的公路、相交于点O， C村的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5 km，村庄C到公路的距离为4 km，则C村到公路的距离是（ ）
A.3 km B.4 km C.5 km D.6 km
9.在△和△FED 中，已知∠C=∠D，∠B=∠E，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ ） A.AB=ED B.AB=FD C.AC=FD D. ∠A=∠F
10.如图所示，在△中，＞，∥=,点在边上，连接，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△与△全等（　　）
A.∥ B. C.∠=∠ D.∠=∠
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 如果△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点Ｄ分别是对应点，则另一组对应点是 ，对应边是 ，对应角是 　　，表示这两个三角形全等的式子是 .　
12.如图，∠ACB=∠ADB，要使△ACB≌△BDA，请写出一个符合要求的条件 .
13.如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带编号为 的碎片去．
14．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23cm，BC=4 cm，则△DEF的边中必有一条边等于 .
15如图示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=
16.如图在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是
三、解答题（共46分）
17.（6分）已知和全等，若AB=DE，,,求度数.
18.（6分）已知≌,的周长是30 cm，DE=8 cm，BC=12 cm,求和 中其余各边的长.
19.（8分）如图，已知是对应角．
（1）写出相等的线段与相等的角；
（2）若EF=2.1cm，FH=1.1cm，HM=3.3cm，求MN和HG的长度.
20.如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
21.（8分）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.
22.（10分） 已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直直线CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．
第1章 全等三角形检测题参考答案
1.A 解析：一个三角形中最多有一个钝角，因为∠∠，所以∠B和∠只能是锐角，而∠是钝角，所以∠=95°.
2.C 解析：能够完全重合的两个三角形全等，全等三角形的大小相等且形状相同，形状相同的两个三角形相似，但不一定全等，故A错，面积相等的两个三角形形状和大小都不一定相同，故B错，所有的等边三角形不全等，故D错.
3. C 解析：①形状相同但大小不一样的两个三角形也不是全等三角形，所以①错误；
②全等三角形中互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，如果两个三角形是任意三角形，就不一定有对应角或对应边了，所以②错误；③正确.故选C.
4. D 解析：因为 △ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，
所以 AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，故A、B、C正确；
AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选D．
5.C 解析：选项A满足三角形全等的判定条件中的边角边，选项B满足三角形全等的判定条件中的角边角，选项D满足三角形全等的判定条件中的角角边，只有选项C 不满足三角形全等的条件.
6. B 解析：A. △与三角形有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；
B.与△有两边及其夹角相等，二者全等；
C.与△有两角相等，但夹边不相等，二者不全等；
D.与△有两边相等，但夹角不相等，二者不全等．故选B．
7. D 解析：因为 AC⊥CD，所以 ∠1+∠2=90°.
因为 ∠B=90°，所以 ∠1+∠A=90°，所以 ∠A=∠2.
在△ABC和△CED中，
所以 △ABC≌△CED，故B、C选项正确.
因为 ∠2+∠D=90°，所以 ∠A+∠D=90°，故A选项正确.
因为 AC⊥CD，所以 ∠ACD =90°，∠1+∠2=90°，故D选项错误．故选D．
8. B 解析：如图所示，连接AC，作CF⊥，CE⊥.
因为 AB=BC=CD=DA=5 km，所以 △ABC≌△ADC，
所以 ∠CAE=∠CAF，所以 CE=CF=4 km．故选B．
9.C 解析：因为∠C=∠D，∠B=∠E，所以点C与D，点B与E，点A与F是对应顶点，AB的对应边应是FE，AC的对应边应是FD，根据AAS，当AC=FD时，有△ABC≌△FED.
10. C 解析：A.因为 ∥，所以 ∠=∠.
因为 ∥所以 ∠=∠.
因为 ，所以 △≌△，故本选项可以证出全等；
B.因为 =，∠=∠，所以 △≌△，故本选项可以证出全等；
C.由∠=∠证不出△≌△，故本选项不可以证出全等；
D.因为 ∠=∠，∠=∠，，所以 △≌△，故本选项可以证出全等．故选C．
11.点A与点F　　AB与FD，BC与DE，AC与FE ∠A=∠F，∠C=∠E，∠B=∠D
△ABC≌△FDE 　解析：利用全等三角形的表示方法并结合对应点写在对应的位置上写出对应边和对应角.
12.∠CAB=∠DBA或∠CBA=∠DAB 解析：在△ACB和△BDA中，已知∠ACB =∠ADB，AB =BA，只要再知道一个角相等即可.故需添加的条件是∠CAB=∠DBA或∠CBA=∠DAB.
13.③ 解析：只有编号为③的碎片能得出完整的三角形，故需要带着③去.
14. 4或9.5 解析：解答本题注意要分类讨论.
15.55° 解析：在△ABD与△ACE中，
因为 ∠1+∠CAD=∠CAE +∠CAD，所以 ∠1=∠CAE.
又因为 AB=AC，AD=AE，所以 △ABD ≌△ACE（SAS）.所以 ∠2=∠ABD.
因为 ∠3=∠1+∠ABD=∠1+∠2，∠1=25°，∠2=30°，所以 ∠3=55°．
16.
17. 分析：由题意应先画出图形，再进行求解.
解：因为和全等，所以必定对应角相等.
又因为指明对应关系，所以对应边和对应角应该由已知条件确定.
因为AB=DE，所以AB和DE为对应边，它们所对的角和为对应角，
所以==70，所以=18060.
18.
≌,所以
又因为
所以.所以
答：中中
19. 分析：（1）根据是对应角可得到两个三角形中对应相等的三条边和三个角；
（2）根据（1）中的对等关系即可得的长度．
解：（1）因为是对应角，
所以.
因为GH是公共边，所以.
（2）因为2.1 cm，
所以=2.1 cm.
因为3.3 cm，
所以.
20.分析：由，根据三角形外角性质可得.因为，即可求得∠的度数；根据三角形外角性质 可得，即可得∠的度数．
解：因为 ，
所以 ．
所以 10°+55°+25°=90°，
=90°-25°=65°．
21.分析：首先根据角间的关系推出再根据边角边定理，证明△≌
△．最后根据全等三角形的性质定理，得知．根据角的转换可求出.
证明：(1)因为 ，
所以.
又因为
在△与△中，所以△≌△. 所以.
(2)因为，
所以，
即
22.⑴证明：因为直线垂直
所以
又因为，所以
因为点是的中点，所以
又所以，
所以.
因为，所以.
因为
(2)解：
因为
在△与△中,,∠,
由（1）知∠
所以△
青岛版八年级数学全等三角形 测试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列说法正确的是（ ）
A、全等三角形是指形状相同的两个三角形
B、全等三角形是指面积相等的两个三角形
C、全等三角形的周长和面积分别相等
D、所有的等边三角形都是全等三角形 第2题 第3题
2．△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，图中全等三角形对数为（） A、0 B、1 C、2 D、3
3.如图，△ABC≌△BAD，点A点B，点C和点D是对应点。如果AB=6厘米，BD=5厘米，AD=4厘米，那么BC的长是（ ）。
(A)4 厘米 (B)5厘米 (C) 6 厘米 (D)无法确定
4.如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC的度数等于（ ）A．120° B.70° C.60° D.50°.
5． 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
6.在△ＡBC和△AˊB′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，在下面判断中错误的是（ ）
A. 若添加条件AC=AˊCˊ，则△ABC≌△A′B′C′
B. 若添加条件BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′
C. 若添加条件∠B=∠B′，则△ABC≌△A′B′C′
D. 若添加条件 ∠C=∠C ′，则△ABC≌△A′B′C′
7.如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（　　 ）
A．甲和乙 　Ｂ．乙和丙 　Ｃ．只有乙 　Ｄ．只有丙
8．如图，AD⊥AB，AE⊥AC，AD=AB，AE=AC，则下式中正确的是（ ）
A△ABD≌△ACE B、△ADF≌△AEG C、△BMF≌△CMG D△ADC≌△ABE
9.如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，则在下列条件中，无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A）AD=AE B）AB=AC C）BE=CD D）∠AEB=∠ADC
10.如图，已知，，增加下列条件：①；②；
③；④．其中能使的条件有（ ）Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
二．填空题（每空2分，共42分）
11．判断两三角形全等，至少需要 条边对应相等.
12. 如图，△DEF≌△ABC，且AC>BC>AB，
在△DEF中， < < .
13．已知AB=CD，AD=BC，如不添字母，则 ≌ ， ≌ .
14.如图，已知∠B=∠D=90°，若要使△ABC≌△ABD，那么还要需要一个条件，这个条件可以是__________， 理由是________；这个条件也可以是___________，理由是___________； 这个条件还可以是_____________， 理由是_____________；
15．如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F是DB上两点，且BE=DF，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，则∠BCF= .
16．如图，AC、BD、EF相交于O，若OA=OC，OB=OD，OE=OF，则图中共有全等三角形 对.
17．△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BP=CE，BD=CP，则∠DPE= 度.
18．已知AB=DC，BE=CF，只要补充∠ = ∠ ，或 // ，
就可以证明△ABE≌△DCF.
三．解答题
19.（本题8分）如图：在△ABC中，点D，E在BC上，且AD=AE，BD=CE，∠ADE=∠AED，
求证：AB=AC.
20.（本题8分）如图示，已知AB=AC，BD=DC，图中有相等的角吗？请找出来，并说明理由。
21. （本题12分） 八（3）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.
全等三角形测试题
一、填空题（每空3分，共45分）
1、判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成_______；_______；_______；_______；_________．
2、如图：AB=AC，BD=CD，若∠B=28°则∠C= ；
SHAPE \* MERGEFORMAT
2题 3题 4题
3．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 对全等三角形．
4．如图，△ABC≌△ADE，则，AB= ，∠E=∠ ．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= 　 ．
5、如图，已知AC＝BD， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，那么△ABC≌ ，　其判定根据是__．
6、如图， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，
还需加条件___ ___．
7、如图，已知AC＝BD， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，请你添一个直接条件， ，
使△AFC≌△DEB．
8、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第 块去。
二、解答题（每题11分，共55分）
9、已知：如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，
求证：AB=AC．
10、已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，
求证：△ABC≌△DEF．
11、已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，
求证：△ABC≌△DEF．
( http: / / www.21cnjy.com )
12、已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E， ( http: / / www.21cnjy.com )
BD、CE相交于点F，求证：CE=BD．
13、如图，已知AB与CD相交于O，∠A＝∠D， CO＝BO，求证： △AOC≌△DOB．
( http: / / www.21cnjy.com )
A
D
B
E
F
C
A
B
E
C
D
A
B
E
O
F
D
C
A
B
C
D
1
F
E
D
C
B
Ａ
A
B
C
D
A
D
B
C
O
图（3）
B
C
O
D
E
A
图（2）
A
C
M
E
F
B
D
A
B
C
D
O
1
2
A
B
C
D
E
F
1
2
D
O
C
B
AB
第1题图
A
B
C
D
E
F
1
2
图4
第4题图
第6题图
第8题图
第7题图
第10题图
第13题图
①
②
③
第12题图
D
C
B
A
D
A
B
C
第16题图
第15题图
第21题图
第20题图
第19题图
第24题图
第8题答图
A
B
C
D
E
D
C
A
B
A
B
C
D
E
F
G
M
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
第12题
A
B
C
D
第13题
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
P
E
第17题
A
B
C
D
E
F
第16题
O
A
B
C
D
E
F
第15题
A
B
C
D
A
B
C
D
E
第5题图 第6题图 第7题图
A
B
C
D
E
B
C
D
E
F
A
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