8.3 实际问题与二元一次方程组方案设计类问题 同步学案（含解析）

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尖子生培优题典
8.3　实际问题与二元一次方程组
第四课时方案设计类问题
1.已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨.用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆,一次运完，且每辆车都满载货物.根据以上信息解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次分别可运货物多少吨？
（2）请帮助物流公司设计租车方案
（3）若A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元.请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费.
2.疫情期间，某人要将一批抗疫物资运往西安，准备租用汽车运输公司的甲乙两种货车、已知过去两次租用这两种货车（均装满货物）的情况如下表：
甲种货车（辆） 乙种资车（辆） 总量（吨）
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)若有45吨的物资需要运往西安，准备同时租用这两种货车，每辆全部均装满货物，问有哪几种租车方案？请全部设计出来．
3.面对当前疫情形势，某工厂迅速反应，研发出两种新型口罩和消毒液．已知1平方米甲型布料可以制成20个A型口罩和10个B型口罩．1平方米乙型布料可以制成10个A型口罩和20个B型口罩，现需要制作1500个A型口罩和1800个B型口罩．为了支援某灾区，现有消毒液19吨．计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，一次运完，甲型车一次满载2吨，乙型车一次满载3吨，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)恰好需要甲，乙布料各多少平方米？
(2)在运送消毒液时，请你设计所有可能的租车方案．
4.我校组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？
5.某商场计划用元从厂家购进台新型电子产品，已知该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型 乙型 丙型
价格（元/台）
销售获利（元/台）
购买丙型设备 台(用含的代数式表示) ；
若商场同时购进三种不同型号的电子产品(每种型号至少有一台)，恰好用了元，则商场有哪几种购进方案
在第题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案 此时获利为多少
6.甲、乙两家单位组织员工开展“携手抗疫，共渡难关”捐款活动，甲单位共捐款100000元，乙单位共捐款140000元，若甲单位员工数比乙单位少30人，乙单位的人均捐款数是甲单位的倍．
（1）问甲、乙单位各有多少人？
（2）现两家单位共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元，若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有哪几种购买方案？（两种防疫物资均按整箱配送）
7.五一节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．
（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，商店拟用1000元购进这两种风扇（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
8.某制纸厂生产A型、B型两种不同规格的纸，需用甲、乙两种不同的原料．若甲原料成本为0.5元/m3，乙原料成本为1元/kg，其它相关数据如下表所示：
甲原料/m3 乙原料/kg 售价/元
每百张A型纸 1 2 4
每百张B型纸 1.2 3 5
（1）若生产这两种纸需用甲原料108m3、乙原料240kg，则这两种规格的纸各多少百张？
（2）若该厂生产A型纸a百张，则生产这种A型纸的利润是多少元（用含a的代数式表示）？（利润＝售价﹣成本）
（3）该厂发现，当制纸总量超过10000百张时，需额外支出8800元的设备维护费，现该厂接到一笔订单，要求生产A型纸的数量是B型纸数量的2倍，若该厂希望获得13200元的利润，则有哪几种生产方案？
9.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
10.小李在某商场购买A，B两种商品若干次（每次A，B都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，A，B两种商品同时打折，三次购买A，B商品和费用如表所示：
购买A商品的数量 购买B商品的数量 购买总费用
第一次 6 5 980
第二次 3 7 940
第三次 9 8 912
（1）求A，B商品的标价各多少元？
（2）若小李第三次购买时，A，B商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品？
（3）在（2）的条件下打折，若小李第四次购买A，B商品共花去960元，则小李购买方案可能有哪几种？
11.一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
12.由于酒泉独特的气候资源，生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋葱产区，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
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8.3　实际问题与二元一次方程组
第四课时方案设计类问题（解析版）
1.已知2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨.用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆和B型车b辆,一次运完，且每辆车都满载货物.根据以上信息解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车载满货物一次分别可运货物多少吨？
（2）请帮助物流公司设计租车方案
（3）若A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元.请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费.
【答案】(1)1辆A型车载满货物每次可运货物3吨，1辆B型车载满货物一次可运货物4吨;(2) 有三种租车方案：方案一,租用A型车9辆，B型车1辆， 方案二,租用A型车5辆，B型车4辆，方案三,租用A型车1辆，B型车7辆.（3）选择方案三最省钱，最少的租车费为940元.
【详解】
（1）设A、B型车都装满货物一次每辆车装吨、吨
则
解得：
（2）结合题意和上一问得：3a+4b=31
∴a=
因为a，b都是正整数，
∴或或
有三种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆；
（3）A型车每辆车租金每次100元，B型车每辆车租金每次120元，
方案一：9100+1120=1020；；
方案二：5100+4120=980；
方案三：1100+7120=940；
∵1020＞980＞940
∴方案三最省钱，费用为940元．
2.疫情期间，某人要将一批抗疫物资运往西安，准备租用汽车运输公司的甲乙两种货车、已知过去两次租用这两种货车（均装满货物）的情况如下表：
甲种货车（辆） 乙种资车（辆） 总量（吨）
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)若有45吨的物资需要运往西安，准备同时租用这两种货车，每辆全部均装满货物，问有哪几种租车方案？请全部设计出来．
【答案】(1)每辆甲种货车能装货4吨，每辆乙种货车能装货3吨
(2)方案1：租用3辆甲种货车、11辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车、7辆乙种货车；方案3：租用9辆甲种货车、3辆乙种货车
【分析】（1）设每辆甲种货车可装吨货，每辆乙种货车可装吨货，根据前两次租用这两种货车的记录情况表，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用辆甲种货车，辆乙种货车，根据一次要运45吨货，即可得出关于，的二元一次方程组，结合，均为正整数即可得出结论．
【详解】（1）解：设每辆甲种货车能装货x吨，每辆乙种货能装货y吨，
由题意得
解得：
答：每辆甲种货车能装货4吨，每辆乙种货车能装货3吨．
（2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车．则：
∴
又∵m，n均为正整数．
∴，，
∴共有3种租车方案：
方案1：租用3辆甲种货车、11辆乙种货车．
方案2：租用6辆甲种货车、7辆乙种货车．
方案3：租用9辆甲种货车、3辆乙种货车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
3.面对当前疫情形势，某工厂迅速反应，研发出两种新型口罩和消毒液．已知1平方米甲型布料可以制成20个A型口罩和10个B型口罩．1平方米乙型布料可以制成10个A型口罩和20个B型口罩，现需要制作1500个A型口罩和1800个B型口罩．为了支援某灾区，现有消毒液19吨．计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，一次运完，甲型车一次满载2吨，乙型车一次满载3吨，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)恰好需要甲，乙布料各多少平方米？
(2)在运送消毒液时，请你设计所有可能的租车方案．
【答案】(1)恰好需要40平方米甲型布料，70平方米乙型布料
(2)共有3种租车方案，方案1：租用8辆甲型车，1辆乙型车；方案2：租用5辆甲型车，3辆乙型车；方案3：租用2辆甲型车，5辆乙型车
【分析】（1）设恰好需要x平方米甲型布料，y平方米乙型布料，根据题意列二元一次方程组即可解答；
（2）设计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆，然后根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况确定a，b的值即可解答．
【详解】（1）解：设恰好需要x平方米甲型布料，y平方米乙型布料，
根据题意得：，解得：．
答：恰好需要40平方米甲型布料，70平方米乙型布料．
（2）解：设计划同时租用甲型车a辆，乙型车b辆
根据题意得：，
∴．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用8辆甲型车，1辆乙型车；
方案2：租用5辆甲型车，3辆乙型车；
方案3：租用2辆甲型车，5辆乙型车．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，理解题意正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解答本题的关键．
4.我校组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？
【答案】（1）240人，原计划租用45座客车5辆；（2）租4辆60座客车划算．
【分析】
（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．
【详解】
（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，
根据题意得： ，
解得： ,
答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．
（2）∵要使每位学生都有座位，
∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5-1=4辆．
220×6=1320（元），300×4=1200（元），
∵1320＞1200，
∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．
【点睛】
此题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）求出租两种客车各需多少费用．
5.某商场计划用元从厂家购进台新型电子产品，已知该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型 乙型 丙型
价格（元/台）
销售获利（元/台）
购买丙型设备 台(用含的代数式表示) ；
若商场同时购进三种不同型号的电子产品(每种型号至少有一台)，恰好用了元，则商场有哪几种购进方案
在第题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案 此时获利为多少
【答案】(1) ； (2) 购进方案有三种，分别为:方案一:甲型台，乙型台，丙型台；方案二:甲型台，乙型台，丙型台；方案三:甲型台，乙型台，丙型台；(3) 购进甲型台，乙型台，丙型台，获利最多，为元
【分析】
（1）用总台数减去甲、乙两型的数量及得丙的数量；
（2）根据总费用恰好是56000元可列写一个等式方程，其中包含2个未知数，仅能得出x、y之间的关系式：.再利用x、y都是正数，可得y必须是5的倍数；
（3）在（2）中得出的几种方案中，分别求解利润，得出利润最多的情况
【详解】
解：
由题意得，
化简整理得：
当时，；
当时，；
当时，．
购进方案有三种，分别为:
方案一:甲型台，乙型台，丙型台；
方案二:甲型台，乙型台，丙型台；
方案三:甲型台，乙型台，丙型台．
方案一:(元)，故可获利元，
方案二一:(元)，故可获利元，
方案三:(元)，故可获利元，
因为
所以购进甲型台，乙型台，丙型台，获利最多，为元．
【点睛】
本题的难点是利用二元一次不定方程求解，当方程数量少于未知数时，通常是无法直接求解出未知数的值的.此刻，我们还需要根据“整数”这个条件，进行分析.
6.甲、乙两家单位组织员工开展“携手抗疫，共渡难关”捐款活动，甲单位共捐款100000元，乙单位共捐款140000元，若甲单位员工数比乙单位少30人，乙单位的人均捐款数是甲单位的倍．
（1）问甲、乙单位各有多少人？
（2）现两家单位共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元，若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有哪几种购买方案？（两种防疫物资均按整箱配送）
【解答】解：（1）设甲单位有员工数x人，乙单位有员工数x+30人，
由题意可得：，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解且符合实际情况，
答：甲单位有员工数150人，乙单位有员工数180人；
（2）设A种防疫物资a箱，B种防疫物资b箱，
由题意可得15000a+12000b＝100000+140000，
∴5a+4b＝80，
又∵购买B种防疫物资不少于10箱，
∴b＝10，a＝8或b＝15，a＝4，
答：有两种方案：A种防疫物资8箱，B种防疫物资10箱，或A种防疫物资4箱，B种防疫物资15箱．
7.五一节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用400元．
（1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？
（2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，商店拟用1000元购进这两种风扇（1000元刚好全部用完），为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？
【解答】解：（1）设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元，
由题意得：，
解得：，
答：A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是100元、150元；
（2）设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台，
由题意得：100a+150b＝1000，
其正整数解为：或或，
当a＝1，b＝6时，利润＝80×1+100×6＝680（元），
当a＝4，b＝4时，利润＝80×4+100×4＝720（元），
当a＝7，b＝2时，利润＝80×7+100×2＝760（元），
∵680＜720＜760，
∴当a＝7，b＝2时，利润最大，
答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台．
8.某制纸厂生产A型、B型两种不同规格的纸，需用甲、乙两种不同的原料．若甲原料成本为0.5元/m3，乙原料成本为1元/kg，其它相关数据如下表所示：
甲原料/m3 乙原料/kg 售价/元
每百张A型纸 1 2 4
每百张B型纸 1.2 3 5
（1）若生产这两种纸需用甲原料108m3、乙原料240kg，则这两种规格的纸各多少百张？
（2）若该厂生产A型纸a百张，则生产这种A型纸的利润是多少元（用含a的代数式表示）？（利润＝售价﹣成本）
（3）该厂发现，当制纸总量超过10000百张时，需额外支出8800元的设备维护费，现该厂接到一笔订单，要求生产A型纸的数量是B型纸数量的2倍，若该厂希望获得13200元的利润，则有哪几种生产方案？
【分析】（1）列方程组求解即可；
（2）用代数式表示售价和成本，利用利润＝售价﹣成本得出结果；
（3）设未知数，利用方程，求解即可．
【解析】（1）设生产A型纸x百张，B型纸y百张，由题意得，
，
解得，，
答：生产A型纸60百张，B型纸40百张；
（2）4a﹣（0.5×a×1+1×a×2）＝1.5a，
答：生产这种A型纸的利润是1.5a元；
（3）设生产B型纸m百张，则生产A型纸2m百张，由题意得，
每百张A型纸的利润为4×2m﹣（0.5×2m×1+1×2m×2）＝3m，
每百张B型纸的利润为5m﹣（1.2×m×0.5+3×m×1）＝1.4m，
①当m+2m＜10000时，有3m+1.4m＝13200，
解得m＝3000，则2m＝6000，
即生产A型纸6000百张，则生产B型纸3000百张；
②当m+2m＞10000时，有3m+1.4m＝13200+8800，
解得m＝5000，则2m＝10000，
即生产A型纸10000百张，则生产B型纸5000百张；
因此有两种生产方案，A型纸6000百张，B型纸3000百张或A型纸10000百张，B型纸5000百张．
9.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价＝单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【解析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元．
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意，得：25m+10n＝200，
解得：m＝8n．
∵m，n均为正整数，
∴，，，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．
（3）方案一获得利润：8000×6+5000×5＝73000（元）；
方案二获得利润：8000×4+5000×10＝82000（元）；
方案三获得利润：8000×2+5000×15＝91000（元）．
∵73000＜82000＜91000，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
10.小李在某商场购买A，B两种商品若干次（每次A，B都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，A，B两种商品同时打折，三次购买A，B商品和费用如表所示：
购买A商品的数量 购买B商品的数量 购买总费用
第一次 6 5 980
第二次 3 7 940
第三次 9 8 912
（1）求A，B商品的标价各多少元？
（2）若小李第三次购买时，A，B商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品？
（3）在（2）的条件下打折，若小李第四次购买A，B商品共花去960元，则小李购买方案可能有哪几种？
【分析】（1）设A商品的标价为x元，B商品的标价为y元，根据前两次购物的数量及总费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设商场是打m折出售这两种商品，根据现总价＝原总价×折扣率，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设可以购买A商品a件，B商品b件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案．
【解析】（1）设A商品的标价为x元，B商品的标价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A商品的标价为80元，B商品的标价为100元．
（2）设商场是打m折出售这两种商品，
依题意，得：（80×9+100×8）912，
解得：m＝6．
答：商场是打6折出售这两种商品．
（3）设可以购买A商品a件，B商品b件，
依题意，得：（80a+100b）×0.6＝960，
∴a＝20b．
又∵a，b均为正整数，
∴，，，
∴共有3种购买方案，方案1：购买A商品15件，B商品4件；方案2：购买A商品10件，B商品8件；方案3：购买A商品5件，B商品12件．
11.一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
【分析】（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，根据两次满载的运输情况表中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，根据一次运送45吨货物且每辆均全部装满货物，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案．
【解析】（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，
依题意得：，
解得：．
答：甲种货车每辆能装货4吨，乙种货车每辆能装货3吨．
（2）设租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，
依题意得：4m+3n＝45，
∴n＝15m．
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用3辆甲种货车，11辆乙种货车；
方案2：租用6辆甲种货车，7辆乙种货车；
方案3：租用9辆甲种货车，3辆乙种货车．
12.由于酒泉独特的气候资源，生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋葱产区，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，根据题意列出方程组即可；
（2）根据题意，得：3a+4b＝31，a，b均为正整数，求出a和b的正整数解即可得到租车方案；
（3）根据题意分别计算三种方案所需租金进行比较即可．
【解析】（1）设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，
依题意，得：，
解得：，
答：1辆A型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送4吨．
（2）依题意，得：3a+4b＝31，
∵a，b均为正整数，
∴或或．
∴一共有3种租车方案，
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租A型车5辆，B型车4辆；
方案三：租A型车9辆，B型车1辆；
（3）方案一所需租金为100×1+120×7＝940（元）；
方案二所需租金为100×5+120×4＝980（元）；
方案三所需租金为100×9+120×1＝1020（元）．
∵940＜980＜1020，
∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元
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