贵州省新高考“西南好卷”2022-2023学年高一下学期适应性月考数学试题（五）（Word版含答案）

贵州省新高考“西南好卷”适应性月考试题（五）
高一数学 2023.4
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求：
1. 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.
2. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴虚线框”内，若没有条形码，可以填涂准考证号的方式.
3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.回答非选择题时，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第I卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 平面向量，若易，且，则（ ）
A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
3. 如图所示，的直观图是边长为2的等边，则在原图中，边上的高为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（ ）
A. 棱柱的侧棱互相平行
B. 以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥
C. 正三棱锥的各个面都是正三角形
D. 棱台各侧棱所在直线会交于一点
6. 已知非零向量，，，且，则向量，的夹角大小为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数，若，有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选的得0分）
9.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为
C. ，为纯虚数的充要条件是
D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
10. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么下列选项中的两条直线是异面直线的是（ ）
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
11.已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数和的最大值分别为和，则
B. 函数和函数都是偶函数
C. 函数在区间上单调，函数在区间上不单调
D. 既是函数的周期，也是函数的周期
12. 在直角梯形中，，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
第II卷
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.轴截面为正方形的圆柱形容器，其底面半径为，在该容器内放入一个半径为的钢球后，该容器最多还能盛水的体积是，则_______________；
14. 向量在向量上的投影向量的坐标为，则___________；
15.点是线段上的任意一点（不包括端点），对任意点都有，则的最小值为_______________；
16. 在中，的对边分别为，若，则____________；的范围_____________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）
17.（本题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知点.
（1）求以线段为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）若实数，满足，求的值.
18.（本题满分12分）
若定义一种运算：.已知为复数，且.
（1）求复数；
（2）设为实数，若为纯虚数，将表示为的函数并求该函数的单调递增区间.
19.（本题满分12分）
在中，内角所对的边分别为，，在上，且.
（1）求；
（2）当，时，求长.
20.（本题满分12分）
如图一，将边长为2的正方形剪去四个全等的等腰三角形后，折成如图二所示的正四棱锥.记该正四棱锥的斜高为（侧面三角形的高），.
（1）求证：；
（2）将折起来后所得正四棱锥的表面积记为，请将表示为的函数，并求的范围.
21.（本题满分12分）
阅读以下材料，解决21题：我们知道①，②
由①-②得
我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.
如图所示的四边形中，，为中点.
（1）若，求的面积；
（2）若，求的值.
22.（本题满分12分）
若对函数定义域内的任意，都在其定义域内存在唯一，使成立，则称函数为“和1函数”.
（1）判断函数，是否为“和1函数”，并说明理由；
（2）若函数是定义在上的“和1函数”，求的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B D A A C B D C AD ABD BC ABC
1. B 【解析】，，∴，在复平面对应点为，故选B
2.D 【解析】，∵，∴，∴，∴或，又∵，∴，故选D.
3.A 【解析】在直观图中，上的高为，∴，∴上的高，故选择A.
4. A 【解析】∵，，，又，∴，
∴，故选A.
5. C 【解析】正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故C错误.
6. B 【解析】∵，，
，∴，故选择B
7.D 【解析】∵分所成的比为，∴，∵，，
，∴，故选D
8. C【解析】
如图所示，关于轴对称，所以，又由，
∴，∴，
由图易知，∴，
∴，故选C.
二、选择题
9.AD 【解析】A： 正确；
B：复数的虚部为2，而不是，错误；
C：，，若为纯虚数，则，错误；
D：，设，，可得，
化简得：正确，所以本题选AD.
10. ABD 【解析】
如图所示，折起以后各点位置，由此可知选项中成异面直线关系的有与，与，与，故选ABD
11. BC【解析】函数，，
而，，∴，∴，故A不正确；
的定义域为，，所以为偶函数，
的定义域为，，
所以为偶函数，故B正确；
时，从1减小到0，从减小到0，所以在单调递减，
时，先从0增大到1，再从1减小到0，此时先减小后增大，故在上不单调，故C正确；
，故不是的周期，所以D不正确，故本题选BC
12. ABC【解析】
如图，以为坐标原点建系如图，不妨设，，
∵在一次函数上，设，
∵，
∴，
∴，两式相加得，，故本题选ABC
三、填空题
13. 3；【解析】；
14. 8；【解析】，，投影向量，
；
15. 9； 【解析】，在线段上（不包括端点），
∴，且
16. ；
【解析】，
由余弦定理可知，，
，
，
∵，
∴，
∴，∴
∴.
四、解答题
17. 解：（1）由
，
，
所以以线段为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为和；
（2）∵，
∴，
所以
18. 解：（1），∴，
设，则
，
，
即
（2），
若为纯虚数，则，
，
即
增区间：，
解得：，
即函数的增区间为.
19.解：（1）
∴
∵
∴
∴
（2）∵，所以为的角平分线，
设，由，得
带入数据，得
20.（1）
取的中点，的中点，连接如图所示
∴
∵为等腰直角三角形.
∴
∴
（2）
化简得：，
∵，∴
∴
21.解：（1）
，
∴
（2）
，，由极化恒等式
∴
∵，
∴.
22.解：（1），不是“和1函数”
当时，，
当时，，
，则必，使，同时也，使，
此时
同时区间上也存在，使，此时，
所以，，使，但不唯一
∴，不是“和1函数”
另解：
当时，；
当时，
此时与唯一矛盾，∴，不是“1函数”
（2）若函数是定义在上的“和1函数”，
∵在单调递增，∴的值域为，
，则，此时存在唯一，使，
∴，
∴，
∴
，
，令，，易知函数在区间单调递减，
∴
∴的取值范围是.