2023届高三下学期4月新高考数学猜题卷（1）（含解析）

2023届高三下学期4月新高考数学猜题卷（1）
【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，其中i是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，且，则实数( )
A.-1 B.0 C.1 D.任意实数
4.中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱 问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲 乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有( )
A.60 B.66 C.72 D.80
5.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则m的值可能为( )
A. B. C. D.
7.设函数，.若对任意的，，不等式恒成立，则正数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，点分别是正方体的棱的中点，则( )
A.平面
B.平面
C.直线与平面所成的角为45°
D.平面平面
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.设，则( )
A. B.
C. D.
10.如图，在正五棱柱中，为的中点，分别为上两动点，且，则( )
A.
B.三棱锥的体积随点M的位置的变化而变化
C.当N为的中点时，平面
D.直线与平面所成角的正切值最大为
11.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的( )
A.抛物线的方程是
B.抛物线的准线方程是
C.的最小值是
D.线段AB的最小值是6
12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.下列命题正确的是( )
A.当时，
B.函数有5个零点
C.若关于x的方程有解，则实数m的范围是
D.对，，恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若无穷等比数列的各项均大于1，且满足，，则公比__________.
14.已知函数为定义在R上的偶函数，且当时，，则函数在处的切线斜率为___________.
15.中国传统文化博大精深，民间高人更是不计其数.为推动湘西体育武术事业发展，增强全民搏击健身热度，让搏击这项运动融入人们的生活，“2021年中国湘西边城全国拳王争霸赛”于5月2日至5月3日在花垣县体育馆举行.某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人中挑选人员到现场观看比赛，已知小郑、小汤、小王三人通过考核的概率分别为，，，且三人是否通过考核相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为_________.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，且，的延长线交椭圆于点Q，若椭圆的离心率，则______.
四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）记为数列的前n项和.已知.
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值.
18.（12分）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求角C大小.
(2)若，求的取值范围.
19.（12分）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.
20.（12分）2020年11月2日湖南省衡阳市衡南县清竹村，由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为911.7公斤.在此之前，同一基地种植的早稻品种亩产为619.06公斤.这意味着双季亩产达到1530.76公斤，实现了“1500公斤高产攻关”的目标.在水稻育种中，水稻的不同性状对水稻的产量有不同的影响.某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，如下表(单位：株)：
长穗 短穗 总计
高杆 34 16 50
低杆 10 40 50
总计 44 56 100
(1)根据表中数据判断，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系？
(参考公式：，其中)
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(2)在采样的稻田里随机抽取3株测量每穗总粒数，把抽取的低杆长穗株数记为X，求X的分布列和数学期望(把频率当成概率计算).
21.（12分）已知，分别是双曲线的左、有焦点，，P是C上一点，，且.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）经过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点O作（O为坐标原点），垂足为M.则在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（12分）已知函数.
(1)若恒成立，求a的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意得集合，则，所以，故选B.
2.答案：C
解析：设，，则，
故，，，
故选：C.
3.答案：B
解析：.由，得，解得.故选B.
4.答案：C
解析：5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有种安排方法，
若甲乙在同一实验舱的种数有种，
故甲乙不在同一实验舱的种数有种.
故选：C.
5.答案：B
解析：如图，过点作，垂足为E，由四个侧面的面积之和为可知，侧面的面积为，所以，则.由题意得，在中，.连接AC，，过点作，垂足为F，易知四边形为等腰梯形，且，，则，所以，所以该方亭的体积，故选B.
6.答案：B
解析：由题意得，，，，，又，，，，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数解析式为，由题意可知，函数为奇函数，，，当时，，故选B.
7.答案：B
解析：对任意的，，不等式恒成立，.由，得.当，，当，.，.令，得（舍去）.当时，，当，.，，，，故选B.
8.答案：C
解析：如图，连接.结合已知条件及正方体的性质可知，.因为平面，所以与平面不平行，因此A不正确.连接.易得.又，所以为直线与所成的角.因为，所以，所以与不垂直，所以与平面，不垂直，因此B不正确.由平面，得为直线与平面所成的角.易得，所以直线与平面所成的角为45°，因此C正确.因为，与平面相交，所以直线与平面相交，则平面与平面相交，因此D不正确.故选C.
9.答案：BC
解析：因为，所以，所以，故A错误；因为，所以，所以，即，故B正确；因为，所以，则，所以，故C正确；取，可得，此时，故D错误.
10.答案：ACD
解析：因为F为的中点，所以结合正五边形的对称性可知，.由正棱柱的性质易知.又因为，所以平面.因为平面，所以，故A正确.易知的面积为定值，点E到平面的距离为定值.因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，所以三棱锥的体积为定值，故B错误.当N为的中点时，.因为，所以.因为，所以，则.由选项A的解答易知.又因为，所以平面，故C正确.由题图可知，当点M与点C重合时，直线与平面所成的角最大，且最大角为，所以，故D正确.选ACD.
11.答案：BC
解析：抛物线的焦点为，准线方程为，由点到焦点F的距离等于3，可得，解得，则抛物线C的方程为，准线方程为，故A错误，B正确；
易知直线l的斜率存在，，
设，，直线l的方程为
由消去y并整理，得，
所以，，
所以，
所以AB的中点Q的坐标为，
，
故线段AB的最小值是4，故D错误；
圆Q的半径，
在等腰中，，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，故C正确，故选BC.
12.答案：AD
解析：本题考查函数的基本性质、函数的解析式、函数的零点，由于函数是定义在R上的奇函数，则当时，，，故A正确；由于函数是定义在R上的奇函数，则；当时，由，可得；结合奇函数的图象性质可知还有一个零点为，则函数有3个零点，故B错误；当时，由，得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，此时；由的图象知若方程有解，则，故C错误；由C项可知，当时，；而当时，，则，则对，，恒成立，故D正确，故选AD.
13.答案：2
解析：本题考查等比数列的性质.因为数列是等比数列，所以.又因为，解得或由无穷等比数列的各项均大于1，可知，所以因为，所以，解得（负值舍去）.
14.答案：
解析：，，.
函数为定义在R上的偶函数，
函数在处的切线斜率与函数在处的切线斜率互为相反数，.
15.答案：
解析：设“这三人中仅有两人通过考核”为事件M，“小郑通过考核”“小汤通过考核”“小王通过考核”分别为事件A，B，C，则，，，所以，，，所以.
16.答案：
解析：第一步：利用已知条件及椭圆的定义求，
设，，因为，所以，，由椭圆的定义，得，即，又，所以，两边同时平方得，即，又，所以，所以，，于是，.
第二步：利用椭圆的定义及勾股定理求解
设，则，根据，得，
解得.
第三步：求得结果
故.
17.答案：（1）证明见解析
（2）-78
解析：（1）由，得①，
所以②，
②-①，得，
化简得，
所以数列是公差为1的等差数列.
（2）由（1）知数列的公差为1.
由，得，
解得.
所以，
所以当或13时，取得最小值，最小值为-78.
18.答案：(1).
(2)取值范围是.
解析：(1)因为，
所以由正弦定理得，
所以，
因为，所以.
(2)由正弦定理得，
所以
，因为，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）设点A到平面的距离为h，
因为直三棱柱的体积为4，
所以，
又的面积为，，
所以，
即点A到平面的距离为.
（2）取的中点E，连接AE，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
又平面ABC，
所以，因为，所以平面，
所以.
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，，所以，，
因为的面积为，所以，所以，
所以，，，，，，
则，，
设平面ABD的法向量为，
则即
令，得，
又平面BDC的一个法向量为，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.
20.答案：(1)能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系.
(2)分布列见解析，数学期望为.
解析：(1)根据2×2列联表中的数据，
可得
，
因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系.
(2)记“在采样的稻田里抽出低杆长穗稻株”为事件A，
则，所以.
X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以随机变量X的分布列如表所示，
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望.
21.答案：（1）
（2）在x轴上存在定点，使得为定值
解析：（1）由题意得，
因为，，
所以，
又，所以，解得，
所以，，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由（1）得，设，，则，
易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，
联立直线l与双曲线C的方程，消去x得，，
，.
因为直线BD的斜率，
所以直线BD的方程为，
若在x轴上存在定点N，使得为定值，则直线BD过x轴上的某个定点.
在直线BD的方程中，令，得，
所以直线BD过定点.
因为，所以为直角三角形，
取OE的中点，则，为定值.
综上，在x轴上存在定点，使得为定值.
22.答案：(1).
(2)的取值范围是.
解析：(1)由题可知，要使恒成立，即恒成立.
令，则.
当时，，所以在上单调递增，
又，与矛盾，不满足题意.
当时，若，则；
若，则.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
综上，.
(2)由题可知，所以是方程的两个根，
所以，所以，所以.
又，所以.
不妨设，则上式转化为.
令，则在上恒成立.
由，易知.
令，则.
令，则函数的图象开口向下，且对称轴为.
①当，即时，，
则在上恒成立，在上单调递减，
则，符合题意.
②当，即时，，此时存在唯一的，
使得，
则在上单调递增，在上单调递减，从而，不合题意.
综上所述，的取值范围是.