2023届高三下学期4月新高考数学猜题卷(2)
【满分:150分】
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.复数z满足(i为虚数单位),则复数z的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
4.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数的最小正周期为π,将函数的图象沿x轴向右平移个单位长度,得到函数的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数在上是增函数
B.函数的图象关于直线对称
C.函数是奇函数
D.函数的图象关于点中心对称
6.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑中,平面BCD,,且,M为AD的中点,则异面直线BM与CD夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知且,且,且,则( )
A. B.
C. D.
8.已知,是椭圆的左、右焦点,A是椭圆的上顶点,过点A且斜率为的直线上有一点P,满足是以为顶角的等腰三角形,,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.在某次高中学科竞赛中,4000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间的中点值作代表,则下列说法中正确的是( )
A.成绩在内的考生人数最多
B.不及格的考生人数为1000
C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D.考生竞赛成绩的中位数为75分
10.已知平面向量,,则下列说法正确的是( )
A.
B.b在a方向上的投影向量为
C.与b垂直的单位向量的坐标为
D.若向量与向量共线,则
11.在某市商业区有一个圆形的广场,称为“阿氏圆广场”.阿氏圆是古希腊著名数学家阿波罗尼斯的发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.从广场的外圆周的任意一点P,以同样的速度,到达A商场的所用时间是到达B商场所用时间的2倍.建立平面直角坐标系,,点P满足,广场外圆周即点P的轨迹设为C,下列结论正确的是( )
A.C的方程为
B.居民经过商场B,从广场一侧直线到达另一侧,需走的最短路程为
C.过A做广场的切线,切点为M和N,则过点B
D.一条市政公路所在直线为,则从广场到公路的最短距离为4
12.已知三棱柱的六个顶点都在球O的球面上,.若点O到三棱柱的所有面的距离都相等,则( )
A.平面
B.
C.平面截球O所得截面圆的周长为
D.球O的表面积为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.在二项式的展开式中,各项的系数之和为512,则展开式中常数项的值为___________.
14.已知直线与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,且,则_____________.
15.已知等比数列的公比,其前n项和为,且,则数列的前2021项和为___________.
16.已知函数的零点为,函数的零点为,给出以下三个结论:①;②;③.其中所有正确结论的序号为________.
四、解答题:本题共6题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
(1)求角A;
(2)若的外接圆半径,,求的面积.
18.(12分)已知数列的前n项和为.
(1)记,证明:是等差数列,并求的通项公式;
(2)记数列的前n项和为,求,并求使不等式成立的最大正整数n.
19.(12分)在四棱锥中,底面ABCD,,,,.
(1)证明:;
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
20.(12分)医学权威杂志《柳叶刀》指出,中国19岁男性平均身高达到175.7厘米,女性达到163.5厘米,位列东亚第一.关老师随机调查了高三(满19岁)100名学生的身高情况,并将统计结果整理如表.
末达到平均身高 达到平均身高
女 10 45
男 15 30
(1)能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下,认为是否达到平均身高与性别有关
(2)现在从本次调查的“达到平均身高”的学生中利用分层抽样的方法随机抽取10人进一步调查,再从这10人中抽取4人作为案例进行分析,记这4人中男生的人数为X,求X的分布列与数学期望.
附:,.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21.(12分)双曲线经过点,且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P的两条直线,与双曲线C分别交于A,B两点(A,B两点不与P点重合),设直线,的斜率分别为,,若,证明:直线AB过定点.
22.(12分)已知函数为的导函数.
(1)讨论的极值;
(2)若存在,使得不等式成立,求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案:B
解析:集合或,则.又,所以.故选B.
2.答案:B
解析:由题知,复数,则复数z的共轭复数是,故选B.
3.答案:C
解析:,
,
.
4.答案:A
解析:本题考查函数的图象.根据函数解析式,因为,所以该函数为偶函数,其图象关于y轴对称,且恒成立,当时,函数值为0,只有选项A符合题意.
5.答案:A
解析:,,得,
因此,
,
对于A,由,得,此时单调递减,则函数单调递增,故A正确;对于B,令,,得,,故B错误;对于C,,则函数是偶函数,故C错误;对于D,令,,得,,当时,,故D错误.故选A.
6.答案:A
解析:如图,取AC的中点为N,连接MN,BN,则且,所以即异面直线BM与CD的夹角或其补角.因为平面BCD,平面BCD,所以,又,,所以平面ABC,所以平面ABC,所以.设,则,,,在中,,所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为.
7.答案:D
解析:由,,得,,.构造函数,,则.由得,由得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,因为,,,所以.画出函数的大致图象,如图所示,故,故选D.
8.答案:B
解析:由题意易知直线AP的方程为①,因为为等腰三角形,,所以直线的方程为②,联立①②可得.如图,过点P向x轴引垂线,垂足为H,则,所以,即,,所以,,故选B.
9.答案:ABC
解析:由频率分布直方图可得,成绩在内的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;由频率分布直方图可得,成绩在内的频率为,因此不及格的人数为,故B正确;C选项,由频率分布直方图可得,平均分约为(分),故C正确;因为成绩在内的频率为,在内的频率为0.3,所以中位数为,故D错误.故选ABC.
10.答案:AD
解析:选项A:由题意知,,,则,A正确;
选项B:b在a方向上的投影向量为,B错误;
选项C:与b垂直的单位向量的坐标为或,C错误;
选项D:因为向量与向量共线,所以若存在,使得,则,
所以,D正确.
11.答案:ABC
解析:设点P的坐标为,由得,则,整理得曲线C的方程为,故选项A正确;若过B的路程最短,即需求过点B的最短弦长,即当B与圆心C的连线和弦垂直时弦长最短,由勾股定理得最短弦长为,故选项B正确;由题意可知四点共圆且在以为直径的圆上,圆的方程为.又在上,联立两个方程化简得直线的方程为,则点B在上,所以过点B,故选项C正确;当圆心C与直线垂直时,距离最短,圆心C到直线的距离为.因为圆的半径为2,所以最短距离为,故选项D错误,故选ABC.
12.答案:AC
解析:三棱柱的六个顶点都在球O的球面上,根据球的对称性可知三棱柱为直棱柱,所以平面,因此A正确.因为,所以.因为点O到三棱柱的所有面的距离都相等,所以三棱柱的内切球与外接球的球心重合.设该三棱柱的内切球的半径为r,则,所以,因此B错误.由,可知,解得(负值已舍去),则.易得的外接圆的半径,所以平面截球O所得截面圆的周长为,因此C正确.三棱柱外接球的半径,所以球O的表面积,因此D错误.故选AC.
13.答案:135
解析:因为二项式的展开式中,各项的系数之和为512,所以令,得,解得.又因为的展开式的通项公式为,令,解得,所以展开式中常数项为.
故答案为:135.
14.答案:2
解析:设,,联立方程,得,
即,,,
,
又,,解得.
15.答案:
解析:因为,
所以,所以,得或(舍去),所以,故.
因为,
所以.
故答案为:
16.答案:①③
解析:由题意得,则,
易知在R上单调递增,在R上有且仅有一个零点,,易知,①正确;
又,
,②错误;
,则,
易知,故,③正确.
综上,所有正确结论的序号为①③.
17.答案:(1).
(2).
解析:(1)因为,所以由正弦定理,得,
所以,
所以,
所以,
即,又,
所以.
又,故.
(2)由题意知.
由余弦定理,得,
所以,则,
故.
18.答案:(1)证明过程见解析,.
(2)n为5.
解析:(1)由,得,
即,
.
即,
又,
数列是以1为首项,2为公差的等差数列,
.
(2)由(1)知.
,①
,②
①-②,得
,
,
是递增数列,
,
使不等式成立的最大正整数n为5.
19.答案:(1)证明见解析
(2)
解析:解:(1)如图所示,取AB中点为O,连接DO,CO,则.
又,所以四边形DCBO为平行四边形.
又,
所以四边形DCBO为菱形,所以.
同理可得,四边形DCOA为菱形,所以,
所以.
因为底面ABCD,底面ABCD,所以,
又,平面ADP,所以平面ADP.
因为平面ADP,所以.
(2)由(1)知,又,所以,
所以三角形ADO为正三角形.
过点D作垂直于DC的直线为x轴,DC所在直线为y轴,DP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,.
则,,.
设平面PAB的法向量为,
则.
令,则,,所以.
设直线PD与平面PAB所成的角为,
则,
所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
20.答案:(1)在犯错误的概率不超过0.10的前提下,可以认为是否达到平均身高与性别有关
(2)
解析:(1)补全列联表如下:
末达到平均身高 达到平均身高 合计
女 10 45 55
男 15 30 45
合计 25 75 100
则,
所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下,可以认为是否达到平均身高与性别有关.
(2)利用分层抽样的方法可得,在10人中,达到平均身高的女生有6人,男生有4人.所以X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
,,
,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以数学期望.
21.答案:(1).
(2)证明过程见解析.
解析:(1)由题得双曲线C的一条渐近线方程为,虚轴的一个顶点为,
依题意得,即,
即,①
又点在双曲线C上,
所以,即,②
由①②解得,,
所以双曲线C的方程为.
(2)当直线AB的斜率不存在时,点A,B关于x轴对称,
设,,
则由,解得,
即,解得,不符合题意,所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为,代入,
整理得,,
设,,
则,,
由,得,
即,
整理得,
所以,
整理得,即,
所以或.
当时,直线AB的方程为,经过定点;
当时,直线AB的方程为,经过定点,不符合题意.
综上,直线AB过定点.
22.答案:(1)当时,没有极值;当时,的极小值为,无极大值.
(2)取值范围为.
解析:(1)由题意知,的定义域为,,
设,则,
①当时,在上单调递增,没有极值;
②当时,若,则在上单调递减,
若,则在上单调递增,
在处取得极小值,且极小值为在上没有极大值.
综上,当时,没有极值;当时,的极小值为,无极大值.
(2)由题意知,存在,使得,
即存在,使得,
构造函数,
则,
当,即时,在上恒成立,
单调递增,所以,得,与矛盾,不满足题意.
当,即时,若,则单调递减,
若,则,单调递增,此时,
由,得,
所以,因为,所以不等式不成立.
当,即时,在上恒成立,单调递减,
所以,得,满足题意.
综上,实数a的取值范围为.