2023届高三下学期4月新高考数学猜题卷（3）（含解析）

2023届高三下学期4月新高考数学猜题卷（3）
【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数z满足，则( )
A.1 B. C. D.
3.已知，，，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
4.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为( )
A. B. C. D.
5.圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是( )
A.8 B. C. D.
6.已知的图象关于点对称，且对任意，都有成立，当时，，则( ).
A.-8 B.-2 C.0 D.2
7.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著.《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.其中卷第五《商功》中记载了如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何 ”其意思为“现在有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，无宽，上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少 ”(1丈为10尺).该问题中涉及的几何体如图所示，在多面体中，平面的中点G在底面上的射影为矩形的中心，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知，为椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若，，则椭圆C的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.若，且，则下列不等式中，恒成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是( )
A.是函数的一个零点
B.函数的图象关于直线对称
C.方程在上有三个解
D.函数在上单调递减
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A.若实数，是的两个不同的极值点，且满足，则或
B.函数的图象过坐标原点的充要条件是
C.若函数在R上单调，则
D.若函数的图象关于点中心对称，则
12.正四面体中，点分别满足，其中，则下列说法正确的有( )
A.当时，平面
B.不存在λ使得
C.异面直线与所成角的余弦值
D.若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数列的前n项和为，且，则________.
14.的展开式中常数项为_________.（用数字作答）
15.已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线l与C交于A，B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点.若点M的横坐标为1，则的取值范围为________.
16.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为____________.
四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知数列的前n项和为.
（1）若，，证明：；
（2）在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证.
18.（12分）已知菱形ABCD的边长为2，，E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.
(1)若的面积为，求DE的长.
(2)若，求.
19.（12分）某工厂统计了某产品的原材料投人x(万元)与利润y(万元)间的几组数据如下：
原材料投入x(万元) 82 84 85 86 88
利润y(万元) 770 800 830 850 900
(1)根据经验可知原材料投人x(万元)与利润y(万元)间具有线性相关关系，求利润y(万元)关于原材料投人x(万元)的线性回归方程.
(2)当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为多少万元
附：，.
20.（12分）如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点.
（1）求证：平面PAC；
（2）若，，，求二面角正余弦值.
21.（12分）已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.
22.（12分）已知函数(其中e为自然对数的底数，).
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，方程有两个不同的实数根，求证：.
答案以及解析
1.答案：D
解析：集合，所以，所以.故选D.
2.答案：D
解析：由，所以，故选D.
3.答案：B
解析：由，解得，所以，则a与b的夹角为，故选B.
4.答案：B
解析：设，分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，
甲厂生产该芯片的次品率为p，
则，，，，
则由全概率公式得：，解得，
故选：B.
5.答案：A
解析：本题考查圆锥的侧面积、底面积、截面面积的求解.设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为，则，得，所以，因为为锐角，所以，即，则θ为纯角，所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为.故选A.
6.答案：B
解析：因为的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，即函数为奇函数，所以，
又对任意，都有成立，
所以，所以，即函数是周期为4的周期函数，
因为当时，，
所以，
故选B.
7.答案：D
解析：本题考查数学文化、异面直线所成角.如图，分别取的中点，连接，则，所以(或其补角)为异面直线与所成角..由题意知四边形为等腰梯形，则由等腰梯形的性质知，所以，所以在中，由余弦定理，得，故选D.
8.答案：A
解析：因为点A在椭圆上，所以，把该等式两边同时平方，得.又，所以，则，即，所以.因为是直角三角形，，且O为的中点，所以.不妨设点A在第一象限，则，所以，所以，即，故，所以椭圆C的方程为，故选A.
9.答案：AD
解析：对于A，因为，所以，因此A项正确；对于B，取，此时，因此B项不正确；对于C，取，此时，因此C项不正确；对于D，因为，所以，所以，因此D正确.
10.答案：ABD
解析：由题意得，，解得，又为正整数，所以，所以.函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数.
由题意，函数的图象关于原点对称，故，即.又，所以，，所以.
A选项，故A正确；
B选项：，所以B正确；
选项：令，因为，所以，，显然在内只有，两个解，故C错误；
D选项：当时，，，故函数在上单调递减，D正确.
11.答案：ABD
解析：A选项，由题意知实数，是方程的两个不等实根，
所以，且，，由，得，所以，解得或，所以A正确.
B选项：若函数的图象过坐标原点，则，故充分性成立；反之，若，则，故函数的图象过坐标原点，必要性成立.故B正确.
选项：若函数在R上单调，则恒成立，所以，即，故C不正确.
D选项：因为函数的图象关于点中心对称，所以，即，整理得，所以，所以D正确.
12.答案：AD
解析：对于A，如图1，当时，点分别是的中点，.又平面，平面，所以平面，故选项A正确；对于B，如图2，将正四面体放在正方体内，由正方体的结构特征可知，所以当分别是的中点时，，即存在λ使得，故选项B错误；对于C，如图1，取的中点E，连接，则，异面直线与所成角即为.在中，设，则，由余弦定理得，故选项C错误；对于D，如图2，把正四面体放入正方体中，由正四面体的棱长为，得正方体的边长为2，所以正方体的外接球的直径为，则该正方体的外接球的体积，即该正四面体的外接球的体积为，故选项D正确，故选AD.
13.答案：
解析：因为，所以当时，由，得；
当时，，
化简得，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以.
14.答案：182
解析：因为，
其中展开式的通项为，
令得的常数项为，
令，即得展开式中的系数为.
所以的常数项为.
故答案为：182.
15.答案：
解析：由题知解得所以双曲线.设直线l的方程为，联立消去y并整理得，
所以，所以，
设，，，所以，，
所以，，又，所以，所以，易知直线l与双曲线左、右两支各交于一点，所以，所以，所以，所以
16.答案：
解析：由题可知，当时，不等式恒成立，设，则在上是增函数，则在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以，所以.
17.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为，，
所以，，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，
，
当时，，，
当时，满足上式，
所以，所以成立.
（2）由（1）知，
，
所以，
则，
所以，
所以成立.
18.答案：(1)
(2)
解析：(1)依题意，得.
因为的面积，
所以，解得.
在中，由余弦定理得.
(2)方法一：连接BD.
依题意，得，
设，则，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，所以.
方法二：连接BD.
依题意，得，，
设，则，
设，因为，则，
在中，由余弦定理，得，
即，解得，或.
又因为，所以，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以.
19.答案：(1)
(2)1160万元
解析：(1)由题中数据可得，
所以
所以，
所以线性回归方程为.
(2)当时，(万元)，
即当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为1160万元
20.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.
因为，所以.
因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以.
又平面POD，且，所以平面POD.
因为平面POD，所以，
又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，
因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
又平面ODE，，
所以平面平面PAC.
又平面ODE，所以平面PAC.
（2）连接OA，
因为平面ABC，平面ABC，
所以，，
所以.
易得在中，，
所以，，
又，
所以在中，.
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，
设平面AEC的法向量为，
则，即，
令，则.
设平面AEB的法向量为，
则，即，令，则.
所以.
设二面角的大小为，
则.
21.答案：(1)
(2)
(1)焦点，显然直线AB的斜率存在，设，与联立，消去y得，设，，，则，所以，所以且，
故，
即，
整理得对任意的k恒成立，故，所求抛物线C的方程为.
(2)由题知，，，，，，则.又弦AB的中点为M，的重心为G，则，故，所以.
点D到直线AB的距离，
，
所以四边形DEMG的面积
当且仅当，即时取等号，
此时四边形DEMG面积的最小值为.
22.答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)当时，，
则，
因此，
故曲线在点处的切线方程为.
(2)由题意知方程有两个不同的实数根.
对于函数，
令，解得，
令，解得，
则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，得.
又当时，，所以方程的两个不同的实数根均大于0.
当时，方程即方程，
则原问题等价于有两个不同的正实数根.
令，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，则.
令，
则，
因此在上单调递增，
从而当时，，
所以，
因为，函数在上单调递减，
所以，即，
则，
故原命题得证.