数学 学科《7．5 正态分布》学案
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（一）学习目标
1.了解服从正态分布的随机变量；了解正态分布的特征. 2.了解正态分布的均值、方差及其含义.
（二）问题与例题
问题1：什么是正态分布？ 对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为 ,称它的图象为 ,简称 ,若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normal dis-tribution),记为 .特别地,当u=0, σ=1时,称随机变量X服从 . 问题2：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？ 问题3：观察正态曲线、相应的密度函数及概率的性质，你能发现正态曲线的哪些特点？ 问题4：正态分布的期望和方差 例1：李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到,坐公交车平均用时30 min，样本方差为36;骑自行车平均用时34 min,样本方差为4；假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X,Y的分布中的参数; (2）根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线; (3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具 如果某天只有34 min可用,又应该选择哪种交通工具 请说明理由. 例2. 假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：cm，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高： （1）不高于170的概率； （2）在区间[160，180]内的概率； （3）不高于180的概率. 跟踪训练1．某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：）.该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得 其质量均大于大于515g. （1）求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率约为多少; （2）检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.
（三）检测反馈
检测：教材第34页练习1
（四）限时训练
A 组(基础题 ) 1．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝( ) A．0.85 B．0.70 C．0.35 D．0.15 2．某厂生产的零件外径X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为( ) A．上午生产情况正常，下午生产情况异常 B．上午生产情况异常，下午生产情况正常 C．上午、下午生产情况均正常 D．上午、下午生产情况均异常 3．设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 4．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) 附：若X～N(μ，σ2)， 则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5. A．2 386 B．2 718 C．3 414 D．4 772 5．设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)＝0.022 75，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分点的个数的估计值为( ) 附：(随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)． A．12 076 B．13 173 C．14 056 D．7 539 6．某市有48 000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有__________人． 7．设X～N(3，42)，试求： (1)P(－1≤X≤7)；(2)P(7≤X≤11)；(3)P(X＞11)． B 组(中等题 ) 8．(多空题)已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为__________，X落在区间(2，3]内的概率为__________． 9．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6，0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？ C 组(提高题 ) 10．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图： (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布，求P(187.8≤Z≤212.2)； ②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8，212.2]的产品件数，利用①的结果，求E(X)． 附：≈12.2. 若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5.7．5 正态分布
课型为：R新授课 复习课 习题/试卷讲评课 实践活动课
一、内容分析
（一）课程标准要求（教学目标）
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.
2.了解正态分布的均值、方差及其含义.
二）核心素养要求
通过了解正态分布的特征，提升数学抽象及数据分析素养.
（三）知识联系：学生已经学过全概率事件，本节课的内容就是在此基础上的发展。由于它数学中的一个重要考点,所以在本学科中的作用是承上启下.
二、学情分析
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不会计算概率，不会应用概率公式，产生这一问题的原因是学生分不清楚事件，解决的关键办法是通过简单事件求复杂事件.
三、重点难点
教学重点是正态分布的特征，概率的表示正态分布的均值、方差及其含义.解决重点的关键是通过图形引导学生寻找特征.
教学难点是描述正态分布随机变量的概率分布，解决难点的关键是小组合作，教师引导.
四、活动设计
【学】：导学（占本次课的 5-10%）
教师活动：高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．
问题 正态分布有哪些应用？
提示 正态分布在概率和统计中占有重要的地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．
学生活动：自己阅读课本，进行思考.
【学】：自学、互学、模仿应用等（教师自主组合）占本次课的 35-45%
问题1：什么是正态分布？
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normal dis-tribution),记为X~N(u,σ2).特别地,当u=0, σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
问题2：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？
其中μ∈R，＞0为参数.
由X的密度函数及图像可以发现，正态曲线有以下特点：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值 (最高点)
（4）当|X|无限增大时，曲线无限接近x轴.
（5）X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 .
问题3：观察正态曲线、相应的密度函数及概率的性质，你能发现正态曲线的哪些特点？
（1） 当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
问题4：正态分布的期望和方差
参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度。
设计意图：通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而引入正态分布的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
教师活动：巡视课堂，参与、点拨、指导小组学习
学生活动： 阅读教材，自己独立完成任务，完成之后小组研究讨论.
【用】：变通、迁移等 约占本次课的 25%
设计意图：通过典例解析，在具体的问题情境中，深化对正态分布的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
教师活动：教师讲解例题，对学生进行引导，引导学生归纳做题思路.
学生活动：学生讨论归纳做题思路，完成变式.
例1：李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到,坐公交车平均用时30 min，样本方差为36;骑自行车平均用时34 min,样本方差为4；假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
(1)估计X,Y的分布中的参数;
(2）根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线;
(3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具 如果某天只有34 min可用,又应该选择哪种交通工具 请说明理由.
例2. 假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：cm，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：
（1）不高于170的概率；
（2）在区间[160，180]内的概率；
（3）不高于180的概率.
解：设该学生的身高为X，由题意可知X~N(170 ，102 ).
（1）P(X≤170 )=50％,
（2）因为均值为170，标准差为10，而160=170-10,180=170+10，所以
P(160≤X≤ 180 ) =P(|X –170|≤10) ≈68.3％，
(3）由（2）以及正态曲线的对称性可知
P(170≤X≤ 180 )= P(160≤X≤ 180 ) ≈ 68.3％=34.15％，
由概率加法公式可知P(X≤ 180 )= P(X≤ 170 )+ P(170≤X≤ 180 )
≈ 50％+34.15％=84.15％.
服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
(2)注意概率值的求解转化:
①P(X
②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);
(3)熟记P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.
③若b<μ,则P(X跟踪训练1．某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：）.该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得
其质量均大于大于.
（1）求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率约为多少;
（2）检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.
解：设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为，由题意可知．
(1)由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知
.
(2)检测员的判断是合理的. 因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都小于的概率约为，
几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.
【用】：检测反馈 约占本次课的 20%
检测：教材第87页练习1，2
小结：
【用】：限时训练 （分 ABC 三层，用时 30-40 分钟）
（分 ABC 三组，学生可选做 AB 组或 BC 组）
A 组(基础题 )
1．已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X>2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝( )
A．0.85 B．0.70 C．0.35 D．0.15
解析 P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X>2)＝0.35.
答案 C
2．某厂生产的零件外径X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为( )
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上午、下午生产情况均正常
D．上午、下午生产情况均异常
解析 因测量值X为随机变量，又X～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，
记I＝[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.4，10.6]，则9.9∈I，9.3 I.故选A.
答案 A
3．设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 因为随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，所以由正态分布密度曲线的对称性(对称轴是x＝1)可知，a－2＝2×1，解得a＝4.
答案 B
4．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
附：若X～N(μ，σ2)，
则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A．2 386 B．2 718 C．3 414 D．4 772
解析 由P(－1≤X≤1)≈0.682 7，得P(0答案 C
5．设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥3)＝0.022 75，那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分点的个数的估计值为( )
附：(随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)．
A．12 076 B．13 173 C．14 056 D．7 539
解析 由题意得，P(X≤－1)＝P(X ≥3)≈0.022 75，
∴P(－1∵P(μ－2σ∴1－2σ＝－1，故σ＝1，∴P(0故估计落入阴影部分的点的个数为20 000×(1－0.341 35)＝13 173.
答案 B
6．某市有48 000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有__________人．
解析 设X表示该市学生的数学成绩，则X～N(80，102)，则P(80－10答案 16 385
7．设X～N(3，42)，试求：
(1)P(－1≤X≤7)；(2)P(7≤X≤11)；(3)P(X＞11)．
解 ∵X～N(3，42)，∴μ＝3，σ＝4.
(1)P(－1≤X≤7)＝P(3－4≤X≤3＋4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
(2)∵P(7≤X≤11)＝P(－5≤X≤－1)，
∴P(7≤X≤11)＝[P(－5≤X≤11)－P(－1≤X≤7)]
＝[P(3－8≤X≤3＋8)－P(3－4≤X≤3＋4)]
＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]
≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
(3)∵P(X＞11)＝P(X＜－5)，
∴P(X＞11)＝[1－P(－5≤X≤11)]＝[1－P(3－8≤X≤3＋8)]
＝[1－P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5)＝0.022 75.
B 组(中等题 )
8．(多空题)已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为__________，X落在区间(2，3]内的概率为__________．
解析 由正态分布的概率密度函数知μ＝1，σ＝1，所以总体分布密度曲线关于直线x＝1对称，且在x＝1处取得最大值．根据正态分布密度曲线的特点可知x＝1为f(x)的极大值点．由X～N(1，1)知P(2答案 x＝1 0.135 9
9．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，X服从N(6，0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
解 还有7分钟时：
若选第一条路线，即X～N(5，1)，能及时到达的概率
P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5若选第二条路线，即X～N(6，0.16)，能及时到达的概率
P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6＝＋P(μ－2.5σ因为P1同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．
C 组(提高题 )
10．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8≤Z≤212.2)；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8，212.2]的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5.
解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为
x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200，150)，从而P[187.8≤Z≤212.2]＝P(200－12.2≤Z≤200＋12.2)≈0.682 7.
②由①知，一件产品的质量指标值位于区间[187.8，212.2]的概率为0.682 7，依题意知X～B(100，0.682 7)，所以E(X)＝100×0.682 7＝68.27.