8.6.3 平面与平面垂直（第1课时）
【预学案】
【情境导入】
在日常生活中，有很多平面与平面相交的例子．比如笔记本电脑打开过程中，屏幕和键盘所在的平面相交并形成了一定的角度；打开门（或窗）的过程中，门（或窗）与墙所在的平面相交并形成一定的角度；修筑水坝时为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度．
问题1：在平面几何中，我们通过引入“角”的概念来刻画两条相交直线的位置关系，你能在空间中引入类似的概念来刻画两个相交平面的位置关系吗？
【教材新知】
知识点1 二面角的概念
定义：从一条直线出发的__两个半平面__所组成的图形
相关概念：①这条直线叫做二面角的__棱__；②这两个半平面叫做二面角的__面__
画法：
记法：二面角__α－l－β__或__α－AB－β__或__P－l－Q__或P－AB－Q
二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作__垂直于__棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 __∠AOB__叫做二面角的平面角.
平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角α的取值范围是__0°≤α≤180°__
知识点2 面面垂直的定义
定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：__α⊥β__
画法：画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成__垂直__
知识点3 平面与平面垂直的判定定理：
1.文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
2.图形语言：
3.符号语言：
结构特征：线面垂直面面垂直
垂直关系的转化：线线垂直线面垂直面面垂直
简记：线面垂直，则面面垂直
【预习自测】
1、下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中正确的是( B )
A．①③ B．②④
C．③④ D．①②
[解析] 由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确.故选B．
2、若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( D )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．关系无法确定
[解析] 如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定.
【探究案】
探究一、二面角平面角的概念及求法
例1、四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；
(2)求二面角B－PA－D的平面角的度数；
(3)求二面角B－PA－C的平面角的度数；
[解析] (1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.
所以二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B－PA－D的平面角.又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.
(3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°.
所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.
【变式】 在例1中求二面角B－PC－D的平面角的度数.
解：作BE⊥PC于E，连接DE、BD，且BD与AC交于点O，连接EO，
如图.由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE.
所以∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.
所以∠BED为二面角B－PC－D的平面角.
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.
设AB＝a，则PA＝AB＝BC＝a，所以PB＝a，PC＝a，
所以BE＝＝a，BD＝a.所以sin∠BEO＝＝＝.
因为∠BEO∈(0°，90°)，所以∠BEO＝60°.所以∠BED＝120°.
所以二面角B－PC－D的平面角的度数为120°.
【归纳总结】求二面角大小的步骤：
简称为“一作二证三求”.作平面角时，一定要注意顶点的选择.
【练习】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值.
[解析] 取A1C1的中点O，连接B1O、BO.由题意知B1O⊥A1C1，
又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角.
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1 平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1．
设正方体的棱长为a，则OB1＝a，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，
所以二面角B－A1C1－B1的正切值为.
探究二 平面与平面垂直的证明
例2、如图，在正方体中，求证：平面。
【变式】 如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．
【归纳总结】证明平面与平面垂直的方法：
(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角.
(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.
(3)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”.
【练习】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD.
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD.
[分析] (1)根据已知的线段长度，证明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理证得结论.(2)根据(1)问得到PD⊥平面ABCD，从而有PD⊥AC，然后结合底面ABCD为正方形得到AC⊥BD，从而找出平面PDB的垂线AC，最后利用判定定理证得结论.
[证明] (1)因为PD＝a，DC＝a，PC＝a，
所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，
所以PD⊥平面ABC.
因为PD 平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，
所以AC⊥平面PDB.
同时，AC 平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBD.
【课后小结】8.6.3 平面与平面垂直（第1课时）
【学习目标】
1．通过直观感知，归纳出平面与平面的判定定理.
2．会用平面与平面的判定定理证明平面与平面垂直.
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
【情境导入】
在日常生活中，有很多平面与平面相交的例子．比如笔记本电脑打开过程中，屏幕和键盘所在的平面相交并形成了一定的角度；打开门（或窗）的过程中，门（或窗）与墙所在的平面相交并形成一定的角度；修筑水坝时为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度．
问题1：在平面几何中，我们通过引入“角”的概念来刻画两条相交直线的位置关系，你能在空间中引入类似的概念来刻画两个相交平面的位置关系吗？
【教材新知】
知识点1 二面角的概念
定义：从一条直线出发的__两个半平面__所组成的图形
相关概念：①这条直线叫做二面角的__棱__；②这两个半平面叫做二面角的__面__
画法：
记法：二面角__α－l－β__或__α－AB－β__或__P－l－Q__或P－AB－Q
二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作__垂直于__棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 __∠AOB__叫做二面角的平面角.
平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角α的取值范围是__0°≤α≤180°__
知识点2 面面垂直的定义
定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：__α⊥β__
画法：画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成__垂直__
知识点3 平面与平面垂直的判定定理：
1.文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
2.图形语言：
3.符号语言：
结构特征：线面垂直面面垂直
垂直关系的转化：线线垂直线面垂直面面垂直
简记：线面垂直，则面面垂直
【预习自测】
1、下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中正确的是( )
A．①③ B．②④
C．③④ D．①②
2、若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．关系无法确定
【预习反馈】
【探究案】
探究一、二面角平面角的概念及求法
例1、四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；
(2)求二面角B－PA－D的平面角的度数；
(3)求二面角B－PA－C的平面角的度数；
【变式】 在例1中求二面角B－PC－D的平面角的度数.
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【归纳总结】求二面角大小的步骤：
【练习】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值.
探究二 平面与平面垂直的证明
例2、如图，在正方体中，求证：平面。
【变式】 如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．
【归纳总结】证明平面与平面垂直的方法：
【练习】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD.
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD.
【课后小结】
