第九章统计
9.2用样本估计总体
1.极差为一组数据中最大值与最小值的差.
2.频率分布直方图中，纵轴.
频率分布直方图中各小长方形的面积频率.
各小长方形的面积总和等于1.
3.一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.
计算一组个数据的第百分位数：①按从小到大排列原始数据.②计算.③若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数.
4.中位数相当于是第50百分位数，除中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组从小到大排列后的数据分成四等分，因此称为四分位数.
4.在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.众数是最高矩形所对的中点值.
5.假设一组数据是，用表示这组数据的平均数，则方差为，标准差为.标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以
[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组得到如下频率分布直方图，则直方图中的值为（ ）
A．0.007 B．0.0075
C．0.008 D．0.0085
【答案】B
【详解】在频率分布直方图中，各小矩形面积和为1，
即，
解得，.
故选：B.
为了检查“双减”政策落实效果，某校邀请学生
家长对该校落实效果进行评分．现随机抽取100名家长进行评分调查，发现他们的评分都在40~100分之间，将数据按，，，，，分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则在抽取的家长中，评分落在区间内的人数是（ ）
A．55 B．60
C．70 D．75
【答案】D
【详解】由题图，内频率为，
所以评分落在区间内的人数是人.
故选：D
某工厂抽取件产品测其重量（单位：
）．其中每件产品的重量范围是．数据的分组依次为、、、，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为（ ）
A．30 B．40
C．60 D．80
【答案】B
【详解】由图可知，重量在内的产品件数为.
故选：B.
从一批零件中抽取80个，测量其直径（单
位：），将所得数据分为9组：，，…，，，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）
A．10 B．30
C．18 D．36
【答案】B
【详解】由题意知，直径落在的频率为，所以频数为.
故选：B.
用条形图描述某班学生的一次数学单元测验成
绩（满分100分）.如图所示，由图中信息给出下列说法：
①该班一共有50人；
②如果60分为合格，则该班的合格率为88%；
③人数最多的分数段是80-90；
④80分以上（含80分）占总人数的百分比为44%.
其中正确说法的个数为：（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】根据条形图进行数据分析：
①该班一共有2+4+10+12+14+8=50(人),此项正确；
②，此项正确；
③由条形图可知：人数最多的分数段是80-90,此项正确;
④80分以上(含80分)占总人数的百分比为,此项正确.
故选：D
某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循
环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果．据悉该企业2021年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如下图所示．则以下说法错误的是（ ）
A．2021年甲系列产品收入和2020年的一样多
B．2021年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多
C．2021年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的
D．2021年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍还多
【答案】C
【详解】设2020年5种系列产品年总收入为m，则2021年5种系列产品年总收入为2m，
对于A，2020年甲系列产品收入为0.4m，2021年甲系列产品收入为0.4m，A正确；
对于B，2021年乙和丙系列产品收入之和为1.1m，B正确；
对于C，2020年丁系列产品收入为0.15m，2021年丁系列产品收入为0.1m，是2020年丁系列产品收入的，C不正确；
对于D，2020年戊系列产品收入为0.15m，2021年戊系列产品收入为0.4m，比2020年戊系列产品收入的2倍还多，D正确.
故选：C
一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温
（）有一定的关系．图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
A．气温最高时，用电量最多
B．气温最低时，用电量最少
C．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加
【答案】C
【详解】根据所给的两个图，可以看出2月份气温最低，8月份气温最高，它们的用电量都是最多，所以选项A错误；1月份气温最低，但是其用电量不是最少，所以选项B错误；从5月份开始，气温上升时，用电量随气温升高而增加，所以选项C正确；不存在当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加，所以选项D错误.
故选：C．
某学校七年级甲、乙两班进行了一次数学能力
测试．两个班均有40人参加测试，测试成绩分为A，B，C，D四个等级，现将甲、乙两班的成绩分别绘制成如图所示的统计图．根据统计图提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲班D等级的人数最多
B．乙班A等级的人数最少
C．乙班B等级与C等级的人数相同
D．C等级的人数甲班比乙班多
【答案】D
【详解】对于A，由左图知甲班D等级的人数最多，故A正确，
对于B，由右图知乙班A等级的人数最少，故B正确，
对于C，由右图知乙班B等级与C等级的人数相同，故C正确，
对于D，甲班C等级有13人，乙班C等级有人，故D错误，
故选：D
在新冠肺炎疫情期间，各口罩企业都加大了生
产力度，如图是2022年第一季度五个企业的生产量情况，则下列叙述正确的是（ ）
A．2022年第一季度生产总量的增长率由低到高排位第5的是E企业
B．2022年第一季度生产总量和增速由高到低排位均居同一位次的企业只有一个
C．2021年同期C企业的生产总量不超过2000万只
D．与2021年同期相比，各企业2022年第一季度的生产总量都实现了增长
【答案】D
【详解】由图可知，增长率最低的是企业，A错；
生产总量从低到高排列为，增速从低到高排列为，两者位居同一位次的和两个，B错；
2021年同期C企业的生产总量为，C错；
从图表知各企业2022年第一季度的生产总量的增长率均为正数，因此生产总量都实现了增长，D正确．
故选：D．
为了了解某外贸企业职工对“一带一路”的认知
程度，随机抽取了110名职工组织了“一带一路”知识竞赛.满分为100分（80分及以上为认知程度较高）.并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图.从频率分布折线图中得到的这110名职工成绩的信息正确的是（ ）
A．成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
B．对“一带一路”认知程度较高的人数是40
C．成绩是75分的人数为40
D．成绩落在［70，80）内的人数为20
【答案】C
【详解】解：对于A,由于频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，
所以从频率分布折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多，所以A错误；
对于B，成绩为80分及以上的职工人数大于为，所以B错误；
对于C,由题意可得成绩是75分的人数为：（人），故正确；
对于D，成绩落在［70，80）内的人数为，D错误.
故选：C.
新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动
力来源的汽车，包括纯电动汽车和其他类型车辆（如增程式电动汽车 混合动力汽车 燃料电池电动汽车等）.具有环保 节能 效率高 使用成本低 噪音小等优势.近年来，我国新能源汽车市场飞速发展.如图所示为2015年至2021年H1（H1表示上半年）中国新能源汽车保有量统计情况，根据图中所给信息，以下说法错误的是（ ）
A．中国新能源汽车保有量在2017年首次突破百万辆
B．自2015年起至2021年H1，中国新能源汽车保有量每年都在增加
C．2016年纯电动汽车保有量增长率最大
D．相比2018年，2019年纯电动汽车保有量占新能源汽车保有量的比率降低了
【答案】D
【详解】解：对于A选项，2015，2016，2017年中国新能源汽车保有量分别为42万辆，91万辆，153万辆，故A正确；
对于B选项，由表中数据可知，自2015年起，中国新能源汽车保有量每年都在增加，B正确；
对于C选项，由表中数据可知，2016年纯电动汽车保有量增长率大于100%，其他年份都小于100%，故C正确；
对于D选项，2019年纯电动汽车保有量占新能源汽车保有量的比率为，2018年为，计算得，故相比2018年，2019年纯电动汽车保有量占新能源汽车保有量的比率增加了.
故选：D.
“幸福感指数” 是指某个人主观评价他对自己目前生
活状态满意程度的指标， 常用区间内的一个数来表示， 该数越接近10表示满意度越高. 现随机抽取10位杭州市居民， 他们的幸福感指数为5,6,6,7,7,8,8,9,10. 则这组数据的分位数是（ ）
A． B．8
C． D．9
【答案】C
【详解】因为，所以分位数是，
故选:C.
已知一组数据：1，2，2，3，3，3，4，4，
4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6，则其第70百分位数为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【详解】第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算 .
第3步，因i不是整数，故取大于14.7的比邻整数为15，则第70百分位数为第15项数据5；
故选：C
某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，
通过简单随机抽样，获得了8个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（ ）
A．87 B．91
C．92 D．93
【答案】D
【详解】数据从小到大为，而，所以分位数为93．
故选：D
高二某班参加了“中国神舟十三号载人飞船航
空知识答题”竞赛，10位评委的打分如下：5，6，6，7，7，8，9，9，10，10，则（ ）
A．该组数据第60百分位数为8
B．该组数据第60百分位数为8.5
C．该组数据中位数为7和8
D．该组数据中位数为8
【答案】B
【详解】解：这组数据从小到大排为：5，6，6，7，7，8，9，9，10，10
则，第60百分位数为，故A不符合，B符合；
中位数为：，故C，D均不符合.
故选：B.
某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，
9名评委对某摄影作品的评分如下： ,去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法辨认，以表示，则（ ）
A．84 B．86
C．89 D．98
【答案】C
【详解】当时，，则不符合题意；
当时，，则不符合题意；
当时，，解得,
故选：C.
某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手
打分，得到7个原始评分．在评定选手成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是（ ）
A．众数 B．标准差
C．平均数 D．中位数
【答案】D
【详解】7个数去掉一个最高分，去掉一个最低分，显然中位数是不变的；
故选：D.
一个车间里有名工人装配同种电子产品，
现记录他们某天装配电子产品的件数如下：10，12，9，7，10，12，9，11，9，8，若这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】将数据从小到大排序 7，8，9， 9， 9， 10，10，11，12，12，
所以平均数为，
中位数为，众数为，
所以.
故选：C.
某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生
产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.记这组数据的中位数为，平均数为，众数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】这10个数据已经从小到大进行了排序，中位数，众数为，平均数，.
故选：C
下列统计量可用于度量样本，，......，离散程度的是（ ）
A．，，......，的众数
B．，，......，的中位数
C．，，......，的极差
D．，，......，的平均数
【答案】C
【详解】解：众数是指统计分布上具有明显集中趋势的数值，代表数据的一般水平；中位数是统计数据中选取中间的数，是一种衡量集中趋势的数值；极差是用来表示统计资料中的变异数量，反应的是最大值与最小值之间的差距，刻画一组数据的离散程度；平均数是反应数据的平均水平是一种衡量集中趋势的数值.
故选：C
（多选）对划艇运动员甲、乙二人在相同的条
件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下，甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36.根据以上数据，下列说法正确的是（ ）
A．他们最大速度的平均值相等
B．他们最大速度的中位数相等
C．同样情况下，甲运动员的发挥比乙更稳定
D．同样情况下，乙运动员的发挥比甲更稳定
【答案】AD
【详解】解：甲的平均数，
乙的平均数，
甲的中位数为：，乙的中位数为：，则他们最大速度的中位数不相等，
，
，
乙比甲稳定．
故选：AD.
已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ）
A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则
C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D．甲成绩比乙成绩稳定
【答案】B
【详解】对于A，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，A正确；
对于B，由折线图可知，甲同学的成绩较乙同学的成绩更稳定，所以，B错误，
对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确；
对于D，甲成绩比乙成绩稳定，D正确.
故选：B
有一组样本数据，由这组数据得到新样本
数据，其中，为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样数据的样本众数相同
D．两组样本数据的样本方差相同
【答案】D
【详解】解：对于A，且，故平均数不相同，错误；
对于B，若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；
对于C，由众数的定义知：若第一组的众数为，则第二组的众数为，错误；
对于D，故方差相同，正确；
故选：D．
有一组样本数据，由这组数据得到
的另一组数据，，…，，满足（c为非零常数），则下列结论一定成立的是（ ）
A．两组数据的样本平均数不同
B．两组数据的中位数相同
C．两组数据的样本方差相同
D．两组数据的样本标准差不同
【答案】C
【详解】设的平均数是，，，…，的平均数是，
由题意，如果，则，否则，A不正确；
同理如果的中位数是，则两者中位数相同，否则不相同，B不正确；
设的方差是，，，…，的差是，
则，
又，，所以，，2，…，n，所以，从而，所以方差相同，标准差也相同，C正确，D不正确
故选：C．
如果的方差为2，则，
，的方差为（ ）
A．2 B．4
C．8 D．16
【答案】C
【详解】因为的方差为2，
所以，，的方差为，
故选：C
设数据，，，……，的平均数为
，方差为5，数据，，，……，的平均数为8，方差为，则、的值分别是（ ）
A．4,14 B．4,20
C．2,36 D．2,20
【答案】D
【详解】因为数据，，，……，的平均数为，数据，，，……，的平均数为8，
，解得,
数据，，，……，的方差为5，数据，，，……，的方差为，
故选：D
有一组样本数据，由这组数据得到
新的样本数据，其中，且，则下列说法中错误的是（ ）
A．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的倍
B．新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的倍
C．新样本数据的方差是原样本数据方差的倍
D．新样本数据的极差是原样本数据极差的倍
【答案】C
【详解】设原样本数据的平均数为，则新样本数据的平均数为，故A正确；
原样本数据按从小到大的顺序排列，则每个数据乘以后从小到大的顺序不变．设原样本数据的上四分位数为，根据百分位数的概念，新样本数据的上四分位数为，故B正确；
设原样本数据的方差为，则新样本数据的方差为，故C错误；
设原样本数据最大为，最小为，原样本数据的极差为，则新样本数据的极差是，即新样本数据的极差是原样本数据极差的倍，故D正确．
故选：C．
（多选）一组互不相同的样本数据
的平均数为，若在这组样本数据中增加一个新的数据，得到一组新的样本数据，则（ ）
A．两组样本数据的平均数相同
B．两组样本数据的方差相同
C．两组样本数据的极差相同
D．两组样本数据的中位数相同
【答案】AC
【详解】由已知可得.
对于A选项，新数据的平均数为，与原数据的平均数相等，A对；
对于B选项，新数据的方差为
，B错；
对于C选项，不妨设，则，故新数据的极差仍为，C对.
对于D选项，不妨设，
当n为奇数时，则原数据的中位数为，
若，则中位数为，
若，则中位数为，
当n为偶数时，则原数据的中位数为
若，则中位数为，
若，则中位数为，
D错；
故选：AC.
（多选）有一组样本数据，由这组
样本数据等到新的样本数据，，其中，则（ ）
A．两组数据的样本极差的差值与有关，与无关
B．两组数据的样本方差的差值与有关，与有关
C．两组数据的样本平均数的差值与有关，与无关
D．两组数据的样本中位数的差值与有关，与有关
【答案】AD
【详解】解：A项中，设原样本数据的极差为，
则新的样本数据的极差为，
所以，故两组数据的样本极差的差值与有关，与无关，故A项正确；
B项中，设原样本数据的方差为，
则新的样本数据的方差为，
所以，故两组数据的样本方差的差值与有关，与无关，故B项错误；
C项中，设原样本数据的平均数为，
则新的样本数据的平均数为，
所以，故两组数据的样本平均数的差值与有关，与有关，故C项错误；
D项中，设原样本数据的中位数为，
则新的样本数据的方差为，
所以，故两组数据的样本中位数的差值与有关，与有关，故D项正确.
故选：AD.
一次数学测试某班成绩的频率分布直方图如图所示；
则此次测试成绩的班级平均数与中位数分别为（ ）
A．115、115 B．117.7、117.5
C．114、117.5 D．117.5、117.7
【答案】C
【详解】平均数为：
成绩不大于110分的频率为，
成绩不大于120分的频率为，
故中位数在，设为x，则有，解得
故选：C
当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.
为进一步增强学生的防控意识，让全体学生充分了解新冠肺炎疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，平罗中学组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)试估计这100人的问答成绩的中位数和平均数（结果保留整数）；
(3)用分层抽样的方法从问答成绩在[70，100]内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在[70，80)，[80，90)，[90，100]内应各抽取多少人？
【答案】(1)
(2)中位数为73，平均数为72
(3)12,10,2
【详解】（1），解得.
（2），故中位数为.
平均数为.
（3），
[70，80)，[80，90)，[90，100]内应各抽人数分别为：
，，.
鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜
欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户．当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．小张把去年年底采购鱼卷的数量x（单位：箱）在[100，200）的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成如表：
采购数x（单位：箱） [100，120） [120，140） [140，160） [160，180） [180，200）
客户数 10 10 5 20 5
(1)根据表中的数据，在答题卡上补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“熟客”人数；
(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的，估算小张去年年底总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)在（2）的条件下，由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元（）销售量可增加1000m箱，求小张在今年年底收入Y（单位：元）的最大值．
【答案】(1)作图见解析，17人
(2)12000（箱）
(3)256000（元）
【详解】（1）由表数据，得到[120，140）, [160，180）的频率分别为
补全频率分布直方图,如图：
根据上图，可知采购数在168箱以上的“熟客”人数为：
50×20×（0.005+0.020）＝17人，
（2）由图可知，去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为：
110×10+130×10+150×5+170×20+190×5＝7500（箱），
∴小张去年年底总的销售量为750012000（箱）．
（3）若没有在网上出售鱼卷，则今年的年底小张的收入为12000×20＝240000（元），
若网上出售鱼卷，则今年的年底的销售量为12000+1000m（箱），每箱的利润为20﹣m（元），
则今年的年底小张的收入为Y＝（20﹣m）（12000+1000m）
＝1000（）＝1000256000（元），
当且仅当时等号成立.
∵256000＞240000，
∴小张在今年年底收入Y（单位：元）的最大值为256000（元）
某学校高一级部根据同年龄段女生的身高数据
绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是（单位：厘米），样本数据分组为，，，，，.
(1)求值；
(2)已知样本中身高大于175厘米的人数是36，求出样本总量的数值和身高超过170厘米的人数；
(3)求样本中位数的值.
【答案】(1)
(2)1200；216
(3)
【详解】（1）由频率分布直方图的性质，解得
（2）身高大于厘米的样本的频率是，所以样本总量，
身高超过170厘米的频率为，
所以身高超过170厘米的人数.
（3）因为身高位于的频率为
身高位于的频率为
所以中位数应该，由，
分解得.
为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批
该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计这种植物果实重量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测．据此估算这批果实中的优质果实的个数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，有，
解得；
（2）这种植物果实重量的平均数约为：
，
∴这种植物果实重量的平均数的估计值约为.
（3）样本中，这种植物果实重量不低于37.5克，即优质果实的频率为
，
由此估计某批10000个果实中，重量不低于37.5克，即优质果实的概率为，
∴这批果实中的优质果实的个数约为个.
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了
鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），求x的值，并说明理由．（结果保留到小数点后三位）
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【详解】
（1）
解：由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为，
同理，在中的频率分别为
由，解得 ．
（2）
解：由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为．
根据样本估计总体，由以上样本的频率分布，可以估计全市50万居民中月均用水量不低于3吨的人数为人．
所以，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为人.
（3）
解：因为前6组的频率之和为，
而前5组的频率之和为 ，
所以 ．
由 ，解得 ．
所以，估计月用水量标准为吨时，80%的居民每月的用水量不超过标准．第九章统计
9.2用样本估计总体
1.极差为一组数据中最大值与最小值的差.
2.频率分布直方图中，纵轴.
频率分布直方图中各小长方形的面积频率.
各小长方形的面积总和等于1.
3.一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.
计算一组个数据的第百分位数：①按从小到大排列原始数据.②计算.③若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数.
4.中位数相当于是第50百分位数，除中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组从小到大排列后的数据分成四等分，因此称为四分位数.
4.在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.众数是最高矩形所对的中点值.
5.假设一组数据是，用表示这组数据的平均数，则方差为，标准差为.标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以
[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组得到如下频率分布直方图，则直方图中的值为（ ）
A．0.007 B．0.0075
C．0.008 D．0.0085
为了检查“双减”政策落实效果，某校邀请学生
家长对该校落实效果进行评分．现随机抽取100名家长进行评分调查，发现他们的评分都在40~100分之间，将数据按，，，，，分成6组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则在抽取的家长中，评分落在区间内的人数是（ ）
A．55 B．60
C．70 D．75
某工厂抽取件产品测其重量（单位：
）．其中每件产品的重量范围是．数据的分组依次为、、、，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为（ ）
A．30 B．40
C．60 D．80
从一批零件中抽取80个，测量其直径（单
位：），将所得数据分为9组：，，…，，，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）
A．10 B．30
C．18 D．36
用条形图描述某班学生的一次数学单元测验成
绩（满分100分）.如图所示，由图中信息给出下列说法：
①该班一共有50人；
②如果60分为合格，则该班的合格率为88%；
③人数最多的分数段是80-90；
④80分以上（含80分）占总人数的百分比为44%.
其中正确说法的个数为：（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循
环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果．据悉该企业2021年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如下图所示．则以下说法错误的是（ ）
A．2021年甲系列产品收入和2020年的一样多
B．2021年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多
C．2021年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的
D．2021年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍还多
一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温
（）有一定的关系．图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
A．气温最高时，用电量最多
B．气温最低时，用电量最少
C．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加
某学校七年级甲、乙两班进行了一次数学能力
测试．两个班均有40人参加测试，测试成绩分为A，B，C，D四个等级，现将甲、乙两班的成绩分别绘制成如图所示的统计图．根据统计图提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲班D等级的人数最多
B．乙班A等级的人数最少
C．乙班B等级与C等级的人数相同
D．C等级的人数甲班比乙班多
在新冠肺炎疫情期间，各口罩企业都加大了生
产力度，如图是2022年第一季度五个企业的生产量情况，则下列叙述正确的是（ ）
A．2022年第一季度生产总量的增长率由低到高排位第5的是E企业
B．2022年第一季度生产总量和增速由高到低排位均居同一位次的企业只有一个
C．2021年同期C企业的生产总量不超过2000万只
D．与2021年同期相比，各企业2022年第一季度的生产总量都实现了增长
为了了解某外贸企业职工对“一带一路”的认知
程度，随机抽取了110名职工组织了“一带一路”知识竞赛.满分为100分（80分及以上为认知程度较高）.并将所得成绩分组得到了如图所示的频率分布折线图.从频率分布折线图中得到的这110名职工成绩的信息正确的是（ ）
A．成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
B．对“一带一路”认知程度较高的人数是40
C．成绩是75分的人数为40
D．成绩落在［70，80）内的人数为20
新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动
力来源的汽车，包括纯电动汽车和其他类型车辆（如增程式电动汽车 混合动力汽车 燃料电池电动汽车等）.具有环保 节能 效率高 使用成本低 噪音小等优势.近年来，我国新能源汽车市场飞速发展.如图所示为2015年至2021年H1（H1表示上半年）中国新能源汽车保有量统计情况，根据图中所给信息，以下说法错误的是（ ）
A．中国新能源汽车保有量在2017年首次突破百万辆
B．自2015年起至2021年H1，中国新能源汽车保有量每年都在增加
C．2016年纯电动汽车保有量增长率最大
D．相比2018年，2019年纯电动汽车保有量占新能源汽车保有量的比率降低了
“幸福感指数” 是指某个人主观评价他对自己目前生
活状态满意程度的指标， 常用区间内的一个数来表示， 该数越接近10表示满意度越高. 现随机抽取10位杭州市居民， 他们的幸福感指数为5,6,6,7,7,8,8,9,10. 则这组数据的分位数是（ ）
A． B．8
C． D．9
已知一组数据：1，2，2，3，3，3，4，4，
4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6，则其第70百分位数为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，
通过简单随机抽样，获得了8个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（ ）
A．87 B．91
C．92 D．93
高二某班参加了“中国神舟十三号载人飞船航
空知识答题”竞赛，10位评委的打分如下：5，6，6，7，7，8，9，9，10，10，则（ ）
A．该组数据第60百分位数为8
B．该组数据第60百分位数为8.5
C．该组数据中位数为7和8
D．该组数据中位数为8
某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，
9名评委对某摄影作品的评分如下： ,去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法辨认，以表示，则（ ）
A．84 B．86
C．89 D．98
某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手
打分，得到7个原始评分．在评定选手成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分．这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是（ ）
A．众数 B．标准差
C．平均数 D．中位数
一个车间里有名工人装配同种电子产品，
现记录他们某天装配电子产品的件数如下：10，12，9，7，10，12，9，11，9，8，若这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生
产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.记这组数据的中位数为，平均数为，众数为，则（ ）
A． B．
C． D．
下列统计量可用于度量样本，，......，
离散程度的是（ ）
A．，，......，的众数
B．，，......，的中位数
C．，，......，的极差
D．，，......，的平均数
（多选）对划艇运动员甲、乙二人在相同的条
件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下，甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36.根据以上数据，下列说法正确的是（ ）
A．他们最大速度的平均值相等
B．他们最大速度的中位数相等
C．同样情况下，甲运动员的发挥比乙更稳定
D．同样情况下，乙运动员的发挥比甲更稳定
已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的
成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ）
A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则
C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
D．甲成绩比乙成绩稳定
有一组样本数据，由这组数据得到新样本
数据，其中，为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样数据的样本众数相同
D．两组样本数据的样本方差相同
有一组样本数据，由这组数据得到
的另一组数据，，…，，满足（c为非零常数），则下列结论一定成立的是（ ）
A．两组数据的样本平均数不同
B．两组数据的中位数相同
C．两组数据的样本方差相同
D．两组数据的样本标准差不同
如果的方差为2，则，
，的方差为（ ）
A．2 B．4
C．8 D．16
设数据，，，……，的平均数为
，方差为5，数据，，，……，的平均数为8，方差为，则、的值分别是（ ）
A．4,14 B．4,20
C．2,36 D．2,20
有一组样本数据，由这组数据得到
新的样本数据，其中，且，则下列说法中错误的是（ ）
A．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的倍
B．新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的倍
C．新样本数据的方差是原样本数据方差的倍
D．新样本数据的极差是原样本数据极差的倍
（多选）一组互不相同的样本数据
的平均数为，若在这组样本数据中增加一个新的数据，得到一组新的样本数据，则（ ）
A．两组样本数据的平均数相同
B．两组样本数据的方差相同
C．两组样本数据的极差相同
D．两组样本数据的中位数相同
（多选）有一组样本数据，由这组
样本数据等到新的样本数据，，其中，则（ ）
A．两组数据的样本极差的差值与有关，与无关
B．两组数据的样本方差的差值与有关，与有关
C．两组数据的样本平均数的差值与有关，与无关
D．两组数据的样本中位数的差值与有关，与有关
一次数学测试某班成绩的频率分布直方图如图所示；
则此次测试成绩的班级平均数与中位数分别为（ ）
A．115、115 B．117.7、117.5
C．114、117.5 D．117.5、117.7
当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.
为进一步增强学生的防控意识，让全体学生充分了解新冠肺炎疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，平罗中学组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)试估计这100人的问答成绩的中位数和平均数（结果保留整数）；
(3)用分层抽样的方法从问答成绩在[70，100]内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在[70，80)，[80，90)，[90，100]内应各抽取多少人？
鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜
欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户．当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．小张把去年年底采购鱼卷的数量x（单位：箱）在[100，200）的客户称为“熟客”，并把他们去年采购的数量绘制成如表：
采购数x（单位：箱） [100，120） [120，140） [140，160） [160，180） [180，200）
客户数 10 10 5 20 5
(1)根据表中的数据，在答题卡上补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的“熟客”人数；
(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的，估算小张去年年底总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)在（2）的条件下，由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为20元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调2至5元，且每下调m元（）销售量可增加1000m箱，求小张在今年年底收入Y（单位：元）的最大值．
某学校高一级部根据同年龄段女生的身高数据
绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是（单位：厘米），样本数据分组为，，，，，.
(1)求值；
(2)已知样本中身高大于175厘米的人数是36，求出样本总量的数值和身高超过170厘米的人数；
(3)求样本中位数的值.
为了了解一种植物果实的情况，随机抽取一批
该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计这种植物果实重量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)已知这种植物果实重量不低于37.5克的即为优质果实，现对该种植物果实的某批10000个果实进行检测．据此估算这批果实中的优质果实的个数．
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了
鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），求x的值，并说明理由．（结果保留到小数点后三位）
