概率
10.1随机事件与概率
1.对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.
2.将样本空间的子集称为随机事件，简称事件.把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示，在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生.
3.在每次实验中总发生的事件称为必然事件，在每次试验中都不会发生的事件称为不可能事件.必然事件与不可能事件不具有随机性.
4.若事件发生，则事件一定发生，就称事件包含事件（或事件包含于事件），记作（或）.
特别地，如果事件包含事件，事件也包含事件，即 且，则称事件与事件相等，记作.
5.事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，则称这个事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）.
6.事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，则称这样的一个事件为事件与事件的交事件（或积事件），记作（或）.
7.如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥（或互不相容）.
8.如果事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，称事件与事件互为对立，事件的独立事件记为.
总结如下：
9.可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如对于三个事件（或）发生当且仅当中至少一个发生，（或）发生当且仅当同时发生，等等.
10.对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件的概率用表示.
11.将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
12.概率的基本性质：
①对任意的事件，都有.
②必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即.
③如果事件与事件互斥，则.
④如果事件与事件互为对立事件，则.
⑤如果，则.
⑥设是一个随机试验中的两个事件，且不是互斥关系，则.
1.样本空间与随机事件
下面四个选项中，是随机现象的是（ ）
A．刻舟求剑 B．水中捞月
C．流水不腐 D．守株待兔
以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾
B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为的矩形，其面积为
D．实系数一元一次方程必有一实根
若是实数，则下列事件是不可能事件的是
（ ）
A． B．
C． D．
下列事件：（1）在标准大气压下，水加热到
100℃沸腾；（2）平面三角形的内角和是180°；（3）骑车到十字路口遇到红灯；（4）某人购买福利彩票5注，均未中奖；（5）没有水分，种子发芽了．其中随机事件的个数是（ ）．
A．1 B．2
C．3 D．4
某种彩票的中奖概率为，则以下理解
正确的是（ ）
A．购买这种彩票100000张，一定能中奖一次
B．购买这种彩票100000张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票1张，一定不能中奖
D．购买这种彩票100000张，至少能中奖一次
一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（ ）
A．（男，女），（男，男），（女，女）
B．（男，女），（女，男）
C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D．（男，男），（女，女）
一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3
个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)“2个都是白球”包含几个样本点？
同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用
表示结果，记A为“所得点数之和小于6”，则事件A包含的基本事件的个数为______．
“从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依
次取两个球(第一次取出的球不再放回)，观察标号”这一随机试验的样本空间为___________.
将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验
的样本空间__________.
一个盒子中装有6个完全相同的球，分别标上
号码1， 2， 3， …， 6，从中任取一个球，则样本空间 ____________．
袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都
相同的四个小球，从中任取一球的样本空间=______，从中任取两球的样本空间 __________.
一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3
个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出“2个球都是白球”这一事件所对应的子集.
同时转动如图的两个转盘，记转盘（1）得到
的数为，转盘（2）得到的数为，结果为．
(1)写出这个试验的样本空间．
(2)求这个试验的基本事件个数．
(3)“”这一事件包含哪几个基本事件？“且”呢？
(4)用集合表示事件：；用集合表示事件：．
下列随机事件中，随机试验各指什么？试写出
它们的样本空间．
(1)同时抛掷三枚骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
(2)从含有两件正品，和两件次品，的四件产品中任取两件，记录抽出产品的结果；
(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个长方形随机涂色，每个长方形只涂一种颜色，记录长方形涂色的情况．
做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示
结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数.写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件的含义.
已知集合，，从两个
集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
从2名男生和3名女生中随机选出2人．
(1)写出样本空间；
(2)写出事件：“两人恰好是1名男生和1名女生”对应的集合．
2.事件的关系和运算
对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮
弹，设“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，“恰有一次击中飞机”，“至少有一次击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
某试验的样本空间
，事件，事件，则事件（ ）
A． B．
C． D．
在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观
察掷出的点数”中，事件表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件表示随机事件“两次掷出的点数和比9大”，用表示抛掷的结果，其中表示第一次掷出的点数，表示第二次掷出的点数，则事件（ ）
A． B．
C． D．
如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设
“甲元件故障”，“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ）
A． B．
C． D．
（多选）从分别写有1,2,3,4,5以及
的9张纸条中任意抽取两张，有如下随机事件：
“恰有一张写有数字”，“恰有一张写有字母”，“至少有一张写有数字”，“两张都写有数字”，“至多有一张写有字母”.
下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
（多选）从1至9这9个自然数中任取两个，
有如下随机事件：
“恰有一个偶数”，“恰有一个奇数”，
“至少有一个是奇数”，“两个数都是偶数”，
“至多有一个奇数”.
下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
甲、乙同时抛掷两枚骰子，正面向上的数字分别记作
，则下列说法错误的是（ ）
A．“是奇数”是随机事件
B．“”与“”是互斥事件
C．“”与“”是对立事件
D．“”与“”是相互独立事件
抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一
枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（ ）
A．与为相互独立事件
B．与互为对立事件
C．与为互斥事件
D．
袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2
个黑球，从中不放回地摸球，设事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”，事件“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是互斥事件
B．与不是相互独立事件
C．与是对立事件
D．与是相互独立事件
一个射手进行一次射击，事件命中环数大
于8;事件命中环数大于5，则（ ）
A．与是互斥事件
B．与是对立事件
C． D．
一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，
设事件为“三件产品全不是次品”，事件为“三件产品全是次品”，事件为“三件产品不全是次品”，事件为“第一件是次品”则下列结论正确的是（ ）
A．与相互独立 B．与相互对立
C． D．
（多选）甲 乙两各投掷一枚骰子，下列说法
正确的是（ ）
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲 乙都投得6点”与事件“甲 乙都没有投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随
机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件三个圆的颜色全不相同，事件三个圆的颜色不全相同，事件其中两个圆的颜色相同，事件三个圆的颜色全相同．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件；
(3)事件与事件有什么关系？
从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两
次，每次取一个，构成数对为第一次取到的数字，为第二次取到的数字.设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取出的数字是2”.
(1)写出此试验的样本空间及的值；
(2)判断与是否为互斥事件，并求；
(3)写出一个事件，使成立.
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相
互独立事件．
（1）掷一枚骰子一次，事件：“出现的点数为奇数”；事件：“出现的点数为偶数”；
（2）掷一枚骰子一次，事件：“出现偶数点”；事件：“出现3点或6点”．
在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义
许多事件，如：出现1点，出现3点或4点，出现的点数是奇数，出现的点数是偶数.
(1)说明以上4个事件的关系.
(2)求两两运算的结果.
连续掷一颗骰子两次，观察掷得的点数．设
第一次掷得的点数为1，第一次掷得的点数为1，第二次掷得的点数为j，两次掷得的点数之和为6，第二次掷得的点数比第一次的大3．
(1)写出下列事件的对应子集：
①至少有一个发生； ②同时发生．
(2)分别判断与与与是否为互斥事件？
(3)讨论与的关系．
从分别写着1，2，3，4，5，6的六张卡片
中，任意抽两次，每次抽1张，第一次抽出的卡片，记下数字放回后再抽第二次．设两次抽出的卡片上的数字都是偶数，两次抽出的卡片上的数字之和是偶数，两次抽出的卡片上的数字至少有一个奇数．讨论：
(1)与的关系；
(2)与的关系；
(3)与的关系．
3.古典概型
袋子中有3个红球和2个黑球，从中摸出一个球，该
球为黑球的概率是（ ）
A． B．
C．1 D．
一箱脐橙共有21个，其中有3个是坏果，若
从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的概率为（ ）
A． B．
C． D．
为弘扬我国古代“六艺”文化，某校研学活动社团计划
开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程.若甲、乙两位同学均只能体验其中一门课程，则甲、乙恰好选中相同课程的概率为（ ）
A． B．
C．1 D．
若，则方
程．有实根的概率为（ ）
A． B．
C． D．
同时掷两枚般子，向上的点数之和是6的概率
是（ ）
A． B．
C． D．
同时抛掷两枚质地均匀的相同骰子，则两枚骰
子的点数和为的概率是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）投掷两枚质地均匀的正方体骰子，则
（ ）
A．向上点数之和为5的概率为
B．向上点数之和为7的概率为
C．向上点数之和为6的倍数的概率为
D．向上点数之和为偶数的概率为
4.概率的基本性质
下列叙述错误的是（ ）．
A．若事件发生的概率为，则
B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
下列说法正确的是( )．
A．如果一事件发生的概率为十万分之一，说明此事件不可能发生
B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件
C．概率的大小与不确定事件有关
D．如果一事件发生的概率为99.999％，说明此事件必然发生
“某彩票的中奖概率为”意味着（ ）
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
（多选）下列说法正确的是（ ）
A．任一事件的概率总在内
B．不可能事件的概率一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．概率是随机的，在试验前不能确定
判断对立与互斥
随机投掷一个4个面上分别标有1，2，3，4的正四
面体，记“向下的一面上的数字是1~4中的一个”为事件，“向下的一面上的数字是偶数”为事件，“向下的一面上的数字是奇数”为事件，则下列说法中错误的是（ ）
A．为必然事件 B．
C．为对立事件 D．为互斥事件
一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿
色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为蓝球”为对立的事件有（ ）
A．2个小球不全为蓝球
B．2个小球恰有个蓝球
C．2个小球至少有个蓝球
D．2个小球都为绿球
一批产品共7件，其中5件正品，2件次
品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（ ）
A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品”
B．“恰有1件次品”和“至少1件次品”
C．“至多1件次品”和“恰有1件次品”
D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品”
抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件
“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（ ）
A．至多一枚硬币正面朝上
B．只有一枚硬币正面朝上
C．两枚硬币反面朝上
D．两枚硬币正面朝上
若，则互斥事件和B的关系
是（ ）
A．
B．是对立事件
C．不是对立事件
D．
投掷一枚骰子，下列事件中是对立事件的是
（ ）
A．向上的点数是1与向上的点数是5
B．向上的点数小于3与向上的点数大于3
C．向上的点数是奇数与向上的点数是偶数
D．向上的点数大于3与向上的点数小于5
口袋里有两枚“角”的硬币和两枚“元”的硬
币，从中任取若干枚，则与事件“总共取出元钱”互斥的事件是（ ）
A．取出的“1元”硬币仅有一枚
B．取出的“5角”硬币仅有一枚
C．恰好取出2枚硬币
D．恰好取出3枚硬币
下列叙述错误的是（ ）
A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．甲 乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 ，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为
互斥事件的概率加法
已知随机事件中，与互斥，与
对立，且，，则（ ）
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．0.8
甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，
乙获胜的概率为，则乙不输的概率为___________.
从一副混合后的扑克牌不含大小王中，随
机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则（ ）
A． B．
C． D．
甲 乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为
0.2，甲不输的概率为0.7，则甲 乙下成和棋的概率为（ ）
A．0.5 B．0.7
C．0.9 D．0.4
已知，如果
，那么等于（ ）
A．0.8 B．0.5
C．0.3 D．0.2
围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取
出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A． B．
C． D．1
对立事件的概率加法
从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事
件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（ ）
A．0.7 B．0.65
C．0.3 D．0.05
事件A与B是对立事件，且，则
等于（ ）
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．1
若某群体中的成员只用现金支付的概率为
0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.4 B．0.3
C．0.7 D．0.6
甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两
人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是（ ）
A．20% B．70%
C．80% D．30%
围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意
取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（ ）
A． B．
C． D．
从一箱产品中随机地抽取一件，设事件
{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A． B．
C． D．
某射手的一次射击中，射中10环，9环，8
环的概率分别为0.2，0.3，0.1.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）
A．0.4 B．0.3
C．0.6 D．0.9
不确定对立或互斥
抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数
是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则（ ）
A． B．
C． D．1
已知，，，
则______．
对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，
其中，，则___________.
投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1
点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是，记事件为“出现奇数点”，事件“向上的点数不超过3”，则___.
包含关系
对于事件与事件，已知如
果，则___________.
对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射
一枚炮弹，设“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，“恰有一枚炮弹击中飞机”，“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
已知.（1）如，
则________，________；（2）如果互斥，则________，________.概率
10.1随机事件与概率
1.对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间.
2.将样本空间的子集称为随机事件，简称事件.把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示，在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生.
3.在每次实验中总发生的事件称为必然事件，在每次试验中都不会发生的事件称为不可能事件.必然事件与不可能事件不具有随机性.
4.若事件发生，则事件一定发生，就称事件包含事件（或事件包含于事件），记作（或）.
特别地，如果事件包含事件，事件也包含事件，即 且，则称事件与事件相等，记作.
5.事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，则称这个事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）.
6.事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，则称这样的一个事件为事件与事件的交事件（或积事件），记作（或）.
7.如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥（或互不相容）.
8.如果事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，称事件与事件互为对立，事件的独立事件记为.
总结如下：
9.可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如对于三个事件（或）发生当且仅当中至少一个发生，（或）发生当且仅当同时发生，等等.
10.对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件的概率用表示.
11.将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
12.概率的基本性质：
①对任意的事件，都有.
②必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即.
③如果事件与事件互斥，则.
④如果事件与事件互为对立事件，则.
⑤如果，则.
⑥设是一个随机试验中的两个事件，且不是互斥关系，则.
1.样本空间与随机事件
下面四个选项中，是随机现象的是（ ）
A．刻舟求剑 B．水中捞月
C．流水不腐 D．守株待兔
【答案】D
【详解】A，B为不可能现象，C为必然现象，D为随机现象
故选：D
以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾
B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为的矩形，其面积为
D．实系数一元一次方程必有一实根
【答案】B
【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；
B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；
C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意；
D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．
故选：B．
若是实数，则下列事件是不可能事件的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】结合对不可能事件的理解，可知只要存在实数x满足式子，就不属于不可能事件，则
对于A，令，则，故选项A不是不可能事件，故A错误；
对于B，由于，故不存在实数x使得，即选项B是不可能事件，故B正确；
对于C，令，则，故选项C不是不可能事件，故C错误；
对于D，令，则，即，故选项D不是不可能事件，故D错误；
故选：B.
下列事件：（1）在标准大气压下，水加热到
100℃沸腾；（2）平面三角形的内角和是180°；（3）骑车到十字路口遇到红灯；（4）某人购买福利彩票5注，均未中奖；（5）没有水分，种子发芽了．其中随机事件的个数是（ ）．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【详解】事件（1）是基本事实，因此是确定事件；事件（2）是基本事实，因此它是确定事件；
事件（3、（4）是随机出现，是随机事件；事件（5）是不可能事件，
故选：B
某种彩票的中奖概率为，则以下理解
正确的是（ ）
A．购买这种彩票100000张，一定能中奖一次
B．购买这种彩票100000张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票1张，一定不能中奖
D．购买这种彩票100000张，至少能中奖一次
【答案】B
【详解】购买这种彩票100000张，相当于做100000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，
所以每张彩票可能中奖，也可能不中奖，
对于ABD，购买这种彩票100000张，可能没有一张中奖，所以AD错误，B正确
对于C，购买这种彩票1张，有可能中奖，所以C错误，
故选：B
一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（ ）
A．（男，女），（男，男），（女，女）
B．（男，女），（女，男）
C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D．（男，男），（女，女）
【答案】C
【详解】把第一个孩子的性别写在前面，第一个孩子的性别写在后面，
则所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），
故选：C.
一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3
个，黑球2个，从中一次摸出2个球．
(1)共有多少个样本点？
(2)“2个都是白球”包含几个样本点？
【答案】(1)10个；
(2)3个.
【详解】(1)
用1，2，3表示3个白球，用a，b表示2个黑球，则从袋中一次摸出2个球的不同结果：
(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，
所以共10个样本点.
(2)由(1)知，“2个都是白球”含有的结果是：(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点.
同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用
表示结果，记A为“所得点数之和小于6”，则事件A包含的基本事件的个数为______．
【答案】10
【详解】由题设，事件A包含的基本事件为、、、、、、、、、共10种.
故答案为：10
“从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依
次取两个球(第一次取出的球不再放回)，观察标号”这一随机试验的样本空间为___________.
【答案】
【详解】用表示依次取球的标号，所以这一随机试验的样本空间为．
故答案为：．
将2个1和1个0随机排成一排，则这个试验
的样本空间__________.
【答案】
【详解】将2个1和1个0随机排成一排，这个试验的样本空间，
故答案为：
一个盒子中装有6个完全相同的球，分别标上
号码1， 2， 3， …， 6，从中任取一个球，则样本空间 ____________．
【答案】Ω＝{1，2，3，4，5，6}．
【详解】因为盒子中装有6个完全相同的球，分别标上号码1， 2， 3， …， 6，
所以从中任取一个球，得到样本空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}．
故答案为：Ω＝{1，2，3，4，5，6}．
袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都
相同的四个小球，从中任取一球的样本空间=______，从中任取两球的样本空间 __________.
【答案】 {红，白，黄，黑} {（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）}
【详解】从中任取一球有4种可能，分别为红、白、黄、黑，
构成的样本空间 {红，白，黄，黑}．
从中任取两球有6种可能，分别为（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑），
构成的样本空间{（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）}．
故答案为：{红，白，黄，黑}；{（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑）}
一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3
个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出“2个球都是白球”这一事件所对应的子集.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【详解】（1）
分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则这个试验的样本空间为Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}.[其中（1，2）表示摸到1号球和2号球]
（2）
“2个球都是白球”这一事件就是子集{（1，2），（1，3），（2，3）}.
同时转动如图的两个转盘，记转盘（1）得到
的数为，转盘（2）得到的数为，结果为．
(1)写出这个试验的样本空间．
(2)求这个试验的基本事件个数．
(3)“”这一事件包含哪几个基本事件？“且”呢？
(4)用集合表示事件：；用集合表示事件：．
【答案】(1)答案见解析(2)16(3)答案见解析(4)．．
【详解】（1）解：这个试验的样本空间为：
，，，，，，，，，，，，，，，．
（2）解：由（1）可知，这个试验的样本点的总数为16．
（3）解：“”包含的样本点为，，，．
“且”包含的样本点为，，，，，．
（4）解：．．
下列随机事件中，随机试验各指什么？试写出
它们的样本空间．
(1)同时抛掷三枚骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
(2)从含有两件正品，和两件次品，的四件产品中任取两件，记录抽出产品的结果；
(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个长方形随机涂色，每个长方形只涂一种颜色，记录长方形涂色的情况．
【答案】(1)；
(2)；
(3)详见解析.
【详解】（1）随机试验是指“同时抛掷三枚骰子，观察其落地时朝上的面的点数情况，记录三枚骰子出现的点数之和”，
因为一枚骰子有6个面，掷出的点数可能为1~6这6个数字，
所以三枚骰子点数之和的可能值为3~18这16个数字，
故所求样本空间；
（2）随机试验是指“从含有两件正品，和两件次品，的四件产品中任取两件，记录抽出产品的结果”，
该试验的样本空间；
（3）随机试验是指“用红、黄、蓝三种颜色给题图中3个长方形随机涂色，每个长方形只涂一种颜色，记录长方形涂色的情况”，
用1，2，3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，样本点可用表示，
则此试验的样本空间．
做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示
结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数.写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件的含义.
【答案】(1)答案见解析(2)
(3)抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为
【详解】（1）
样本空间.
（2）由（1）知：这个试验的结果的个数共有个.
（3）由可知：事件表示抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为.
已知集合，，从两个
集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
【答案】(1)答案见解析；(2)(3)
(4)得到的点是第三象限内的点.
【详解】(1)
样本空间为：
(2)由知这个试验样本点的总数为.
(3)得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为.
(4)事件表示得到的点是第三象限内的点.
从2名男生和3名女生中随机选出2人．
(1)写出样本空间；
(2)写出事件：“两人恰好是1名男生和1名女生”对应的集合．
【答案】(1)）{甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，甲乙，AB，BC，AC}
(2){甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C}．
【详解】(1)
男生用甲、乙代替，女生用A，B，C代替．
则样本空间为{甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，甲乙，AB，BC，AC}．
(2){甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C}．
2.事件的关系和运算
对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮
弹，设“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，“恰有一次击中飞机”，“至少有一次击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A：事件A包含于事件D，正确．
B：由事件B，D不能同时发生，所以，正确．
C：事件指至少有一次击中飞机，即事件D，正确．
D：由至少有一次击中飞机，不是必然事件；而为必然事件，所以，不正确．
故选：D．
某试验的样本空间
，事件，事件，则事件（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题设，.
故选：C.
在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观
察掷出的点数”中，事件表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件表示随机事件“两次掷出的点数和比9大”，用表示抛掷的结果，其中表示第一次掷出的点数，表示第二次掷出的点数，则事件（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，事件，
事件，
所以事件．选项D正确.
故选：D．
如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设
“甲元件故障”，“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障.即事件和同时发生，即事件发生.
故选：C.
（多选）从分别写有1,2,3,4,5以及
的9张纸条中任意抽取两张，有如下随机事件：
“恰有一张写有数字”，“恰有一张写有字母”，“至少有一张写有数字”，“两张都写有数字”，“至多有一张写有字母”.
下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母，
事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母，
事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母、两张都写有数字，
事件包含的基本事件类型为：两张都写有数字，
事件包含的基本事件类型为：一张写有数字一张写有字母、两张都写有数字，
所以，，，，，
故选：ABD.
（多选）从1至9这9个自然数中任取两个，
有如下随机事件：
“恰有一个偶数”，“恰有一个奇数”，
“至少有一个是奇数”，“两个数都是偶数”，
“至多有一个奇数”.
下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】事件都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件有公共事件，故C错误；此时是对立事件，所以，.
故选：ABD
甲、乙同时抛掷两枚骰子，正面向上的数字分别记作
，则下列说法错误的是（ ）
A．“是奇数”是随机事件
B．“”与“”是互斥事件
C．“”与“”是对立事件
D．“”与“”是相互独立事件
【答案】C
【详解】对于A：“a是奇数”是随机事件，故A正确；
对于B：“”与“”是互斥事件，因为“”发生则“”一定不发生，但“”不发生，“”也不一定发生，可能是比如发生，故B正确；
对于C：由B可知”与“”是互斥但不对立事件，故C错误；
对于D：“”与“”发生与否不受影响，是相互独立事件，故D正确；
故选：C
抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一
枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（ ）
A．与为相互独立事件
B．与互为对立事件
C．与为互斥事件
D．
【答案】A
【详解】由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，A正确；
事件可以同时发生，则A与B不是互斥事件，也不是对立事件，B错误；C错误；
，D错误.
故选：A.
袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2
个黑球，从中不放回地摸球，设事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”，事件“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．与是互斥事件
B．与不是相互独立事件
C．与是对立事件
D．与是相互独立事件
【答案】B
【详解】根据题意可知，事件和事件可以同时发生，不是互斥事件，故A错；
不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件和事件不相互独立，故B正确；
事件的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错；
事件与事件为对立事件，故D错.
故选：B.
一个射手进行一次射击，事件命中环数大
于8;事件命中环数大于5，则（ ）
A．与是互斥事件
B．与是对立事件
C． D．
【答案】C
【详解】解：事件A:命中环数大于8即命中9或10环;事件B:命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环，故A B.
故选：C
一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，
设事件为“三件产品全不是次品”，事件为“三件产品全是次品”，事件为“三件产品不全是次品”，事件为“第一件是次品”则下列结论正确的是（ ）
A．与相互独立 B．与相互对立
C． D．
【答案】B
【详解】为三件产品全部是次品，指的是三件产品都是正品，
为三件全是次品，
为三件产品不全是次品，包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，
为第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，两件次品，三件次品三个事件.
由此可知与是互斥事件，与是包含，不是互斥，与对立
故选: B.
（多选）甲 乙两各投掷一枚骰子，下列说法
正确的是（ ）
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲 乙都投得6点”与事件“甲 乙都没有投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
【答案】AB
【详解】在A中，甲 乙两各投掷一枚骰子，“甲投得5点”与“甲投得4点”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件；
在B中，甲、乙各投掷一枚骰子，“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”的概率没有影响，二者是相互独立事件；
在C中，甲，乙各投掷一枚骰子，“甲 乙都投得6点”与事件“甲 乙都没有投得6点”不可能同时发生，二者是互斥事件，“甲 乙都投得6点”的对立事件为“至少有一个人没有投得6点”，故“甲 乙都没有投得6点”不是“甲 乙都投得6点”的对立事件；
在D中，设“至少有1人投得6点”为事件A，则事件A包括只有甲一人投得6点，或者只有乙一个人投得6点，以及甲乙两人都投得6点，而“甲投得6点且乙没投得6点”为事件，则，故A、B不独立，
故选：AB
用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随
机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件三个圆的颜色全不相同，事件三个圆的颜色不全相同，事件其中两个圆的颜色相同，事件三个圆的颜色全相同．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件；
(3)事件与事件有什么关系？
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)事件B包含事件C．
【详解】（1）
解：（1）由题意可知3个圆可能颜色一样，可能有2个一样，另1个异色，或者三个球都异色．
则试验的样本空间（红，红，红）、（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、
（红，黄，黄）、（红，黄，蓝）、（红，蓝，红）、（红，蓝，黄）、
（红，蓝，蓝）、（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，红，蓝）、
（黄，黄，红）、（黄，黄，黄）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，红）、
（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）；（蓝，红，红）、（蓝，红，黄）、
（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，红）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、
（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）、（蓝，蓝，蓝）；
（2）
解：（红，黄，蓝）、（红，蓝，黄）、（黄，红，蓝）、（黄，蓝，红）、（蓝，红，黄）、（蓝，黄，红）；
（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、（红，黄，黄）、（红，黄，蓝）、（红，蓝，红）、
（红，蓝，黄）、（红，蓝，蓝）、（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，红，蓝）、（黄，黄，红）、
（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，红）、（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）、（蓝，红，红）、（蓝，红，黄）、
（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，红）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）；
（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、（红，黄，黄）、（红，蓝，红）、（红，蓝，蓝）、
（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，黄，红）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）、
（蓝，红，红）、（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）；
（红，红，红）、（蓝，蓝，蓝）、（黄，黄，黄）；
（3）
解：由（2）可知，所以事件包含事件．
从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两
次，每次取一个，构成数对为第一次取到的数字，为第二次取到的数字.设事件“第一次取出的数字是1”，“第二次取出的数字是2”.
(1)写出此试验的样本空间及的值；
(2)判断与是否为互斥事件，并求；
(3)写出一个事件，使成立.
【答案】(1)样本空间，，
(2)与不是互斥事件，
(3)
【详解】(1)样本空间
所以.因为，所以.从而.因为，所以.从而.
(2)因为，故与不是互斥事件.又.所以.从而.
(3)
.
判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相
互独立事件．
（1）掷一枚骰子一次，事件：“出现的点数为奇数”；事件：“出现的点数为偶数”；
（2）掷一枚骰子一次，事件：“出现偶数点”；事件：“出现3点或6点”．
【答案】（1）与是互斥事件；（2）、是相互独立事件，但不是互斥事件．
（2）列举出事件、所包含的基本事件，利用事件的基本关系可判断事件、的关系.
【详解】（1）因为事件与二者不可能同时发生，与是互斥事件；
（2）样本空间为，事件，事件，事件，
，，，
故事件与相互独立．
当“出现点”时，事件、可以同时发生，因此，、不是互斥事件．
在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义
许多事件，如：出现1点，出现3点或4点，出现的点数是奇数，出现的点数是偶数.
(1)说明以上4个事件的关系.
(2)求两两运算的结果.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，
记作Ai={出现的点数为i}(其中i=1，2，…，6).则A=A1，B=A3∪A4，
C=A1∪A3∪A5，D=A2∪A4∪A6.
事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件.
（2）A∩B=，A∩C=A，A∩D=.
A∪B=A1∪A3∪A4={出现的点数为1或3或4}，
A∪C=C={出现的点数为1或3或5}，
A∪D=A1∪A2∪A4∪A6={出现的点数为1或2或4或6}.
B∩C=A3={出现的点数为3}，
B∩D=A4={出现的点数为4}.
B∪C= A1∪A3∪A4∪A5={出现的点数为1或3或4或5}.
B∪D=A2∪A3∪A4∪A6={出现的点数为2或3或4或6}.
C∩D=，C∪D=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6={出现的点数为1，2，3，4，5，6}.
连续掷一颗骰子两次，观察掷得的点数．设
第一次掷得的点数为1，第一次掷得的点数为1，第二次掷得的点数为j，两次掷得的点数之和为6，第二次掷得的点数比第一次的大3．
(1)写出下列事件的对应子集：
①至少有一个发生； ②同时发生．
(2)分别判断与与与是否为互斥事件？
(3)讨论与的关系．
【答案】(1)① ②
(2)A与B不互斥、A与C不互斥、B与C互斥
(3)
【详解】(1)
解：①根据和事件的定义可得，A、B至少有一个发生为；②根据积事件的定义可得，A、B同时发生为；
(2)
解：因为，，故A与B不互斥，A与C不互斥，
又，,
所以，所以B与C互斥；
(3)
解：由题意，.
从分别写着1，2，3，4，5，6的六张卡片
中，任意抽两次，每次抽1张，第一次抽出的卡片，记下数字放回后再抽第二次．设两次抽出的卡片上的数字都是偶数，两次抽出的卡片上的数字之和是偶数，两次抽出的卡片上的数字至少有一个奇数．讨论：
(1)与的关系；
(2)与的关系；
(3)与的关系．
【答案】(1)；
(2)事件A与事件C互为对立事件；
(3)事件B与事件C为并事件.
【分析】根据题意，利用列表法列出所有的可能结果，结合事件之间的关系和运算即可得出结果.
(1)
根据题意，抽两次卡片所得到的两个数字可能的结果如下表：共36种可能，设事件两次抽出的卡片数字的36种可能，
则事件两次抽出的卡片数字都是偶数两个数都为偶数，
事件两次抽出的卡片数字之和为偶数两个数都为偶数或都为奇数，
事件两次抽出的卡片数字至少有一个为奇数两个数都为奇数或一奇一偶，
所以A与B的关系为，
故事件A包含于事件B；
(2)
由(1)知，A与C的关系为，
且，故A与C互为对立事件；
(3)
由(1)知，B与C的关系为，
故B与C为并事件；
3.古典概型
袋子中有3个红球和2个黑球，从中摸出一个球，该
球为黑球的概率是（ ）
A． B．
C．1 D．
【答案】A
【详解】从袋子中摸出一球，共有5个基本事件，
设为“从袋中摸出一球，该球为黑球”，则有两个基本事件，
故.
故选：A.
一箱脐橙共有21个，其中有3个是坏果，若
从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】依题意可得，取到的脐橙不是坏果的概率为.
故选：D
为弘扬我国古代“六艺”文化，某校研学活动社团计划
开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程.若甲、乙两位同学均只能体验其中一门课程，则甲、乙恰好选中相同课程的概率为（ ）
A． B．
C．1 D．
【答案】D
【详解】如图，根据题意可得：“甲、乙两位同学均只能体验其中一门课程”共有36个基本事件，
“甲、乙恰好选中相同课程”共有6个基本事件，则概率为.
故选：D.
若，则方
程．有实根的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意，方程有实根，
即，
由于则一共可以得到种不同情况，
其中方程有实根有，；，；，；，；，；，；，共种情况，
所以所求概率为．
故选：C
同时掷两枚般子，向上的点数之和是6的概率
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】列表得
共有36种等可能的结果，
向上的点数之和是6的情况有5种，
掷两枚般子，向上的点数之和是6的概率是，
故选：D
同时抛掷两枚质地均匀的相同骰子，则两枚骰
子的点数和为的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】同时抛掷两枚骰子，所有可能的结果有种；
其中点数和为的有，，，，共种情况，
点数和为的概率.
故选：C.
（多选）投掷两枚质地均匀的正方体骰子，则
（ ）
A．向上点数之和为5的概率为
B．向上点数之和为7的概率为
C．向上点数之和为6的倍数的概率为
D．向上点数之和为偶数的概率为
【答案】BD
【详解】由题意可知投掷两枚质地均匀的正方体骰子点数向上的情况共有：
，，
，，
，，
共36种，
其中点数之和为5的有共4种，故概率为，故A错误；
其中点数之和为7的有共6种，故概率为，故B正确；
其中点数之和为6的倍数有共6种，故概率为，故C错误；
其中点数之和为偶数的有
，，
，，
，，
共18种，故概率为，故D正确；
故选：BD
4.概率的基本性质
下列叙述错误的是（ ）．
A．若事件发生的概率为，则
B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
【答案】C
【详解】根据概率的定义可得若事件发生的概率为，则，故A正确；
根据互斥事件和对立事件的定义可得，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，
且两个对立事件的概率之和为1，故B正确；
某事件发生的概率不会随着试验次数的变化而变化，故C错误；
5张奖券中有一张有奖，先抽，后抽中奖的可能性相同，与次序无关，故D正确，
故选：C．
下列说法正确的是( )．
A．如果一事件发生的概率为十万分之一，说明此事件不可能发生
B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件
C．概率的大小与不确定事件有关
D．如果一事件发生的概率为99.999％，说明此事件必然发生
【答案】C
【详解】A.如果一事件发生的概率为十万分之一，不能说明此事件不可能发生，只能说明此事件发生的可能性比较小，所以该选项是错误的；
B. 如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件或随机事件，所以该选项是错误的；
C. 概率的大小与不确定事件有关，该命题是真命题；
D. 如果一事件发生的概率为99.999％，只能说明该事件发生的可能性很大，但仍然有不发生的可能性，因此它不是必然事件,所以该选项是错误的.
故选：C
“某彩票的中奖概率为”意味着（ ）
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为
【答案】D
【详解】概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率，
“某彩票的中奖概率为”意味着购买彩票中奖的可能性为.
故答案为：D
（多选）下列说法正确的是（ ）
A．任一事件的概率总在内
B．不可能事件的概率一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】ABC
【详解】由概率的定义及性质知，任一事件的概率总在内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值，
所以，选项A，B，C是正确的，D是错误的.
故选：ABC
判断对立与互斥
随机投掷一个4个面上分别标有1，2，3，4的正四
面体，记“向下的一面上的数字是1~4中的一个”为事件，“向下的一面上的数字是偶数”为事件，“向下的一面上的数字是奇数”为事件，则下列说法中错误的是（ ）
A．为必然事件 B．
C．为对立事件 D．为互斥事件
【答案】D
【详解】由题意知事件包括：向下的面为1,2,3,4.
事件包括：向下的面为2,4.
事件包括：向下的面为1,3.
故事件为必然事件，事件、为可能事件.A正确.
. B正确.
，为对立事件.C正确.
A，C不为互斥事件. D错误.
故选：D.
一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿
色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为蓝球”为对立的事件有（ ）
A．2个小球不全为蓝球
B．2个小球恰有个蓝球
C．2个小球至少有个蓝球
D．2个小球都为绿球
【答案】A
【详解】事件“个小球都的蓝球”为对立的事件是“个小球不都为蓝球”，只有A符合．
故选：A．
一批产品共7件，其中5件正品，2件次
品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（ ）
A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品”
B．“恰有1件次品”和“至少1件次品”
C．“至多1件次品”和“恰有1件次品”
D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品”
【答案】A
【详解】5件正品，2件次品，从中随机抽取2件共有如下可能性结果：
“两件次品”，“一件正品一件次品”，“两件正品”
根据互斥事件可知：A正确；
“至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B不正确；
“至多1件次品”包含“一件正品一件次品”，“两件正品”，C不正确；
“恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D不正确；
故选：A．
抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件
“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（ ）
A．至多一枚硬币正面朝上
B．只有一枚硬币正面朝上
C．两枚硬币反面朝上
D．两枚硬币正面朝上
【答案】C
【详解】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.
故选：C.
若，则互斥事件和B的关系
是（ ）
A．
B．是对立事件
C．不是对立事件
D．
【答案】B
【详解】由题意，事件与是互斥事件，则，
则，是对立事件.
故选：B
投掷一枚骰子，下列事件中是对立事件的是
（ ）
A．向上的点数是1与向上的点数是5
B．向上的点数小于3与向上的点数大于3
C．向上的点数是奇数与向上的点数是偶数
D．向上的点数大于3与向上的点数小于5
【答案】C
【详解】根据对立事件的概念可知必有一个发生且有且仅有一个发生
A：事件A和事件B有可能同时不发生，故A错误；
B：有可能投掷的点数是3，事件A和事件B有可能同时不发生，故B错误；
C：事件A和事件B满足对立事件的条件，故C正确；
D：事件A发生，事件B有可能同时发生，不满足对立事件的条件，故D错误.
故选：C
口袋里有两枚“角”的硬币和两枚“元”的硬
币，从中任取若干枚，则与事件“总共取出元钱”互斥的事件是（ ）
A．取出的“1元”硬币仅有一枚
B．取出的“5角”硬币仅有一枚
C．恰好取出2枚硬币
D．恰好取出3枚硬币
【答案】B
【详解】对于A选项：取出的“1元”硬币仅有一枚，这个事件有取出1元钱，1.5元钱，2元钱，共三个事件，包含了总共取出元钱的事件，A不正确；
对于B选项：取出的“5角”硬币仅有一枚，这个事件有取出0.5元钱，1.5元钱，2.5元钱，共三个事件，不包含总共取出元钱的事件，B正确；
对于C选项：恰好取出2枚硬币的事件有取出1元钱，1.5元钱，2元钱，共三个事件，包含了总共取出元钱的事件，C不正确；
对于D选项：恰好取出3枚硬币的事件有取出2元钱，2.5元钱，共两个事件，包含了总共取出元钱的事件，D不正确.
故选：B
下列叙述错误的是（ ）
A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．甲 乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 ，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为
【答案】C
【详解】对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，A正确；
对于B选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，则甲不输的概率为，B正确；
对于C选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，C错误；
对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，从而所求概率为，D正确.
故选：C
互斥事件的概率加法
已知随机事件中，与互斥，与
对立，且，，则（ ）
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．0.8
【答案】C
【详解】因为，事件与对立，所以，又，与互斥，
所以.
故选：C.
甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，
乙获胜的概率为，则乙不输的概率为___________.
【答案】
【详解】解：
乙不输的事件包含两人下和棋或乙获胜
故乙不输的概率为
故答案为：
从一副混合后的扑克牌不含大小王中，随
机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】一副混合后的扑克牌不含大小王共有52张，则事件A的概率为，
一副扑克牌有13张黑桃，则事件B的概率为，
而事件A与B互斥，则，
所以.
故选：A
甲 乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为
0.2，甲不输的概率为0.7，则甲 乙下成和棋的概率为（ ）
A．0.5 B．0.7
C．0.9 D．0.4
【答案】A
【详解】解：甲不输包含甲、乙两人下成和棋与甲获胜，
且甲、乙两人下成和棋与甲获胜是互斥事件，
甲、乙下成和棋的概率．
故选：A．
已知，如果
，那么等于（ ）
A．0.8 B．0.5
C．0.3 D．0.2
【答案】A
【详解】.
故选：A.
围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取
出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】C
【详解】从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件，同为黑子为事件，同为白子为事件，
则.
故选：C
对立事件的概率加法
从一箱分为四个等级的产品中随机地抽取一件，设事
件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到次品（一等品、二等品、三等品都属于合格品）”的概率为（ ）
A．0.7 B．0.65
C．0.3 D．0.05
【答案】D
【详解】“抽到次品”的概率：
.
故选：D
事件A与B是对立事件，且，则
等于（ ）
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．1
【答案】A
【详解】因事件A与B是对立事件，且，则，
所以等于0.4.
故选：A
若某群体中的成员只用现金支付的概率为
0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.4 B．0.3
C．0.7 D．0.6
【答案】B
【详解】由题得不用现金支付的概率P=1-0.4-0.3=0.3.
故选B
甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两
人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是（ ）
A．20% B．70%
C．80% D．30%
【答案】B
【详解】由题意可得乙胜的概率为30%50%%，
所以乙不输的概率是%+50%=70%
故选：B
围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意
取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】2粒都是黑子或2粒都是白子的概率为，
取出的2粒颜色不同的概率为.
故选：D.
从一箱产品中随机地抽取一件，设事件
{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件，而事件{抽到一等品}，且，
于是得，
所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.
故选：B
某射手的一次射击中，射中10环，9环，8
环的概率分别为0.2，0.3，0.1.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）
A．0.4 B．0.3
C．0.6 D．0.9
【答案】A
【详解】解：因为某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2，0.3，0.1.
所以在一次射击中不够8环的概率为，
故选：A
不确定对立或互斥
抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数
是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】B
【详解】A包含向上的点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上的点数是1，2，3，5的情况.故P(A∪B)=.
故选：B．
已知，，，
则______．
【答案】0.2
【详解】因为，
所以.
故答案为：0.2.
对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，
其中，，则___________.
【答案】
【详解】由题意得：，所以.
故答案为：
投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1
点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是，记事件为“出现奇数点”，事件“向上的点数不超过3”，则___.
【答案】
【详解】解：因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝.
故答案为：.
包含关系
对于事件与事件，已知如
果，则___________.
【答案】
【详解】解：因为，
所以，
故答案为：.
对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射
一枚炮弹，设“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，“恰有一枚炮弹击中飞机”，“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A D ，A∪C＝D
B，D为互斥事件，B∩D＝；
A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等
故选：D
已知.（1）如，
则________，________；（2）如果互斥，则________，________.
【答案】 0.4 0.2 0.6 0
【详解】（1）因为B A，所以P(A∪B)=P(A)=0.4，P(AB)=P(B)=0.2.
（2）如果A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6，P(AB)=0.
故答案为：0.4；0.2；0.6；0．
