第十章 概率
10.2事件的相互独立性
对任意两个事件与，如果成立，则
称事件与事件相互独立，简称独立.
已知事件与事件相互独立，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
已知事件相互独立，且，
，则______．
已知．
(1)若互斥，求；
(2)若相互独立，求．
设相互独立，且，
，求．
为庆祝冬奥会取得胜利，甲、乙两位同学参加
知识竞赛.已知两人答题正确与否相互独立，且各一次正确的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各作答一次，至少有一人正确的概率为______
在某次测试中，甲、乙通过的概率分别为
0.8，0.5，若两人测试是否通过相互独立，则至少有一人通过的概率为__________.
甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分
别是，，假定两人是否正确解答互不影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为______．
已知甲 乙两球落入盒子的概率分别为和.
假定两球是否落入盒子互不影响，则甲 乙两球恰好有一个落入盒子的概率为___________.
甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目
标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为______ ．
两个人射击，互相独立．已知甲射击一次中靶
概率是0.6，乙射击一次中靶概率是0.3，现在两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标的概率为_____________．
已知甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分
别为0.5和0.8，且甲、乙两人投篮的结果互不影响．若甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中的概率为_____．
国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与
计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育 优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥但不对立
B．事件与事件互斥且对立
C．事件与事件相互独立
D．事件与事件相互独立
将一枚质地均匀的骰子连续投掷两次，设
“第一次出现奇数点”，“第二次出现偶数点”，则与（ ）
A．互斥但不对立 B．相互对立
C．相互独立 D．独立且互斥
掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第
一次出现奇数点”，事件“两次点数相同”，则与的关系为（ ）
A．互斥但不对立 B．互为对立
C．相互独立 D．以上关系均不正确
一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别
标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．事件与事件互斥
C．事件与事件相互独立
D．
（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事
件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件与互斥 D．事件与相互独立
（多选）在一个质地均匀的正四面体木块的四
个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为偶数”，事件为“第一次记录的数字为偶数”;事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件是互斥事件
B．事件与事件是相互独立事件
C．事件与事件是相互独立事件
D．
甲、乙两人射击同一个标靶，每人一发，其中甲命中
概率为，乙命中概率为，若甲、乙的射击相互独立，求
(1)标靶被击中的概率；
(2)标靶未被击中的概率．
某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同
时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响.
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，
甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，设“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件．事件与是相互独立的．求：
(1)两人都射中的概率；
(2)两人中恰有一人射中的概率；
在一次猜灯谜活动中，共有道灯谜，两名
同学独立竞猜，甲同学猜对了个，乙同学猜对了个.假设猜对每道灯谜都是等可能性的，试求：
(1)任选一道灯谜，恰有一人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，甲乙都没有猜对的概率.
甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位
的职位,3人能被选中的概率分别为,,,且各自能否被选中互不影响．
(1)求3人同时被选中的概率;
(2)求3人中至少有1人被选中的概率．
课后练习
甲、乙两人同解一道数学题，两人解对的概率分别为，且两人解题互不影响，则两人均未解对的概率为__________．
已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为（ ）
A． B．
C． D．
（多选）甲 乙两名志愿者均打算高考期间去三个考点中的一个考点做服务，甲去考点做服务的概率分别为，乙去考点做服务的概率分别为，则（ ）
A．甲去考点做服务的概率为
B．甲去考点 乙不去考点做服务的概率为
C．甲 乙同去考点做服务的概率为
D．甲 乙不去同一考点做服务的概率为
掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现的点数大于2”，“第二枚出现的点数小于6”，则与的关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立
C．相互独立 D．相等
若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥
B．事件与对立
C．事件与相互独立
D．事件与既互斥又相互独立
（多选）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为事件，则（ ）
A．与互斥
B．与互斥
C．与相互独立
D．与一定不相互独立
（多选）甲 乙两各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲 乙都投得6点”与事件“甲 乙都没有投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
（多选）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ）
A．与互斥 B．与互斥
C．与独立 D．与独立
（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是5”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“第一次掷出的点数是5”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．与互斥
B．
C．与对立
D．与相互独立
（多选）分别投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为“两枚骰子的点数都是奇数”，事件为“两枚骰子的点数之和为奇数”，事件为“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件为“两枚骰子的点数都是偶数”，则（ ）
A．与为互斥事件
B．与为互斥事件
C．与为对立事件
D．与为对立事件
（多选）分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ）
A．与互斥 B．
C．与相互独立 D．
（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．与互斥
B．
C．与对立
D．与相互独立
（多选）．掷两枚质地均匀的骰子，用事件表示“第一枚出现点数2”，用事件表示“第二枚出现偶数点”，则下列结论正确的有（ ）
A．事件与事件是互斥事件
B．事件与事件是独立事件
C．
D．
（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．与互斥
B．
C．与对立
D．与相互独立
（多选）某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示在甲抽奖箱中中奖的事件，表示在乙抽奖箱中中奖的事件，表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确的是（ ）
A．
B．事件与事件相互独立
C．与和为
D．事件与事件互斥
（多选）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果；记“Ⅰ号骰子出现的点数为1”；“Ⅱ号骰子出现的点数为2”；“两个点数之和为8”；“两个点数之和为7”，则以下判断不正确的是（ ）
A．与相互独立
B．与相互独立
C．与相互独立
D．与相互独立
（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ）
A．该试验样本空间共有4个样本点
B．
C．与为互斥事件
D．与为相互独立事件
为庆祝建校115周年，某校举行了校史知识竞赛．在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答．已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.
(1)求甲恰好抽到1道填空题的概率；
(2)求甲比乙恰好多答对1道题的概率.
甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是．现3人各投篮1次，求：
(1)3人都投进的概率；
(2)3人中恰有2人投进的概率．
某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：
(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；
(2)某煤矿不被关闭的概率；
(3)至少关闭一家煤矿的概率．
有三种产品，合格率分别为0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．
(1)求恰有一件不合格的概率；
(2)求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）
为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 ，在第二轮比赛中， 甲、乙胜出的概率分别为. 甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立.
(1)求这场选拔赛三局结束的概率；
(2)若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率.
甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，甲、乙都中靶的概率为0.72，求下列事件的概率；
(1)乙中靶；
(2)恰有一人中靶；
(3)至少有一人中靶.
甲 乙两人组成“星队”参加猜谜游戏，每轮活动由甲乙各猜一次，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲乙猜对与否互不影响，每轮结果也互不影响.
(1)求“星队”第一轮活动中只有1人猜对的概率；
(2)求“星队”在两轮活动中恰好猜对3人次的概率.
从甲地到乙地要经过3个十字路口，各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为．
(1)求一辆车从甲地到乙地没有遇到红灯的概率；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．第十章 概率
10.2事件的相互独立性
对任意两个事件与，如果成立，则
称事件与事件相互独立，简称独立.
已知事件与事件相互独立，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意事件A与事件相互独立，
,
故选：B．
已知事件相互独立，且，
，则______．
【答案】
【详解】由题设，则.
故答案为：
已知．
(1)若互斥，求；
(2)若相互独立，求．
【答案】(1)P（A∪B）＝0.8，P（AB）＝0；
(2)P（A∪B）＝0.65，P（AB）＝0.15．
【详解】（1）解：P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，
若A，B互斥，P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.5+0.3＝0.8，
P（AB）＝0.
（2）解：若A，B相互独立，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.5+0.3﹣0.5×0.3＝0.65，
P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.3＝0.15．
设相互独立，且，
，求．
【答案】
【详解】因为与相互独立，所以．
又，，．
设，则，
即，解得，即．
为庆祝冬奥会取得胜利，甲、乙两位同学参加
知识竞赛.已知两人答题正确与否相互独立，且各一次正确的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各作答一次，至少有一人正确的概率为______
【答案】0.58
【详解】由题意,设“甲答题正确”为事件,“乙答题正确”为事件,
则,
设“至少有一人正确”为事件，
，
故答案为：.
在某次测试中，甲、乙通过的概率分别为
0.8，0.5，若两人测试是否通过相互独立，则至少有一人通过的概率为__________.
【答案】0.9
【详解】由题意两人都未通过的概率为，
所以至少有一人通过的概率为．
故答案为：0.9．
甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分
别是，，假定两人是否正确解答互不影响，则甲、乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为______．
【答案】
【详解】因为两人至少有一人正确解答这道题的对立事件为两人都没有正确解答这道题，
所以．
故答案为：
已知甲 乙两球落入盒子的概率分别为和.
假定两球是否落入盒子互不影响，则甲 乙两球恰好有一个落入盒子的概率为___________.
【答案】
【详解】设甲球落入盒子为事件A，乙球落入盒子为事件B，
则甲 乙两球恰好有一个落入盒子为,
所以.
故答案为：
甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目
标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为______ ．
【答案】0.58
【详解】由题意可得：两人是否击中目标是相互独立的，
因为两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，
所以两人都击中目标的概率为：0.6×0.7=0.42，
所以甲、乙至多一人击中目标的概率为：1 0.42=0.58.
故答案为0.58.
两个人射击，互相独立．已知甲射击一次中靶
概率是0.6，乙射击一次中靶概率是0.3，现在两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标的概率为_____________．
【答案】0.72
【详解】由题意可知，若甲、乙两个各射击1次，至少有一人命中目标的概率为.
故答案为：
已知甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分
别为0.5和0.8，且甲、乙两人投篮的结果互不影响．若甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中的概率为_____．
【答案】0.9
【详解】设“甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中”，
则．
故答案为：0.9．
国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与
计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育 优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥但不对立
B．事件与事件互斥且对立
C．事件与事件相互独立
D．事件与事件相互独立
【答案】D
【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为：
={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
对于A，,且，所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确；
对于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件与事件不互斥，故B不正确；
对于C，事件有4个样本点，事件有4个样本点，事件有0个样本点，，显然有，即事件与事件不相互独立，故C不正确；
对于D，事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有3个样本点，，显然有，即事件与事件相互独立，故D正确；
故选：D
将一枚质地均匀的骰子连续投掷两次，设
“第一次出现奇数点”，“第二次出现偶数点”，则与（ ）
A．互斥但不对立 B．相互对立
C．相互独立 D．独立且互斥
【答案】C
【详解】掷一枚质地均匀的骰子两次，出现的可能的情况共有36种，
事件M包含，共18种，
事件N包含，共18种，
事件包含，共9种，
所以根据互斥事件与对立事件的定义，均不满足，
由于，，，
所以，所以M与N的关系为相互独立.
故选：C
掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第
一次出现奇数点”，事件“两次点数相同”，则与的关系为（ ）
A．互斥但不对立 B．互为对立
C．相互独立 D．以上关系均不正确
【答案】C
【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子两次，出现的可能的情况共有36种，
事件A包含，共18种，
事件B包含，共6种，
事件包含，共3种，
所以根据互斥事件与对立事件的定义，均不满足，
由于，，，
所以，所以A与B的关系为相互独立.
故选：C
一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别
标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．事件与事件互斥
C．事件与事件相互独立
D．
【答案】C
【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则，A不正确；
事件B含有的基本事件有8个：，
其中事件发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，
即事件A与事件B相互独立，C正确；
，D不正确.
故选：C
（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事
件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．事件与互斥 D．事件与相互独立
【答案】ABD
【详解】对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，其中满足事件的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件和事件同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况，
，，A正确，B正确；
事件与事件可以同时发生，事件与事件不互斥，C错误；
事件的发生不影响事件的发生，事件与事件相互独立，D正确.
故选：ABD.
（多选）在一个质地均匀的正四面体木块的四
个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为偶数”，事件为“第一次记录的数字为偶数”;事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件与事件是互斥事件
B．事件与事件是相互独立事件
C．事件与事件是相互独立事件
D．
【答案】BCD
【详解】解：对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；
对于B，事件A与事件B，，，，事件A与事件B是相互独立事件，故B正确；
对于C，事件B与事件，，，，事件B与事件C是相互独立事件，故C正确；
对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D正确．
故选：BCD.
甲、乙两人射击同一个标靶，每人一发，其中甲命中
概率为，乙命中概率为，若甲、乙的射击相互独立，求
(1)标靶被击中的概率；
(2)标靶未被击中的概率．
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）设“甲命中标靶”为事件，“乙命中标靶”为事件，则，，且事件、相互独立，
记“标靶被击中”为事件，则；
（2）记“标靶未被击中”为事件，则．
某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同
时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响.
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
【答案】(1),；(2)
【详解】（1）
设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件，
根据题意，则有，则，
又，所以，即，
又，所以.
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为和.
（2）设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件，
则有
所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为.
甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，
甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，设“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件．事件与是相互独立的．求：
(1)两人都射中的概率；
(2)两人中恰有一人射中的概率；
【答案】(1)0.72(2)0.26
【详解】（1）两人都射中的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72．
（2）两人中恰有一人射中的概率为.
在一次猜灯谜活动中，共有道灯谜，两名
同学独立竞猜，甲同学猜对了个，乙同学猜对了个.假设猜对每道灯谜都是等可能性的，试求：
(1)任选一道灯谜，恰有一人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，甲乙都没有猜对的概率.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）记事件“任选一灯谜，甲猜对”，事件“任选一灯谜，乙猜对”，
则，，
任选一道灯谜，恰有一人猜对的概率为.
（2）由（1）得：任选一道灯谜，甲乙都没有猜对的概率为.
甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位
的职位,3人能被选中的概率分别为,,,且各自能否被选中互不影响．
(1)求3人同时被选中的概率;
(2)求3人中至少有1人被选中的概率．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）
记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A、B、C
则
所以3人同时被选中的概率为
（2）
3人都没被选中的概率
所以3人中至少有1人被选中的概率
课后练习
甲、乙两人同解一道数学题，两人解对的概率分别为，且两人解题互不影响，则两人均未解对的概率为__________．
【答案】
【详解】解：设甲、乙两人解对数学题分别为事件A，B，则A，B相互独立，
且
所以所求事件“两人均未解对的”的概率为：.
故答案为：．
已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设甲、乙两球落入盒子分别为事件A，B，则
因为两球是否落入盒子互不影响，即A，B相互独立
所以甲、乙两球都落入盒子的概率为
故选：A.
（多选）甲 乙两名志愿者均打算高考期间去三个考点中的一个考点做服务，甲去考点做服务的概率分别为，乙去考点做服务的概率分别为，则（ ）
A．甲去考点做服务的概率为
B．甲去考点 乙不去考点做服务的概率为
C．甲 乙同去考点做服务的概率为
D．甲 乙不去同一考点做服务的概率为
【答案】ABD
【详解】对于A，甲去考点做服务的概率为，故A正确，
对于B，甲去考点 乙不去考点做服务的概率为，故B正确，
对于C，甲 乙同去考点做服务的概率为，故C错误，
对于D，乙去考点做服务的概率为，
甲 乙不去同一考点做服务的概率为，
故选：ABD
掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现的点数大于2”，“第二枚出现的点数小于6”，则与的关系为（ ）
A．互斥 B．互为对立
C．相互独立 D．相等
【答案】C
【详解】对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A、B可以同时发生，
所以A、B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等.
故选：C
若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥
B．事件与对立
C．事件与相互独立
D．事件与既互斥又相互独立
【答案】C
【详解】∵，
∴，
∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.
故选：C
（多选）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为事件，则（ ）
A．与互斥
B．与互斥
C．与相互独立
D．与一定不相互独立
【答案】BC
【详解】因为抛掷一次骰子，包含6个基本事件，
事件A表示结果向上的点数为1,2，所以；
事件B表示第二次抛掷结果向上的点数为3,6，所以；
事件C表示结果向上的点数为（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18种情况，而抛掷两次骰子共出现36种情况，所以；
事件D表示结果向上的点数为（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5）共18种情况，而抛掷两次骰子共出现36种情况，所以；
选项A，事件A与事件B会同时发生，如第一次抛1，第二次抛3，所以，事件A与事件B不互斥，该选项错误；
选项B，由上述事件C和事件D表示的结果可知，，所以事件C与事件D互斥，该选项正确；
选项C，，，
表示两次抛掷结果向上的点数之和为偶数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率，共有（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），共6种情况，
所以，所以A与C相互独立，该选项正确；
选项D， 因为，，
而表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数的概率，共有（2，3），（4，3），（6，3），（1，6），（3，6），（5，6），共6种情况，
所以
所以B与D相互独立，该选项错误；
故选：BC.
（多选）甲 乙两各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（ ）
A．事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件
B．事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C．事件“甲 乙都投得6点”与事件“甲 乙都没有投得6点”是对立事件
D．事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件
【答案】AB
【详解】在A中，甲 乙两各投掷一枚骰子，“甲投得5点”与“甲投得4点”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件；
在B中，甲、乙各投掷一枚骰子，“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”的概率没有影响，二者是相互独立事件；
在C中，甲，乙各投掷一枚骰子，“甲 乙都投得6点”与事件“甲 乙都没有投得6点”不可能同时发生，二者是互斥事件，“甲 乙都投得6点”的对立事件为“至少有一个人没有投得6点”，故“甲 乙都没有投得6点”不是“甲 乙都投得6点”的对立事件；
在D中，设“至少有1人投得6点”为事件A，则事件A包括只有甲一人投得6点，或者只有乙一个人投得6点，以及甲乙两人都投得6点，而“甲投得6点且乙没投得6点”为事件，则，故A、B不独立，
故选：AB
（多选）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（ ）
A．与互斥 B．与互斥
C．与独立 D．与独立
【答案】BC
【详解】对于A，记表示事件“第一枚点数为，第二枚点数为”，则事件包含事件，事件也包含事件，所以，故与不互斥，故A错误；
对于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即与互斥，故B正确；
对于C，总的基本事件有件，事件的基本事件有件，故，
由选项B知，
而事件包含的基本事件有共2件，故，
所以，故与独立，故C正确；
对于D，事件的基本事件有件，故，由选项B知，
而事件包含的基本事件有共3件，故，
所以，故与不独立，故D错误.
故选：BC.
（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是5”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“第一次掷出的点数是5”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．与互斥
B．
C．与对立
D．与相互独立
【答案】ABD
【详解】若两次掷出的点数之和是5，由于每次掷出的点数都在1到6之间，所以第一次掷出的点数一定小于5，故A与C互斥，故A正确；
“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”，
所以，故B正确；
由于“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”，故B与D不是对立的，故C错误；
先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有6×6=36中等可能的不同情况，“两次郑出的点数之和是5”有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共四种不同的情况,第二次掷出的点数为偶数的情况有（=1，2，3，4，5，6）共18种不同情况，两次掷出的点数之和为5且第二次掷出的点数为偶数的情况有两种情况，
所以所以,所以A,B独立，故D正确.
故选：ABD
（多选）分别投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为“两枚骰子的点数都是奇数”，事件为“两枚骰子的点数之和为奇数”，事件为“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件为“两枚骰子的点数都是偶数”，则（ ）
A．与为互斥事件
B．与为互斥事件
C．与为对立事件
D．与为对立事件
【答案】AC
【详解】投掷两枚质地均匀的骰子，共有三种情况，一奇一偶，两个奇数或两个偶数，选项A中，事件B“两枚骰子的点数之和为奇数”则说明是一奇一偶，与事件A没有重叠，所以是互斥事件，选项A正确；选项B中，事件A发生时，事件C同时发生，所以不是互斥事件，选项B错误；选项C中，两枚骰子点数之和只有两种情况，奇数或者偶数，所以B与C为对立事件，选项C正确；选项D中，两枚骰子除了都是奇数或者都是偶数，还有可能一奇一偶，所以不是对立事件，选项D错误
故选：AC
（多选）分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ）
A．与互斥 B．
C．与相互独立 D．
【答案】BC
【详解】对于选项A：事件与是可能同时发生的，故与不互斥，选项A不正确；
对于选项B：，选项B正确；
对于选项C：事件发生与否对事件发生的概率没有影响，与相互独立，故C正确；
对于选项D：事件发生概率为，事件发生的概率，，选项D不正确.
故选：BC
（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．与互斥
B．
C．与对立
D．与相互独立
【答案】BD
【详解】解：若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间，所以第一次掷出的点数一定小于4，
而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4，故与不一定互斥，故A错误；
“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”，所以，故B正确；
由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”.故B与D不是对立的，故C错误；
先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况，
第二次掷出的点数为偶数的情况有，，共18种不同情况，
两掷出的点数相同的情况有：，，，，，共6种，两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有，，，3种情况，
所以，，，所以，所以独立，故D正确.
故选：BD.
（多选）．掷两枚质地均匀的骰子，用事件表示“第一枚出现点数2”，用事件表示“第二枚出现偶数点”，则下列结论正确的有（ ）
A．事件与事件是互斥事件
B．事件与事件是独立事件
C．
D．
【答案】BC
【详解】依题意，事件与事件是独立事件，不是互斥事件，故A错误，B正确，
又
故，则C正确，
又，则D错误.
故选：.
（多选）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．与互斥
B．
C．与对立
D．与相互独立
【答案】BD
【详解】A选项，两次投掷的点数不同，仍有可能点数之和为4，于是与可以同时发生，并不互斥，A选项错误；
两次都不出现奇数点的事件记为，依题意，于是，B选项正确；
C选项，当第一次投出奇数点，第二次投出偶数点，那么事件同时发生了，并不互斥，根据互斥和对立的关系，与也不对立，C选项错误；
D选项，，两次投掷的点数相同，显然是6种情况，于是，意为两次投出的点数均为偶数，显然只有3种情况，于是，符合独立事件的定义，故D选项正确.
故选：BD
（多选）某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示在甲抽奖箱中中奖的事件，表示在乙抽奖箱中中奖的事件，表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确的是（ ）
A．
B．事件与事件相互独立
C．与和为
D．事件与事件互斥
【答案】ABC
【详解】，
在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确
，故A正确
，故C正确
事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误.
故选：ABC
（多选）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果；记“Ⅰ号骰子出现的点数为1”；“Ⅱ号骰子出现的点数为2”；“两个点数之和为8”；“两个点数之和为7”，则以下判断不正确的是（ ）
A．与相互独立
B．与相互独立
C．与相互独立
D．与相互独立
【答案】CD
【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子的结果用有数对表示，其中Ⅰ号在前和Ⅱ号在后，不同结果有：
，
，
，共36个，
依题意，，事件C含有：，共5个，，
事件D含有：，共6个，，
对于A，事件AB只有结果，，A与B相互独立，A正确；
对于B，事件AD只有结果，，A与D相互独立，B正确；
对于C，事件BC只有结果，，B与C相互不独立，C不正确；
对于D，事件CD是不可能事件，，C与D相互不独立，D不正确.
故选：CD
（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ）
A．该试验样本空间共有4个样本点
B．
C．与为互斥事件
D．与为相互独立事件
【答案】ABD
【详解】对于A：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共个样本点，故A正确
对于B：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反，
显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B正确；
对于C：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C不正确；
对于D：，，，所以，故D正确．
故选：ABD.
为庆祝建校115周年，某校举行了校史知识竞赛．在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答．已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响.
(1)求甲恰好抽到1道填空题的概率；
(2)求甲比乙恰好多答对1道题的概率.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）记3道选择题的题号为1，2，3，2道填空题的题号为4，5，
则试验的样本空间，，，，，，，，，，
共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型，
记事件“甲恰好抽到1道填空题”，则，故，
因此甲恰好抽到1道填空题的概率为.
（2）设事件，分别表示甲答对1道题，2道题，事件，分别表示乙答对0道题，1道题，
根据事件的独立性得，，
，，
记事件“甲比乙恰好多答对1道题”，
则，且，两两互斥，与，与分别相互独立，
所以，，
所以，
故甲比乙恰好多答对1道题的概率为.
甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是．现3人各投篮1次，求：
(1)3人都投进的概率；
(2)3人中恰有2人投进的概率．
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）记“甲投进”为事件，“乙投进”为事件，“丙投进”为事件，则，
3人都投进的事件为，其概率为.
（2）设“3人中恰有2人投进”为事件B，由（1）知，
因此
，
所以3人中恰有2人投进的概率为.
某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：
(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；
(2)某煤矿不被关闭的概率；
(3)至少关闭一家煤矿的概率．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）依题意，可知每家煤矿必须整改的概率为，且每家煤矿安检是否必须整改是相互独立的，
所以恰好有两家煤矿必须整改的概率为.
（2）某煤矿被关闭的原因是，两次安检都不合格，
所以某煤矿被关闭的概率为，
故某煤矿不被关闭的概率为.
（3）由（2）可知，每家煤矿不被关闭的概率是，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，
所以家煤矿都不被关闭的概率为，
故至少关闭一家煤矿的概率为.
有三种产品，合格率分别为0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．
(1)求恰有一件不合格的概率；
(2)求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）
【答案】(1)0.176；(2)0.012.
【详解】（1）由题意知，设恰好有一件产品不合格的概率为，则
，
所以恰好有一件产品不合格的概率为0.176；
（2）由题意知，设至少有两件产品不合格的概率为，则
.
所以至少有两件产品不合格的概率为0.012.
为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 ，在第二轮比赛中， 甲、乙胜出的概率分别为. 甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】(1)甲(2)
【详解】（1）设事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”,事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”,
事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”,事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”,则表示“甲赢得比赛”,
，
表示“乙赢得比赛“,
,
派甲参赛赢得比赛的概率更大.
（2）设表示“甲赢得比赛”,表示“乙赢得比赛”,
由(1)知
,
表示“两人中至少有一个赢得比赛”,
所以两人至少一人赢得比赛的概率为.
10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立.
(1)求这场选拔赛三局结束的概率；
(2)若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率.
【答案】(1)0.28(2)0.432
【详解】（1）设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），
记“三局结束比赛”，则，
∴
；
（2）设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），
记“决胜局进入第五局比赛”，则，
∴
.
甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，甲、乙都中靶的概率为0.72，求下列事件的概率；
(1)乙中靶；
(2)恰有一人中靶；
(3)至少有一人中靶.
【答案】(1)0.9(2)0.26(3)0.98
【详解】（1）设甲中靶为事件，乙中靶为事件，
则事件与事件相互独立，
且，
则，
即乙中靶的概率为0.9.
（2）设恰有一人中靶为事件，
则.
即恰有一人中靶的概率为0.26.
（3）设至少有一人中靶为事件，
则，
即至少有一人中靶得概率为0.98.
甲 乙两人组成“星队”参加猜谜游戏，每轮活动由甲乙各猜一次，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲乙猜对与否互不影响，每轮结果也互不影响.
(1)求“星队”第一轮活动中只有1人猜对的概率；
(2)求“星队”在两轮活动中恰好猜对3人次的概率.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设甲猜对为事件A，乙猜对为事件B，
（1）事件表示“星队”第一轮活动中只有1人猜对，且事件与互斥，
则，
∴，
即“星队”第一轮活动中只有1人猜对的概率为.
（2）“星队”在两轮活动中恰好猜对3人次可用事件来表示，并且、、、两两互斥，
即，“星队”在两轮活动中恰好猜对3人次的概率为.
从甲地到乙地要经过3个十字路口，各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为．
(1)求一辆车从甲地到乙地没有遇到红灯的概率；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）已知各路口遇到红灯的概率分别为，则不遇到红灯的概率分别为，则一辆车从甲地到乙地没有遇到红灯的概率为.
（2）一辆车从甲地到乙地遇到一个红灯的概率为
设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
