练习
1. 若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，
求向量a＋b与a－b的夹角为 .
2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足，
求＝ .
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)。若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，
求向量c.
4．在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E是CD的中点，求向量和的夹角。
5．(2020全国卷Ⅱ)已知单位向量a,b夹角是60°，
则下列向量中与b垂直的是( )
A. a+2b B. 2a+b C. a-2b D. 2a-b
6．(2020全国卷Ⅲ) 已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6, a·b=-6,
则cos
=( )
A. B. C. D.
参考答案：
1.
提示：法1.从已知条件“|a＋b|＝|a－b|＝|a|”入手，得到以向量a，b为邻边的平行四边形ABCD是矩形，不失一般性，令|a|＝，则|a＋b|＝2，画出图形，
AB=,BD=2,∴AD=1
因此，a=, b=,
a＋b=, a-b=
∵⊿ABC是有一个锐角为30°的直角三角形，
∴<,>=60°
法2.从问题“向量a＋b与a－b的夹角”入手，需要求(a＋b)·(a－b)及|a＋b|，|a－b|。
结合已知条件：“|a＋b|＝|a－b|＝|a|”。
由|a＋b|＝|a－b|得，a2＋2a·b＋b2＝a2-2a·b＋b2， ∴a·b =0
由|a＋b|＝|a|得，a2＋2a·b＋b2＝ a2，∴|a|＝|b|,|a＋b|＝2|b|
(a＋b)·(a－b)= a2-b2= 2b2
∴cos = = =
2．
提示：作个图，∵M是BC的中点，∴,
∴，
已知AM＝1，且，∴
3．
提示：这个是求向量c的坐标表示。
设c＝(x，y)，然后根据向量平行与垂直的公式列方程。
(设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当a∥b时，x1y2-x2y1=0, 当a⊥b时，x1x2+ y1y2=0)
4．120°
提示：求向量夹角。通常先求它们数量积，再求两个向量的模，最后代入公式。
这里向量和大小已知，它们夹角也已知。
因此，应选{，}为基底。
,
主要数据：；||=||=
另，这个题的数据较特殊，用几何法也能做。
5．D
提示：验算选项中向量与b的数量积。单位向量的模是1。
6．D
提示：先求a·(a+b),再求|a+b|,最后代入公式
附1：
“基础知识”是解题思路的源泉
“记住基础知识”对学好数学很重要，很多题目的解题思路就来源“基础知识”。
下面以第3题“已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)。若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，求向量c.”为例进行一下说明．
求向量c通常有两种，一种用基底向量表示，另一种是用坐标表示。这里因为题中向量都是坐标表示。因此，应该是求向量c的坐标。
设c＝(x，y)，题中条件“(c＋a)∥b”，当然会想到相关的基础知识，即，
①“设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b=(x1+x2，y1+y2)。”
②“设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则x1y2-x2y1=0。”
题中条件“c⊥(a＋b)”，当然会想到相关的基础知识，即，
“设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1x2+y1y2=0。”
依据这些基础知识可以得到二个关于向量c的坐标x,y的方程。解方程即可。
在我的教学实践中，总会有些同学的答案不正确。这时，第一步要确认思路是否有误；第二步确认基础知识是否有误；第三步检查运算是否有误。
从重要性上看，思路>基础知识>运算。我们也知道。只要这三个方程都正确结论一定正确。如果头脑中没有相关的基础知识当然也就想不到。所以说“基础知识”是解题思路的源泉。
将基础知识的内容与题目中的信息进行联系就会产生解题思路。所以“记住基础知识”是产生解题思路的前提。请同学一定要重视基础知识，记住基础知识！