练习题
判断题
①若向量共线，则向量所在的直线平行；( )
②已知和是两个互相垂直的单位向量，，，
且,则实数 ( )
③若三个向量两两共面，则向量共面；( )
④已知空间的三个不共面向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得．( )
⑤已知正四面体的棱长为，则 ( )
⑥已知，，为空间向量的一组基底，则向量，，不可能共面. （ ）
⑦如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么共线 ( )
⑧已知向量是空间向量的一组基底,则向量也是空间向量的一组基底 ( )
2. 已知PA垂直于菱形ABCD所在的平面，M是AB的中点，N是PC上的点，且PN∶NC＝2∶1，设＝e1，＝e2，＝e3，用e1，e2，e3表示＝________。
3. 已知点，，，为空间中不共面的四点,且向量，向量，则不能与，共同构成空间向量的一组基底的向量是( )
A. B. C. D. 以上都不能
4.(多选)若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
5. 已知空间的一个基底，，，若，共线，则 ， ．
6.一个结晶体的形状是平行六面体ABCD A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线AC1的长度是 .
7．在正三棱柱ABC A1B1C1中，若AB＝BB1，则与的数量积为________，所成角的大小为________。
8.在正方体中，点在上，且，点在对角线上，且用向量法证明：，，三点共线．
参考答案：
判断题
①（×）提示：向量所在的直线可能平行，也可能重合。
②（√）提示：单位向量的模是1。
③（×）提示：任何二个向量都共面
④（√）
⑤（√）提示：将用表示，然后计算。
⑥（×）提示：若三个向量中有一个向量能用其它两个向量线性表示，则三个向量共面。
⑦（√）
⑧（√）提示：若三个向量不共面，则这三个向量可以作基底。
2. －e1＋e2＋e3
3.C
4.ABD 提示：见判断题⑥的提示。
5. x=,y=
6.
7． 0 90°
8.提示：选择一组基底向量，将,用基底向量表示，再证向量,共线。
附：
“用基础知识做题”的含义
细心的学生会发现文件有页眉“记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误”，前面我们讲了“记住基础知识”很重要，今天结合例子讲一下“用基础知识做题”的含义
题目：已知空间的一个基底，，，若，共线，则 ， ．
题目中条件“若，共线，”可以想到相关基础知识，“非零向量和向量共线的充要条件是存在实数λ，使得”(这是由题目中信息联想相关知识)。
所以，存在实数k,使得,
∴
∴
已知是空间的一个基底， ∴……(I)
关键的地方到了！列出(I)的三个方程的依据是什么。假如你的回答是老师（或教材或教辅或其它）就是这么讲的。那么你做题就不是用基础知识，而是模仿。
基础知识告诉我们，已知是空间的一个基底，所以向量是不共面向量，空间向量基本定理告诉我们，空间任何向量都可以用向量线性表达，而且表达结果唯一。向量和向量都用向量线性表达，等式，说明这两个向量是相等的，即同一个向量，于是表达结果是唯一的，所以列出(I)
你感受到了吗？这是“用基础知识做题”！
我希望你在解答题目过程中，每一步骤都清楚所用的基础知识。这样你就会觉得很明白。你的解答正确与否能够心中有数。想做到这样必须先记住基础知识。
