练习
1.设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式为________。
2．已知等差数列{an}的前三项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2550，求a及k。
3．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，求
4．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，求
5.在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn。
6.已知数列{an}的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn＝a＋an－。
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式。
参考答案：
1. an＝
提示：由条件“Sn＝n2＋1”及所求，应该想到数列前n项和与第n项的关系。
2．a＝2，k＝50。
提示：等差数列关注首项与公差，代入公式即可。
3．
提示：探究一下，是前n项和，现在需要an,是否可以想到a1+a2n-1=2an(这是关键)，于是，(这是结论：等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n-1=(2n-1)an .)
∴，∴
4．
提示：本题是在上一题基础上改编了一下。
下面再从首项和公差入手探究一下，设等差数列{an}的首项a1,d1,等差数列{bn}的首项为b1,d2,则,
∴，∴
整理，
∴ ∴
∴,
∴a7=,b9=
∴
5.(1) an＝10－2n
(2) Sn＝
提示：(2)因为有绝对值符号，因此关注an的正负。an=10－2n，所以
当n>5时，an<0；当n≤5时，an≥0。
所以当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2。
当n>5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
6.(1)略；(2) an＝2n＋1
提示：由条件“Sn＝a＋an－”应该想到数列前n项和Sn与第n项an的关系;
∵Sn＝……①
∴Sn+1＝……②
∴②-①得，Sn+1-Sn＝()-(),
整理得，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，数列{an}的所有项均为正数，
∴an+1－an＝2，数列{an}是2为公差的等差数列。
当令n＝1时，可求a1＝3，
附1：
“记住基础知识”很重要
对目标为及格的学生来说，做到“记住基础知识”离及格就很近了。
以下面这个例子进行一下说明。
设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式为________。
本题条件很简单只有一个“数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1”仅凭这个条件往什么方向去想不是很好确定。但是如果你知道数列问题通常关注的是通项公式(这是数列问题总的解题思路)。所以就可以联想相关知识：数列前n项和Sn=a1+ a2+ a3+…+ an与前n-1项和Sn-1=a1+ a2+ a3+…+ an-1与的差是第n项。即an=Sn-Sn-1。当然本题如果你不知道数列问题通常关注通项公式，你也会想到上面的相关知识。因为问题是求通项公式。（这二者是有区别的，体会一下。）
因此，an=Sn-Sn-1=(n2＋1)-[(n-1)2＋1]=2n-1.
答案是分段表示的！
因为前面的解法本身存在问题！即公式an=Sn-Sn-1成立条件是n>1.
因此，必需注明an=2n-1.是在n>1时。
所以，a1需要再求。a1=S1=12+1=2，不符合公式an=2n-1.
所以必需分段表示。
如果你只记得，an=Sn-Sn-1说明你的基础知识不达标。这样离及格会比较远！
完整的基础知识是：设数列{an}的前n项和Sn，则a1=S1且n>1时，an=Sn-Sn-1.
看到了，“记住基础知识”很重要！
我一直希望同学们能把数学及格这件事牢牢地掌握在自己手里！
“记住基础知识”才有希望！
附2：
“用基础知识做题”的含义
前面我们讲了“记住基础知识”很重要.下面再结合例子讲一下“用基础知识做题”的含义.
设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式为________。
从前面所说的这个题的解答已经可以看出此题的解决就是“用基础知识做题”。很多时候解题思路就是从基础知识中获得的！
比如前面的第5题的第2问，之所以要对n进行讨论就是因为绝对值这个基础知识告诉我们的。
你感受到了吗？“用基础知识做题”！
我希望你在解答题目过程中，每一步骤都清楚所用的基础知识。这样你就会觉得很明白。你的解答正确与否能够心中有数。想做到这样必须先记住基础知识。练习
1. 已知一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，从第7项起为负数，则该数列的公差为
2．已知点(3,5)，(7,13)是等差数列{an}图像上的两点，则an=
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＋S6＝27，则a2＋a4＝
4.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为
5．已知关于x的方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则d＝________|m－n|＝________。
6．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝。
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式。
参考答案：
1.已知一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，从第7项起为负数，则该数列的公差为
－4
提示：注意审题即可。
2．an＝2n-1
提示：“点(3,5)，(7,13)是等差数列{an}图像上的两点”这个条件含义是a3=5，a7=13
3．6
提示：本题条件似乎不足，因为条件只有一个条件，不能确定等差数列的首项与差。但从解答过程发现，只要用首项与公差表示即可解决！
4.12或13
提示：由“an＝26－2n”得，数列{an}是等差数列，首项为24，公差为-2。所以，数列{an}的前12项都是正数第13项为0，从第14项起每项都是负数。所以前12项和等于前13项和是数列{an}前n项和的最大值。
5．
提示：等差数列关注首项与公差，已知首项，故设公差为d,则a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，条件 “(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根”即方程x2－2x＋m＝0的两根与方程x2－2x＋n＝0的两根，关键是方程x2－2x＋m＝0的两根之和为2，方程x2－2x＋n＝0的两根之和也是2；所以a1＋a2＋a3＋a4＝4，所以1＋6d＝4。所以d＝。因此a1＝，a4＝是一个方程的两根，a2＝，a3＝是另一个方程的两个根。所以m，n分别为，或，。故|m－n|＝。
6．(1)略；(2) an＝＋2。
提示：(1)证明一个数列是等差数列这个问题。首先要想到定义：即证明bn＋1－bn是常数或bn－bn-1是常数，结合条件，本题前者较适合。进一步求出首项与公差，及数列{bn}的通项公式。bn=.
(2)由(1)的通项公式可以求出数列{an}的通项公式。an＝＋2＝＋2。
附1：
“记住基础知识”很重要
对目标为及格的学生来说，做到“记住基础知识”离及格就很近了。
以下面这个例子进行一下说明。
已知一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，从第7项起为负数，则该数列的公差为
本题所用相关基础知识是等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d
显然a1=23，“前6项均为正数，从第7项起为负数”这个条件结合基础知识得，
a6>0，a7<0.即，解得，
但是，答案是-4！这是因为题中还有一个条件是“公差为整数”所以d=-4.
忽视题中条件“公差为整数”是低级错误！请给予重视！
看到了，“记住基础知识”很重要！
我一直希望同学们能把数学及格这件事牢牢地掌握在自己手里！
“记住基础知识”才有希望！
