数列
4.1数列的概念
1.按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示.其中第1项也叫做首项.数列的一般形式是简记为.
3.数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数.其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为.
4.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递增数列.各项都相等的数列叫做常数列.
5.如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.或常常用来表示正负相间的变化规律.
6.如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
7.数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即.显然，而，
于是就有
1.通项公式
数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
数列的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
数列的第项为（ ）
A． B．
C． D．
数列的一个通项公式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去
1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个按照此规律，12小时后细胞存活个数（ ）
A．2048 B．2049
C．4096 D．4097
裴波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，
8，13，则该数列的第8项为________．
斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，
8，13，则该数列的第10项为___________．
数列，，，，的第14项是
_________．
数列…的一个通项公式是
________．
如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每
条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的个数记为，按此规律，则___________．
如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”，
它们是由整数的倒数组成，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如，则第8行第4个数（从左往右数）为（ ）
A． B．
C． D．
2.数列的周期性
数列满足：，则的值为
__________.
数列满足
，则数列的第2022项为___________.
已知数列中，，则
_________．
已知数列满足,,
,则______.
3.递推公式
已知数列满足，对任意的都有
，则______.
在数列中，（，
），则______．
已知数列的递推公式为
，则___________.
在数列中，，，
，则______．
已知数列满足，且，
则（ ）
A． B．0
C．1 D．2
已知数列满足，且，
则___________.
4.累乘法
已知数列满足，则
__________．
数列满足，
，则______．
若数列满足，
，则（ ）
A． B．
C． D．
5.已知求通项
已知数列的前n和，则数列的
通项公式为________．
已知数列的前项和，则
______.
已知数列的前n项和，则数列
的通项公式为______．
已知数列的前项和，
，则______．
若数列的前项和
，则此数列的通项公式为___________．
数列的前项和，则
_____.
6.数列的单调性
已知数列满足，，则数列
（ ）
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
数列的通项若
是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）下列数列是单调递增数列的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）下列是递增数列的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）下列四个选项中，正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
课后练习
意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：，，，，，，，，，，，，，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前项中奇数的个数为_______．
“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：，它的第个数是________
数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式是________．
已知数列的前四项依次为，，，，则的通项公式可能是___________.
数列1，，，，…的通项公式______．
根据下列图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第11个图中有__________个点.
已知数列的前几项为，，，，…，则的一个通项公式为______．
观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：
（1）________，…；
（2），________，，，，…；
（3）2，1，________，，…；
（4），，________，，….
写出下列数列的一个通项公式．
(1)，，，，…；
(2)，，，，…；
在数列中，，则的值为__________.
在数列中，，，则______．
已知是数列的前n项和，，，则___________．
已知数列中，，若，则的值是___________.
已知数列的递推公式为，则数列的第4项为______．
已知函数，数列满足条件，且，则______．
数列的通项公式是.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
在数列中，，，则______ ．
已知数列的前项和为，则___________
数列的前项和，则______．
设数列的前n项和为，，则_______．
若数列满足，，则其前2020项和为___________.
设为数列的前项和，且a1=2，则___________.
设数列的前n项和为，则__.
若数列的前项和为，则数列的通项公式__________．
设数列的前项和为，若，则_____．
已知数列的通项公式为，则该数列取得最大时，正整数____________．
数列的通项公式为，若数列为递减数列，则的取值范围是________．
已知数列的通项公式为，若数列是严格递增数列，则实数a的取值范围是_________．数列
4.1数列的概念
1.按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示.其中第1项也叫做首项.数列的一般形式是简记为.
3.数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数.其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为.
4.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递增数列.各项都相等的数列叫做常数列.
5.如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.或常常用来表示正负相间的变化规律.
6.如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
7.数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即.显然，而，
于是就有
1.通项公式
数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意，
在数列中，
分母是以2为首项，2为公比的等比数列
分子是以3为首项，2为公差的等差数列，
∵数列的奇数项为正数，偶数项为负数，
∴比例系数为
∴数列的一个通项公式为：
故选：C.
数列的通项公式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据题意数列其中，，，
，则其通项公式可以为
故选:B.
数列的第项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】底数构成等差数列，第n项为；指数构成等差数列，第n项为.
所以数列1,,,，的第n项为.
故选：D
数列的一个通项公式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意得，令，
A选项：，不合题意；
B选项：，不合题意；
C选项：，不合题意；
D选项：，符合题意
故选：D.
某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去
1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个按照此规律，12小时后细胞存活个数（ ）
A．2048 B．2049
C．4096 D．4097
【答案】D
【详解】依题意，1小时后的细胞个数为，2小时后的细胞个数为，
3小时后的细胞个数为，…，则小时后的细胞个数为，
所以12小时后细胞存活个数是.
故选：D
裴波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，
8，13，则该数列的第8项为________．
【答案】21
【详解】观察裴波那契数列的前7项可以发现：
前两项都是，从第三项起，每一项都是前两项的和，
故第项为.
故答案为：
斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，
8，13，则该数列的第10项为___________．
【答案】55
【详解】解：1，1，2，3，5，8，13，21，，则从三项起，每一项均为前2项的数字之和，
，，
故则该数列的第10项为55.
故答案为：55．
数列，，，，的第14项是
_________．
【答案】
【详解】解：不妨设数列为，则，，，，
由此归纳得到的一个通项公式为，
所以；
故答案为：
数列…的一个通项公式是
________．
【答案】
【详解】数列可写为：，，，，…，
分子满足：3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…，
分母满足：5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，…，
故通项公式为an＝.
故答案为：an＝
如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每
条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的个数记为，按此规律，则___________．
【答案】18
【详解】由题意得，故，
故答案为：18
如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”，
它们是由整数的倒数组成，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如，则第8行第4个数（从左往右数）为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设第行第个数为，则，，，，
故，，，，，，
故选：A.
2.数列的周期性
数列满足：，则的值为
__________.
【答案】
【详解】，
当时，，
当时，，
依此类推，，
数列为周期数列，周期，
.
故答案为：.
数列满足
，则数列的第2022项为___________.
【答案】
【详解】由，得，
，，，，，
故数列是周期为4的周期数列，故，
故答案为：
已知数列中，，则
_________．
【答案】
【详解】因为，所以，，
，……，
所以数列为循环数列，最小正周期为3，
故.
故答案为：-2
已知数列满足,,
,则______.
【答案】0
【详解】解:由题知,∵,,,
∴,
同理可得,,,,,
∴数列为以6为周期的周期数列,
.
故答案为:0
3.递推公式
已知数列满足，对任意的都有
，则______.
【答案】10
【详解】由题意，，．
故答案为：10.
在数列中，（，
），则______．
【答案】
【详解】因为（，），
所以，
故答案为：
已知数列的递推公式为
，则___________.
【答案】54
【详解】由数列的递推公式得.
故答案为：54.
在数列中，，，
，则______．
【答案】
【详解】解：因为，，，
所以，，；
故答案为：
已知数列满足，且，
则（ ）
A． B．0
C．1 D．2
【答案】A
【详解】解：，
，∴
∴，，∴，∴，
故选：A.
已知数列满足，且，
则___________.
【答案】
【详解】因为，且，所以，解得，，解得，，解得．
故答案为：．
4.累乘法
已知数列满足，则
__________．
【答案】
【详解】当时，有
当时，有
两式相除，可得
故答案为：.
数列满足，
，则______．
【答案】
【详解】
，
也符合上式，
所以.
故答案为：
若数列满足，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意， ，
在数列中，，
∴.
故选：A.
5.已知求通项
已知数列的前n和，则数列的
通项公式为________．
【答案】
【详解】，整理得到：，
故答案为：.
已知数列的前项和，则
______.
【答案】7
【详解】当时，；
当时，.
所以，所以.
故答案为：
已知数列的前n项和，则数列
的通项公式为______．
【答案】
【详解】，整理得到，
故答案为：.
已知数列的前项和，
，则______．
【答案】
【详解】当时，，
当时，，
，
综上所述，
故答案为：.
若数列的前项和
，则此数列的通项公式为___________．
【答案】
【详解】解：由题意可知，当时，；
当时，.
又不满足.
因此，.
故答案为：
数列的前项和，则
_____.
【答案】
【详解】当时，，
当时，.
当时上式也符合，
所以.
故答案为：
6.数列的单调性
已知数列满足，，则数列
（ ）
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
【答案】A
【详解】因为，，所以当时，；
当时，，故，
因为函数在区间上单调递减，
所以当，时，是递减数列.
又，所以，且，故数列的最小项为，最大项为.
故选：A.
数列的通项若
是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由已知得解得．
故选:A．
（多选）下列数列是单调递增数列的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】因为
选项A：，所以，不是单调递增数列；
选项B：，所以是单调递增数列；
选项C：，所以，不是单调递增数列；
选项D：，所以是单调递增数列；
故选：BD
（多选）下列是递增数列的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】对于A， ，是摆动数列，不符合题意；
对于B， ，符合题意；
对于C， ，当 时， ，符合题意；
对于D， ，当 时， ，不符合题意；
故选：BC.
（多选）下列四个选项中，正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
【答案】ACD
【详解】对于A，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A正确；
对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B错误；
对于C，观察法可得数列，，，，…的一个通项公式为时，故选项C正确；
对于D，因为，所以数列，，是递减数列，故选项D正确．
故选：ACD.
课后练习
意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：，，，，，，，，，，，，，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前项中奇数的个数为_______．
【答案】1348
【详解】对数列中的数据归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，
又，故该数列前项有个奇数.
故答案为：.
“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：，它的第个数是________
【答案】
【详解】可写为：，第个数为，则第个数为.
故答案为：.
数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式是________．
【答案】an＝2n＋1，n∈N*
【详解】通过观察数列中数据的特征可得第n项数等于2的n次方加1，即an＝2n＋1，n∈N*,
故答案为：an＝2n＋1，n∈N*.
已知数列的前四项依次为，，，，则的通项公式可能是___________.
【答案】
【详解】解：，，，，故.
故答案为：
数列1，，，，…的通项公式______．
【答案】
【详解】由已知得，数列可写成，，，，故通项公式可以为.
故答案为：.
根据下列图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第11个图中有__________个点.
【答案】111
【详解】通过观察得：
图(1)中只有1个点，无分支；
图(2)除中间一个点外，有两个分支，每个分支由1个点；
图(3)除中间一个点外，有三个分支，每个分支由2个点；
图(4) 除中间一个点外，有四个分支，每个分支由3个点；
，
则第个图形中除中间一个点外，有个分支，每个分支有个点；
故第个图形中点的个数为，
当时，
故答案为：111
已知数列的前几项为，，，，…，则的一个通项公式为______．
【答案】
【详解】因为，，，，…，
所以可以猜想.
故答案为：.
观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：
（1）________，…；
（2），________，，，，…；
（3）2，1，________，，…；
（4），，________，，….
【答案】
【详解】（1）根据观察，分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则：
， ， ， ，，
而分子恰为10减序号，则第4项应为，
即填，通项公式为.
（2）因为＝，＝，
＝，＝.
所以各项与序号的对应关系为：
分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．
即第2项应为，
故应填，通项公式为an＝.
（3）因为，， ，，
所以数列缺少项为，数列的通项公式为.
（4）将数列变形为，，____，，…，
所以应填，数列的通项公式为.
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；
通项公式依次为：（1）；（2）；（3）；（4）.
写出下列数列的一个通项公式．
(1)，，，，…；
(2)，，，，…；
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)（答案不唯一）.
【详解】（1）解：由，，，，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，分子均为，且分母为序号与其后一个数之积，
故该数列的通项公式可以为（答案不唯一）.
（2）解：由，，，，…，
可得该数列的一个通项公式为（答案不唯一）.
在数列中，，则的值为__________.
【答案】
【详解】依题意，，
所以，
，
，
所以数列是周期为的数列，
所以.
故答案为：
在数列中，，，则______．
【答案】2
【详解】由题意，得，，，，，
故数列是以4为周期的周期数列，则．
故答案为：2
已知是数列的前n项和，，，则___________．
【答案】1011
【详解】因为，，所以，因此数列具有周期性，，，故．
故答案为：1011．
已知数列中，，若，则的值是___________.
【答案】31
【详解】因为a1=1，若an=2an-1+1（n≥2），
所以，
，
，
，
故答案为：31
已知数列的递推公式为，则数列的第4项为______．
【答案】
【详解】由题意，数列的递推公式为，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得.
故答案为：.
已知函数，数列满足条件，且，则______．
【答案】
【详解】解：依题意，又，
所以，；
故答案为：
数列的通项公式是.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
【答案】(1)
(2)是，第16项
【详解】（1）解：数列的通项公式是．
这个数列的第4项是：．
（2）解：令，即，
解得或（舍，
是这个数列的项，是第16项．
在数列中，，，则______ ．
【答案】18
【详解】解：在数列中，，，
，则
故答案为：18．
已知数列的前项和为，则___________
【答案】
【详解】，
所以.
故答案为：
数列的前项和，则______．
【答案】4
【详解】.
故答案为：
设数列的前n项和为，，则_______．
【答案】25
【详解】由题，数列的前五项依次为：1、3、5、7、9，
所以.
故答案为：25
若数列满足，，则其前2020项和为___________.
【答案】
【详解】，
故答案为：
设为数列的前项和，且a1=2，则___________.
【答案】54
【详解】根据题意，数列{an}中，（n≥2），则，，，所以S4=2+4+12+36=54.
故答案为：54.
设数列的前n项和为，则__.
【答案】9
【详解】在数列中，由得：，，
∴.
故答案为：9.
若数列的前项和为，则数列的通项公式__________．
【答案】
【详解】当时，，
当时，，
，
也满足上式，
∴.
故答案为：6n－5.
设数列的前项和为，若，则_____．
【答案】
【详解】当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n+2﹣3n﹣1﹣2＝2×3n﹣1，
由于a1＝2≠5，
∴an＝．
故答案为：．
已知数列的通项公式为，则该数列取得最大时，正整数____________．
【答案】6
【详解】
当取得最大时，须取得最小正数，
即满足的最小正整数
故答案为：6.
数列的通项公式为，若数列为递减数列，则的取值范围是________．
【答案】
【详解】由数列为递减数列知，对于恒成立，即对于恒成立，
所以.
故答案为：．
已知数列的通项公式为，若数列是严格递增数列，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【详解】解：∵ 数列严格递增，
当时，，
，
∴当时，递增，
，
即，
解得，
∴ ．
故答案为：．
