数列
4.3等比数列
1.一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（显然）.
2.如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项.此时.
3.首项为，公比为的等比数列的通项公式为.
4.由可知，当且时，等比数列的第项是指数函数当时的函数值，即.反之，任给指数函数，则构成一个等比数列，其首项为，公比为.
5.在等比数列中，若，则.
6.等比数列的前项和公式：，因为，所以求和公式还可写成.
7.等比数列的前项和为，则也成等比数列.
1.通项公式基本运算
在等比数列中，，，则
（ ）
A．2 B．±2
C．2或 D．
正项等比数列满足，，则其
通项公式（ ）
A． B．
C． D．
在等比数列中，，
，则公比的值为（ ）
A．4 B．
C．2 D．
在等比数列中，，则
（ ）
A．4 B．8
C．16 D．32
设是等比数列，且，
，则=（ ）
A．24 B．48
C．32 D．64
已知等比数列的前3项和为
，则（ ）
A．24 B．12
C．6 D．3
2.等比中项（角标性质）
已知是4与6的等差中项，是与的等比
中项，则（ ）
A．13 B．
C．3或 D．或13
设为实数，若三个数成等比数
列，则公比为（ ）
A． B．2
C． D．4
已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依
次构成一个等比数列，则该等比数列的公比是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
已知是公差不为零的等差数列，
，且成等比数列，若，则（ ）
A．568 B．566
C．675 D．696
等差数列的首项为1，公差不为0.若，
，成等比数列，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
正项等比数列中，是与的等
差中项，若，则（ ）
A．4 B．8
C．32 D．64
由正数组成的等比数列中，若
，则__________．
已知等比数列满足，，
（其中，），则的最小值为（ ）
A．6 B．16
C． D．2
已知正项等比数列，满足，则
（ ）
A． B．
C． D．
在等比数列中，若，是方程
的根，则的值为（ ）
A． B．
C． D．或
已知等比数列的各项均为正数，且
，则______．
在正项等比数列中，，则
______．
等比数列是递减数列，前项的积为
，若，则________．
3.求和公式基本运算
已知是各项均为正数的等比数列的前n项
和，若，，则（ ）
A．2 B．3
C．6 D．9
在等比数列中，为其前项和，且
，则它的公比的值为（ ）
A．1 B．
C．1或 D．1或
已知各项均为正数的等比数列的前项和
为，若，则的值为（ ）
A．4 B．
C．2 D．
设等比数列的前项和为，若
，则公比（ ）
A．4 B．
C．2 D．
已知为等比数列的前n项和，若
，，则（ ）
A．15 B．
C． D．
已知一个项数为偶数的等比数列，所有项
之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则（ ）
A．1 B．
C．2 D．1或
4.求和性质运用
记为等比数列的前项和.若，
，则（ ）
A． B．8
C．7 D．
记为等比数列的前项和．若
，，则等于（ ）
A．7 B．8
C．9 D．10
设等比数列的前项和为，公比
，且，则（ ）
A． B．
C． D．
已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前
15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A． B．
C．12 D．15
等比数列的前项和为，已知
，，则（ ）
A． B．
C． D．
5.构造等比数列
已知数列满足，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
已知数列满足
，则（ ）
A． B．
C． D．
已知数列首项为2，且
，则__________
在数列中，，
．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
已知数列和有
，而数列的前项和.
(1)证明数列为等比数列，其中；
(2)如果，试证明数列的单调性.
已知是数列的前项和，且满足，
，则__________.
已知数列的前项和满足条件
．
(1)求证：数列成等比数列；
(2)求通项公式．
设数列的前项和为，已知，
.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求与.
已知数列的前n项和为，满足
，证明：数列为等比数列．
已知数列的前项和为，且
，证明：为等比数列.
已知数列的前项和为，且，
.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
课后练习
等比数列的前项和，则数列的公比为（ ）
A． B．
C．2 D．3
已知是公比为正数的等比数列，若，，则________.
等比数列中，，则通项公式____
设等比数列满足.则通项公式________．
在各项均为正数的等比数列中，已知 则数列 的通项公式为_______.
设是公比不为1的等比数列，且，则的通项公式___________.
等比数列满足，则该数列通项公式为______.
设等比数列满足，，则________.
已知数列成等比数列．若，则数列的通项公式是______．
已知等比数列满足：，，，则公比______.
已知3为的等差中项，2为的等比中项，则___________.
已知是等比数列，若1是，的等比中项，4是，的等比中项，则__________．
三个数成等比数列，其中，，则______．
在等比数列中，已知 ，则_____．
已知各项均为正数的等比数列，其前项积为，且满足，则______．
等比数列中，，则__________．
正项等比数列中，，则（ ）
A．4 B．8
C．32 D．64
在等比数列中，已知，则（ ）
A．4 B．6
C．8 D．10
已知等比数列，则（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列，则______.
已知数列为等比数列，且成等差数列，则公比___________.
已知公差为的等差数列中，、、成等比数列，若该数列的前项和则（ ）
A．10 B．11
C．12 D．13
已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（ ）
A．1 B．2
C．81 D．80
在数列中，若，，则该数列的通项公式为__________
已知正项等比数列的前项和为，若，，则_____________.
已知等比数列中，，前4项和为40.求数列的通项公式：________
已知等比数列的前项和为，且，，则_________.
已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前n项和为，且，则通项______．
（多选）已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
记为等比数列的前项和.若，，则__________.
已知正项等比数列的前项和为，若，，则，的等差中项为__________.
已知等比数列的前项和为，若，，则的值为_______
设等比数列的前项和为，若，，则_______．
数列中，，，若，则（ ）
A．10 B．9
C．11 D．8
在数列中，，求_________.
已知数列中，，，则数列的通项公式为________.
数列中，若，，，则______.
已知数列满足：，，．
(1)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
(2)设，求．
已知等差数列的公差，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和为．
已知正项数列，其前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项．
设是等差数列前项的和．已知与的等比中项为，与的等差中项为1．求等差数列的通项．
等差数列，若，且，，成等比数列，求数列的通项公式．
已知是各项均为正数的等比数列，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
已知数列满足，证明为等比数列，并求的通项公式.
已知数列的前项和是，，，求证：数列是等比数列.
已知数列满足，，令求证：是等比数列；
已知数列，其中前项和为，且满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和．数列
4.3等比数列
1.一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（显然）.
2.如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项.此时.
3.首项为，公比为的等比数列的通项公式为.
4.由可知，当且时，等比数列的第项是指数函数当时的函数值，即.反之，任给指数函数，则构成一个等比数列，其首项为，公比为.
5.在等比数列中，若，则.
6.等比数列的前项和公式：，因为，所以求和公式还可写成.
7.等比数列的前项和为，则也成等比数列.
1.通项公式基本运算
在等比数列中，，，则
（ ）
A．2 B．±2
C．2或 D．
【答案】A
【详解】设的公比为q，由，则，解得（舍去），故，所以，.
故选：A.
正项等比数列满足，，则其
通项公式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为是正项等比数列，所以，
又因为，，所以，故，
所以.
故选：B.
在等比数列中，，
，则公比的值为（ ）
A．4 B．
C．2 D．
【答案】A
【详解】，，得，∴．
故选：A．
在等比数列中，，则
（ ）
A．4 B．8
C．16 D．32
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，
由，可得q＝2，所以.
故选：A.
设是等比数列，且，
，则=（ ）
A．24 B．48
C．32 D．64
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，
则，
，
两式相除，得，
因此，.
故选：B.
已知等比数列的前3项和为
，则（ ）
A．24 B．12
C．6 D．3
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，
，，
解得，
所以.
故选：B
2.等比中项（角标性质）
已知是4与6的等差中项，是与的等比
中项，则（ ）
A．13 B．
C．3或 D．或13
【答案】D
b是与的等比中项，则，则，或.
故选：D
设为实数，若三个数成等比数
列，则公比为（ ）
A． B．2
C． D．4
【答案】A
【详解】由题意，，
当时，公比，当时，公比，所以．
故选：A．
已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依
次构成一个等比数列，则该等比数列的公比是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【详解】设公差为，则，由题意，
即，又，所以，
，，，所以.
故选：C.
已知是公差不为零的等差数列，
，且成等比数列，若，则（ ）
A．568 B．566
C．675 D．696
【答案】C
【详解】在等差数列中，设公差为，因为，所以，
解得：.
又，，成等比数列，
所以，故有，
整理得，
因为，
所以，
从而.
即，
∵，
∴，
故.
故选：C.
等差数列的首项为1，公差不为0.若，
，成等比数列，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，，成等比数列，则
即，将代入计算
可得或（舍）
则通项公式为
故选:A.
正项等比数列中，是与的等
差中项，若，则（ ）
A．4 B．8
C．32 D．64
【答案】D
【详解】由题意可知，是与的等差中项，
所以，即，
所以，或（舍），
所以，
，
故选：D.
由正数组成的等比数列中，若
，则__________．
【答案】
【详解】由已知，数列为正项等比数列，所以，所以
由等比中项性质可知：
所以
.
故答案为：.
已知等比数列满足，，
（其中，），则的最小值为（ ）
A．6 B．16
C． D．2
【答案】D
【详解】由题意，
在等比数列中，，，
由等比数列的性质，可得，，
当且仅当，时，等号成立，
因此，的最小值为2.
故选：D.
已知正项等比数列，满足，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，正项等比数列中，
若，则有，
又，，
所以．
故选：A．
在等比数列中，若，是方程
的根，则的值为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【详解】显然方程有两个正实根，依题意，有，，
等比数列公比，，所以.
故选：C
已知等比数列的各项均为正数，且
，则______．
【答案】100
【详解】因为为等比数列, 所以,
所以,
所以,
故答案为：.
在正项等比数列中，，则
______．
【答案】2
【详解】在正项等比数列中，，
所以，
所以，，
．
故答案为：2
等比数列是递减数列，前项的积为
，若，则________．
【答案】2
【详解】解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为，
则由题意可得，且．
，．
又由等比数列的性质可得，．
故答案为：2．
3.求和公式基本运算
已知是各项均为正数的等比数列的前n项
和，若，，则（ ）
A．2 B．3
C．6 D．9
【答案】B
【详解】因为等比数列的各项均为正数，
所以由，
当 时，，所以，不符合题意；
当时，由，
或，
因为等比数列的各项均为正数，所以，
故选：B
在等比数列中，为其前项和，且
，则它的公比的值为（ ）
A．1 B．
C．1或 D．1或
【答案】C
【详解】当q=1时，，满足.
当时，由已知可得，
，显然，.
所以，有，解得，q=1（舍去）或.
综上可得，q=1或.
故选：C.
已知各项均为正数的等比数列的前项和
为，若，则的值为（ ）
A．4 B．
C．2 D．
【答案】A
【详解】设数列的公比为，
则，得，
解得或（舍），
所以.
故选：A.
设等比数列的前项和为，若
，则公比（ ）
A．4 B．
C．2 D．
【答案】C
【详解】等比数列的前项和为，由得：，
而，则有，解得，
所以.
故选：C
已知为等比数列的前n项和，若
，，则（ ）
A．15 B．
C． D．
【答案】C
【详解】设公比为q，显然，由已知得，，
所以，故，即，
所以，
故选：C.
已知一个项数为偶数的等比数列，所有项
之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则（ ）
A．1 B．
C．2 D．1或
【答案】D
【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为，
因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以，
所以，，
故满足，解得，
又，
所以.
故选：D
4.求和性质运用
记为等比数列的前项和.若，
，则（ ）
A． B．8
C．7 D．
【答案】A
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，，成等比数列
∴，
∴，.
∴，.
故选：A
记为等比数列的前项和．若
，，则等于（ ）
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】C
【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，等成比数列，
∴，，∴，∴．
故选：C
设等比数列的前项和为，公比
，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当时，，不成立；
当时，，即，解得，
.
故选：A
已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前
15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A． B．
C．12 D．15
【答案】C
【详解】解：由等比数列的性质可得也为等比数列，
又，故可得即，
解得或，因为等比数列各项为正，所以，
故选：C
等比数列的前项和为，已知
，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为且为等比数列，故为等比数列，
故，解得，
故选：B.
5.构造等比数列
已知数列满足，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
则，有，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以
则，所以.
故选：C.
已知数列满足
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵，，，
∴数列是首项为，公比为4的等比数列，
∴，
当时，
，
∵n＝1时，，∴，
，
故选：D.
已知数列首项为2，且
，则__________
【答案】
【详解】由可得，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
故答案为：
在数列中，，
．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明详见解析；
(2).
【详解】（1）依题意，数列中，，，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得：数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
已知数列和有
，而数列的前项和.
(1)证明数列为等比数列，其中；
(2)如果，试证明数列的单调性.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）数列中，当时，，因，有，
，由此可得，而，
于是得，而，
所以数列为以为首项，以为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，
当时，，满足上式，
因此，则，有，即，
所以数列为严格递减数列.
已知是数列的前项和，且满足，
，则__________.
【答案】
【详解】依题意，，，
当时，，
当时，由得，
两式相减并化简得，
所以数列从第二项起是公比为的等比数列，
所以，
所以.
故答案为：
已知数列的前项和满足条件
．
(1)求证：数列成等比数列；
(2)求通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）根据题意，数列满足①，
当时，有，所以，
当时，因为，所以②，
①-②得，即．
由，得，所以，
由等比数列定义知数列是首项，公比的等比数列.
（2）由（1）可得：数列是首项，公比的等比数列，
则，
故数列的通项公式为.
设数列的前项和为，已知，
.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求与.
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【详解】（1）因为，
所以，
则
又，所以，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列
（2）由（1）可得，即，
当时，；
当时，符合，
所以.
已知数列的前n项和为，满足
，证明：数列为等比数列．
【答案】证明见解析.
【详解】，，当时，，
两式相减得∶，即，而，解得，
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
已知数列的前项和为，且
，证明：为等比数列.
【答案】证明见解析.
【详解】，，当时，，
两式相减得：，即，而，即，解得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
已知数列的前项和为，且，
.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由得，即，
又，
所以，是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）解：由（1）可得，即.
当时，
又满足，
所以.
课后练习
等比数列的前项和，则数列的公比为（ ）
A． B．
C．2 D．3
【答案】C
【详解】根据题意可得，
故数列的公比.
故选：C.
已知是公比为正数的等比数列，若，，则________.
【答案】
【详解】设等比数列的公比为，则，
因为，，所以，所以，
所以.
故答案为：.
等比数列中，，则通项公式____
【答案】
【详解】已知可得，
两式相除得，解得
代入解出所以
故答案为：
设等比数列满足.则通项公式________．
【答案】
【详解】设的公比为，则.
由已知得，解得，，所以的通项公式为.
故答案为:
在各项均为正数的等比数列中，已知 则数列 的通项公式为_______.
【答案】
【详解】已知,
则 解得q=2或q=-3（舍）
则数列 的通项公式为
设是公比不为1的等比数列，且，则的通项公式___________.
【答案】.
【详解】设等比数列的公式为（），
因为，
所以，即，
解得或（舍去），
所以，
故答案为：.
等比数列满足，则该数列通项公式为______.
【答案】
【详解】设等比数列的公比为,首项为,故,由得 ,解得,故
故答案为:.
设等比数列满足，，则________.
【答案】64
【详解】解：设公比为q，∵a2＝4，a3a4＝128，
∴4q×4q2＝128，
∴q3＝8，
∴q＝2，
∴a6＝a2q4＝4×24＝64，
故答案为：64.
已知数列成等比数列．若，则数列的通项公式是______．
【答案】an＝4·(－)n－2，n∈N*
【详解】由a5＝a2q3，得－＝4·q3，
所以q＝－.
an＝a2qn－2＝4·(－)n－2，n∈N*.
故答案为：an＝4·(－)n－2，n∈N*.
已知等比数列满足：，，，则公比______.
【答案】
【详解】设等比数列的公式为q，
则，即，
解得，
又，所以，
所以.
故答案为：.
已知3为的等差中项，2为的等比中项，则___________.
【答案】
【详解】由等差、等比中项可得，所以，
故答案为：
已知是等比数列，若1是，的等比中项，4是，的等比中项，则__________．
【答案】
【详解】由题意可知，是和的等比中项，，又是和的等比中项，
.又，，
而.
故答案为：
三个数成等比数列，其中，，则______．
【答案】
【详解】因为a，b，c三个数成等比数列，
所以，
所以.
故答案为：.
在等比数列中，已知 ，则_____．
【答案】．
【详解】由等比数列的性质知成等比数列，可得＝，
故答案为：．
已知各项均为正数的等比数列，其前项积为，且满足，则______．
【答案】
【详解】依题意是各项均为正数的等比数列，
，所以，
所以.
故答案为：
等比数列中，，则__________．
【答案】
【详解】解：设等比数列的公比为，
由，可得，可得，
故，
故答案为：.
正项等比数列中，，则（ ）
A．4 B．8
C．32 D．64
【答案】D
【详解】因为是等比数列，
所以.
故选：D.
在等比数列中，已知，则（ ）
A．4 B．6
C．8 D．10
【答案】A
【详解】在等比数列中，，解得，
则.
故选：A.
已知等比数列，则（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】B
【详解】因为是等比数列，
所以，
故，得.
故选：B.
已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列，则______.
【答案】1
【详解】由题意可得，即，解得.
故答案为：1.
已知数列为等比数列，且成等差数列，则公比___________.
【答案】1或3
【详解】解：数列为等比数列，所以，且成等差数列，所以
则，解得或3.
故答案为：1或3.
已知公差为的等差数列中，、、成等比数列，若该数列的前项和则（ ）
A．10 B．11
C．12 D．13
【答案】B
【详解】由已知，则，解得，
故，因为，解得.
故选：B.
已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（ ）
A．1 B．2
C．81 D．80
【答案】C
【详解】因为，所以，解得.
又，，成等比数列，所以.设数列的公差为，
则，即，整理得.
因为，所以.
所以.
故选:C.
在数列中，若，，则该数列的通项公式为__________
【答案】
【详解】由可知数列为等比数列，公比为2，所以通项公式为
故答案为：
已知正项等比数列的前项和为，若，，则_____________.
【答案】63
【详解】由题意， 或（舍） ，
由于数列 是正数列， ， ，
；
故答案为：63.
已知等比数列中，，前4项和为40.求数列的通项公式：________
【答案】
由题意得，
即，解得．
∴，
即等比数列{an}的通项公式为，
故答案为：.
已知等比数列的前项和为，且，，则_________.
【答案】64
【详解】设等比数列公比为，首项为，由已知，可得
，解得，
所以，
故答案为：64.
已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前n项和为，且，则通项______．
【答案】
【详解】解：由成等差数列，得，
设的公比为，则，解得或（舍去），
所以，解得，
所以数列的通项公式为.
故答案为：.
（多选）已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】若公比有，，，
此时，故公比，
由题意，
化简有，两边同时乘以，可得：；
两边同时乘以，可得：
故有或，
选选：AB.
记为等比数列的前项和.若，，则__________.
【答案】
【详解】设等比数列公比为，
当时，，无解
当时，，得，
故答案为：
已知正项等比数列的前项和为，若，，则，的等差中项为__________.
【答案】
【详解】设，因为为等比数列，所以，，成等比数列.
因为，，所以，解得或（舍去）.
所以，的等差中项为.
故答案为：.
已知等比数列的前项和为，若，，则的值为_______
【答案】
【详解】设等比数列的公比为.
若，当为偶数时，，不合乎题意，所以，，
由等比数列片段和的性质可知，、、、成等比数列，
且公比为，所以，，，
因此，.
故答案为：.
设等比数列的前项和为，若，，则_______．
【答案】
【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为，所以成等比数列，
则，即，，解得.
故答案为：.
数列中，，，若，则（ ）
A．10 B．9
C．11 D．8
【答案】B
【详解】，
令，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
由得.
故选：B
在数列中，，求_________.
【答案】
【详解】因为且，所以，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以.
故答案为：.
已知数列中，，，则数列的通项公式为________.
【答案】；
【详解】∵，且，∴，数列是等比数列，公比为3，
∴．
故答案为：
数列中，若，，，则______.
【答案】
【详解】由得，
故答案为
已知数列满足：，，．
(1)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
(2)设，求．
【答案】(1)证明见解析；.
(2)4950.
【详解】（1）因为数列满足，所以.
由，所以，
所以，且，
所以数列是，公比的等比数列.
所以，即数列的通项公式为；
（2）由（1）知，所以.
所以.
所以.
已知等差数列的公差，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和为．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，成等比数列，∴．
又，∴，解得．
∴．
（2）∵，
∴．
已知正项数列，其前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项．
【答案】.
【详解】，，当时，，
两式相减得，即，
而是正项数列，于是得当时，，因此数列是公差为5的等差数列，，
又，解得或，
当时，，不成等比数列，
当时，，有，即成等比数列，则，，
所以数列的通项公式是.
设是等差数列前项的和．已知与的等比中项为，与的等差中项为1．求等差数列的通项．
【答案】或.
【详解】因为是等差数列前n项的和，
所以，则，
故，
根据题意得，即，
整理得，解得或，
当时，；
当时，；
所以或.
等差数列，若，且，，成等比数列，求数列的通项公式．
【答案】或．
【详解】解：设公差为d，
∵ ，
∴ ① ，
∵ ，，成等比数列，
∴ ，
∴ ，
化简得，
若，，
若，② ，
由① ② 可得，
，，
∴ ，
综上：数列的通项公式或．
已知是各项均为正数的等比数列，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）是各项均为正数的等比数列，设等比数列的公比为，
由，，得，即，解得（舍或．
；
（2），，，
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
则数列的前项和．
已知数列满足，证明为等比数列，并求的通项公式.
【答案】证明过程见详解，.
【详解】因为，所以，
又，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
则，所以
已知数列的前项和是，，，求证：数列是等比数列.
【答案】证明见解析.
【详解】由可得
所以，
因为，所以可得，
所以，
故数列是首项为1，公比为2的等比数列.
已知数列满足，，令求证：是等比数列；
【答案】证明见解析
【详解】证明：，，
①，
②，
①-②得，，经检验，当时上式也成立，即，
所以，，即，且，
所以，是首项为3，公比为3的等比数列.
已知数列，其中前项和为，且满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)，，．
【详解】（1）证明：由题意，两边同时加3，
可得，
，
数列是以8为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）可得，
则，，
故
．
