7.4.2 超几何分布
学科《数学》教学设计
课型为：R新授课 复习课 习题/试卷讲评课 实践活动课
一、内容分析
（一）课程标准要求（教学目标）
1.理解超几何分布,能够判定随机变量是否服从超几何分布;
2.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题,会求服从超几何分布的随机变量的均值.
二）核心素养要求
通过学习超几何分布的概念及研究其数字特征，提升数学抽象及数据分析素养.
（三）知识联系：学生已经学过离散型随机变量及其分布列、两点分布、二项分布，本节课的内容就是在此基础上的发展。由于它还是一个个常考的概率分布列的数学模型,所以在本学科中的作用是承上启下.
二、学情分析
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是二项分布、超几何分布区分不清楚，产生这一问题的原因是学生对与放回与不放回不注意，解决的关键办法是要明确二项分布放回，超几何分布不放回.
三、重点难点
教学重点是超几何分布的概念及应用，解决重点的由实验进行探究引出概念.
教学难点是综合运用排列、组合、概率的知识求实际问题中的概率分布，解决难点的关键是判断清楚是什么分布.
四、活动设计
【学】：导学（占本次课的 5-10%）
教师活动：复习回顾
二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0
学生活动：自己回顾二项分布，明确二项分布是放回抽样.
【学】：自学、互学、模仿应用等（教师自主组合）占本次课的 35-45%
问题：什么是超几何分布？
问题一：在合唱团中，2101班有11名同学，其中有6名男生、5名女生，要从这11名同学中随机抽取3名同学唱高音部分，那么其中恰有1名女生的概率有多大？
问题1、从这11名同学中随机抽取3名同学，是否为不放回抽样？
是不放回抽样
问题2、从这11名同学中随机抽取3名同学，求恰有一名女生的概率，这是古典概型还是几何概型？
是古典概型
问题3、X可能取那些值？
X=0，1，2，3
问题4、“X=1”表示的含义？
恰有1名女生2名男生
问题5、如何求P（X=k）？
问题6、求出X的分布列.
问题二：学校带领学生外出春游，2101班有7名教师，其中3人女教师，4人男教师，现从中抽取3人作为带队老师，用X表示取到男教师的人数，则抽出1名男教师和两名女教师的概率是多少？
问题三:这两个问题有什么共同点？
问题四：什么是超几何分布？
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，则称随机变量X服从超几何分布．
【概念辨析】下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( ）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数X
C．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
解析：由超几何分布的定义可知B正确．
答案：B
问题7：服从超几何分布的随机变量的均值是什么
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=，则p是N件产品的次品率，而 是抽取的n件产品的次品率，E()=p，即E(X)=np.
超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则E(X）＝__ np_．
设计意图：通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而引入超几何分布的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
教师活动：巡视课堂，参与、点拨、指导小组学习
学生活动： 结合课本内容，自己独立完成任务，完成之后小组研究讨论.
【用】：变通、迁移等 约占本次课的 25%
设计意图：通过典例解析，在具体的问题情境中，深化对超几何分布的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
教师活动：教师讲解例题，对学生进行引导，引导学生归纳做题思路.
学生活动：学生讨论归纳做题思路，完成变式.
例1：从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.
解: 设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1),则X服从超几何分布,且N=50，M=1,n=5.因此，甲被选中的概率为
例2. 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.
解:设抽取的10个零件中不合格品数为 ,则 服从超几何分布,且 =30, =3, =10,
的分布列为,
至少有1件不合格的概率为 ( ≥1)= ( =1)+ ( =2)+ ( =3)
另解:( ≥1)=1 ( =0)
变式1、老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列；
(2)他能及格的概率．
解 (1)X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
【用】：检测反馈 约占本次课的 20%
检测：教材第80页练习1
小结：1.超几何分布
【用】：限时训练 （分 ABC 三层，用时 30-40 分钟）
（分 ABC 三组，学生可选做 AB 组或 BC 组）
A 组(基础题 )
1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为( )
A. B. C．1－ D.
解析 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.
答案 D
2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( )
A. B. C. D.
解析 记X为抽出的2张中的中奖数，则P(X＝2)＝＝.
答案 C
3．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为( )
A. B. C．1－ D．1－
解析 从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N＝12，M＝8，n＝4的超几何分布，故至多3个红球的概率为P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－.
答案 D
4．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为( )
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
解析 令“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，
则P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C.
答案 C
5．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝__________．
解析 易知P(X＝1)＝＝.
答案
B 组(中等题 )
6．某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10，15，25名学生代表进行调研．
(1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率；
(2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的期望值．
解 (1)共50名学生代表，抽取2名的样本点总数为C＝1 225.
记“2名学生代表来自不同年级”为事件M，则事件M包含的样本点个数为CC＋CC＋CC＝775.
根据古典概型的概率计算公式，得P(M)＝＝.
(2)高一、高二年级分别有10，15名学生代表参加调研，从中抽取2名，抽到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以X的期望值E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.8.
C 组(提高题 )
7．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的期望、方差．
解 (1)P＝1－＝1－＝，
即该顾客中奖的概率为.
(2)X的所有可能值为：0，10，20，50，60，
且P(X＝0)＝＝，
P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，
P(X＝50)＝＝，
P(X＝60)＝＝.
故X的概率分布列为：
X 0 10 20 50 60
P
期望值为E(X)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16(元)．数学 学科《7.4.2 超几何分布》学案
姓名： 班级：
（一）学习目标
1.了解超几何分布及其均值. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题.
（二）问题与例题
问题一：在合唱团中，2101班有11名同学，其中有6名男生、5名女生，要从这11名同学中随机抽取3名同学唱高音部分，用X表示取到女生人数，那么其中恰有1名女生的概率有多大？ 问题1、从这11名同学中随机抽取3名同学，是否为不放回抽样？ 问题2、从这11名同学中随机抽取3名同学，求恰有一名女生的概率，这是古典概型还是几何概型？ 问题3、X可能取那些值？ 问题4、“X=1”表示的含义？ 问题5、如何求P（X=k）？ 问题6、求出X的分布列. 问题7：服从超几何分布的随机变量的均值是什么 问题二：学校带领学生外出春游，2101班有7名教师，其中3人女教师，4人男教师，现从中抽取3人作为带队老师，用X表示取到男教师的人数，则抽出1名男教师和两名女教师的概率是多少？ 问题三:这两个问题有什么共同点？ 问题四：什么是超几何分布？ 一般地，假设一批产品共有 件，其中有 件次品．从 件产品中随机抽取 件(不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列 为 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，则称随机变量X服从 ． 【概念辨析】下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数X C．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 例1：从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率. 例2. 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 变式1、老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列； (2)他能及格的概率．
（三）检测反馈
检测：教材第80页练习1
（四）限时训练
A 组题 1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为( ) A. B. C．1－ D. 2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( ) A. B. C. D. 3．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为( ) A. B. C．1－ D．1－ 4．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为( ) A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 5．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝__________． B 组(中等题 ) 7．某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10，15，25名学生代表进行调研． (1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率； (2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的期望值． C 组(提高题 ) 8．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的期望、方差．