练习
1. 已知函数f(x)＝＋lnx，求f(x)在上的最大值和最小值。
2．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值。
3．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数在R上恒有<2，则不等式f(x)<2x＋1的解集为 .
4．若函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是 .
5．求证：x>1时，.
6．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为 .
参考答案：
1.最大值为1－ln2，最小值为0。
提示：先求极值，再求最值。
∵,令得，x=1,
定义域是，列表如下，
x 1 2
- 0 +
f(x) 1-ln2 极小值 ln2-
由表可知，f(x)的最小值为f(1)＝0；
∵(1－ln2)-(ln2-)=，
∴f(x)的最大值为f()＝1-ln2。
2．a=2,b=3或a=-2,b=-29
提示：此题是第1题的逆向问题。
∵，令得，x=0，x=4(舍),
由于a的正负对导数的正负有影响，于是得分情况讨论。
当a>0时列表，
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
＋ 0 －
f(x) －7a＋b ? b ? －16a＋b
由表可知，函数在[－1,2]上的最大值是f(0)＝b＝3。
∵a>0∴函数在[－1,2]上的最小值是f(2)＝－16a＋3=-29，∴a＝2。
②当a<0时，同理可得，函数在[－1,2]上的最小值是f(0)＝b＝－29。
函数在[－1,2]上的最大值是f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2。
3．(1，＋∞)
提示：构造函数g(x)＝f(x)－2x(这样构造主要是因为它的导数恒小于0,与基础知识有联系，同时与所求的不等式也有关。)
∵，∴g(x)在R上为减函数，且f(x)<2x＋1等价于g(x)<1，
由已知得，g(1)=f(1)-2=1,∴g(x)1
4．
提示：本题与第2题相似。只是f(x)是分段函数，于是得分段求。
当x≤0时，＝6x2＋6x，易知函数f(x)在[-2,0]上的最大值是2，依题意，只要在(0,2]上，f(x)≤2,即eax≤2恒成立。即ax≤ln2在(0,2]上恒成立，即a≤在(0,2]上恒成立，故a≤ln2。
5．证明：考虑函数.
∴
关键是分子这个三次多项式：
(这步分解因式是一种运算能力的体现。在对三次多项式进行分解因式前，先寻找这个三次函数的零点。比如，这个三次函数的一个零点是1，于是这个三次函数分解因式中一定有(x-1)这个因式。这样“”这步就是前二项分解因式中有(x-1)，后二项分解因式中有(x-1)，“-2x2”是这样想到的，接着的+x2是为了让等式成立。)
∴
∴x>1时， ∴f(x)在内单调递增。
∴x>1时， ∴f(x)>f(1)=
6．
提示：由题意画出各函数大致图像如图所示，
|MN|＝t2－lnt(t>0)，
因此本题转化为求函数的最小值。
∴x>1时， ∴f(x)在内单调递增。
附1：
“数一样”不一定对
做数学题答案固然重要，但“数一样”过程如果不正确。可能也会不得分！
比如，若函数f(x)＝在[－2,2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是 .
这个题前面给了提示。本题与第2题相似。只是f(x)是分段函数，于是得分段求。
当x≤0时，＝6x2＋6x，易知函数f(x)在[-2,0]上的最大值是2，依题意，只要在(0,2]上，f(x)≤2,即eax≤2恒成立。即ax≤ln2在(0,2]上恒成立，即a≤在(0,2]上恒成立，故a≤ln2。
在提示的过程中，后面这部分“即ax≤ln2在(0,2]上恒成立”如果将x=2代入得，a2≤ln2,∴a≤ln2。就不妥！但提示中为什么由“即a≤在(0,2]上恒成立”然后就将x=2代入可以呢
这是因为“a≤在(0,2]上恒成立”需要在(0,2]上的最小值大于等于a,因为在(0,2]上是减函数，所以在(0,2]上的最小值是x=2时对应的函数值。而“ax≤ln2在(0,2]上恒成立”需要ax在(0,2]上的最大值小于等于ln2,因为ax在(0,2]上的最大值在a<0时不是x=2时对应的函数值。所以由“ax≤ln2在(0,2]上恒成立”如果将x=2代入得，a2≤ln2,∴a≤ln2。事实上是不正确的！不正确当然就可能不得分。
如果想求ax在(0,2]上的最大值可以对a进行讨论。
当a>0时，ax在(0,2]上的最大值是2a,令2a≤ln2，得a≤ln2。
当a≤0时，ax在(0,2]上的值总小于等于零，所以“ax≤ln2在(0,2]上恒成立”
综上所述，“ax≤ln2在(0,2]上恒成立”a的取值范围是a≤ln2。这样就正确了！
解答过程中用到的也都是基础知识。因此基础知识很重要！请同学一定要重视基础知识，记住基础知识！练习
1. 已知函数f(x)＝x2ex，求f(x)的极小值和极大值。
2．设函数f(x)的导函数为，函数y＝的图像的一部分如图，则( )
A．f(x)极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)极大值为f(－2)，极小值为f(2)
D．f(x)极大值为f(2)，极小值为f(－2)
3．若直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是 .
4．设a∈R,若函数y＝eax＋3x有大于零的极值点，则a的取值范围是 .
5．已知函数(k∈R)无极值。求k的值。
6．讨论函数f(x)＝x3－ax2(a∈R)单调性并判断有无极值，若有求出极值。
参考答案：
1.极小值为0，极大值为4e－2。
提示：求函数极值的步骤是①求导数及其零点；②依据导数的零点及函数的定义域列表；③由表得出结论。
回到本题，∵,令0 ，得x=0和x=-2。
-2和0将定义域(－∞，＋∞)分成三部分，
列表：
x (－∞，－2) －2 (－2,0) 0 (0，＋∞)
＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 4e－2 ? 0 ?
由上表知，当x＝－2时，f(x)取得极大值为f(－2)＝4e－2，当x＝0时，f(x)取得极小值为f(0)＝0。
2．C
提示：所给的图像是函数y＝的图像的一部分，
∴x∈(0,2)时，, x∈(2,+∞)时，,∴极小值为f(2)
同理，x∈(-2，0)时，, ∴x∈(-2，0)时，,
x∈(-∞，-2)时，, ∴x∈(-∞，-2)时，∴极大值为f(-2)
3． (－2,2)
提示：利用导数研究函数的单调性极值，作出y=f(x)的简图，结合图像即可。
4．a<－3
提示：∵(是复合函数)，
当a≥0时，函数无极值，
当a<0时，令得，，∴，
经检验，是极值点。(这句不能省。)
依题意，，解得，a<-3。
5．4
提示：∵ ，∴
令得，，要使f(x)无极值，当且仅当 ∴k=4
6．提示：∵ ，∴
令得，
当a＝0时， ,f(x)在R上单调递增，无极值。
当a>0时，列表可得，f(x)在和上单调递增；f(x)在[0，a]上单调递减。f(x)的极大值是f(0)＝0 ，f(x)的极小值是f(a)＝－a3。
当a<0时，列表可得，f(x)在和上单调递增；f(x)在[a，0]上单调递减。f(x)的极小值是f(0)＝0 ，f(x)的极大值是f(a)＝－a3。
附1：
说说求函数极值时列表的好处
在我的教学实践中经常有学生提出这样的问题“求函数极值时不列表可以不？”
我说，可以，只要你表达清楚。
那么，怎样才是表达清楚呢？它和列表有区别吗？下面以第1题为例进行解释。
1．已知函数f(x)＝x2ex，求f(x)的极小值和极大值。
先用列表的方式进行完整的表达。
∵,
∴,令0 ，得x=0和x=-2。
-2和0将定义域(－∞，＋∞)分成三部分，
列表：
x (－∞，－2) －2 (－2,0) 0 (0，＋∞)
＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 4e－2 ? 0 ?
由上表知，当x＝－2时，f(x)取得极大值为f(－2)＝4e－2，当x＝0时，f(x)取得极小值为f(0)＝0。
再用不列表的方式进行完整的表达。
∵,
∴,令0 ，得x=0和x=-2。
函数的定义域是R，当x<-2时，,所以，函数f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增，当-20时，,所以，函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
∴f(x)在x=-2时取得极大值,极大值是4e－2，在x=0时取得极小值，极小值是0.
最后，对二种表达进行一下对比。
很明显列表的表达直观清晰明了。不列表的好处就是省去了列表，同时要做很详细的表达，对取得的极值时是极大还是极小要重新根据相邻区间函数单调性进行判断。
个人觉得，画表格也是一种基本能力。我知道有的同学连三角尺都没有。平时需要画个坐标系，在坐标系中再画圆。就随手一画，我认为这样的同学的这种表现是不认真！
前面说过解答极值问题的步骤是①求导数及其零点；②依据导数的零点及函数的定义域列表；③由表得出结论。这三步应该说是属于解答本题所需的基础知识。所以页眉所说“记住基础知识”其实包括了这种列表，作图的基本能力。
所以做到“记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误”是能够及格的！
